函数的性质-2025届体育单招数学零基础讲义

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 函数的基本性质知识点·梳理 ①函数的单调性 条件 一般地，设函数的定义域为I，区间，如果，当时 结论 当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数。 或 当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数。 或 图示 ②判断函数单调性的方法 1）定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． 2）图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． 3）导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)． 4）性质法： ①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及的增减性进行判断；例如：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． ②对于复合函数，先将函数分解成和，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ③函数的最值 1）最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于定义域内的任意都有；②存在，使得，则为最大值. 2）最小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于定义域内的任意都有；②存在，使得，则为最小值. ④函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 关于轴对称 奇函数 关于原点对称 注意：一个函数是否具有奇偶性的前提是定义域是否关于原点对称 ⑤函数图象的变换 1）平移变换 1°的图象向左平移个单位后变为的图象向右平移个单位后变为； 2°的图象向上平移个单位后变为的图象向下平移个单位后变为； 2）伸缩变换 1°的图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标扩大倍变为； 2°的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标扩大倍变为； 3）对称变换 1°的图象上的点关于轴对称后变为； 2°的图象上的点关于轴对称后变为； 3°的图象上的点关于原点对称后变为； 4）翻折变换 1°图象上的点保留轴及轴上方部分，将轴下方的图象沿轴翻折后变为； 2°图象上的点保留轴及轴右侧部分，将左侧去掉并将右侧沿轴翻折后变为； 重点题型·归类精讲 题型一 判断函数的单调性 【例1-1】（2022年真题）下列函数中，为单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2015年真题）下列函数中的减函数是 A、 B、 C、 D、 【变式1】（2014年真题）函数是 A、增函数 B、减函数 C、奇函数 D、偶函数 题型二 函数的单调区间 【例2-1】（2024年真题）函数的单调递减区间为____ 【例2-2】（2020年真题）函数的单调递减区间为 A、 B、 C、 D、 【例2-3】（2008年真题）已知，则是区间 A.上的增函数 B.上的增函数 C.上的减函数 D.上的减函数 【变式1】函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【变式3】下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【变式4】函数的单调减区间为___________. 【变式5】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【变式6】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型三 函数单调性的应用 【例3-1】（2019年真题）已知二次函数，若在单调递增，则的取值范围是___ 【例3-2】（2013年真题）若函数是增函数，则的取值范围是 A、 B、 C、 D、 【变式1】设函数是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【变式3】已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 函数奇偶性的判断 【例4-1】（2021年真题）下列函数中既是增函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（2016年真题）下列函数中，为偶函数的是 A、 B、 C、 D、 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3). （4） 【变式2】下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 题型五 利用奇偶性求值 【例5-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___. 【例5-2】已知是上的奇函数，当时，，则（    ） A．4 B． C．7 D． 【变式1】已知函数，且，则______． 【变式2】已知函数，且，则______． 题型六 利用奇偶性求解析式 【例6-1】若是上的奇函数，且当时，，则当，______． 【例6-2】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______． 【变式1】已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________． 【变式3】（2015年真题）已知是奇函数，当时，，则当时， A、 B、 C、 D、 题型七 函数奇偶性的应用 【例7-1】（2013年真题）设函数是奇函数，则___ 【例7-2】设是定义在上偶函数，则在区间上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定 【例7-3】设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式1】设偶函数在区间 上单调递增， 则（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型八 函数对称性的应用及图像变换 【例8-1】（2020年真题）函数图像的对称轴为 A、 B、 C、 D、 【例8-2】（2018年真题）下列函数中，为增函数的是 A、 B、 C、 D、 【例8-3】（2017年真题）函数的图像关于直线对称，则 【例8-4】（2007年真题）已知函数是偶函数，则函数图象的对称轴是 A、 B、 C、 D、 【变式1】如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式2】函数的图象关于（    ）对称. A．直线 B．原点 C．轴 D．轴 【变式3】函数的对称中心是 ． 课后模拟·巩固练习 1、函数的单调增区间是______. 2、函数在上为增函数，则的取值范围是__________． 3、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 4、已知函数与在区间上都是减函数，那么__________. 5、下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6、已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 7、已知为偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 8、下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 9、（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为 （填序号） ①． ②． ③． ④． 10、已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)画出的图象； (3)求该函数的值域． 11、的单调递减区间为 12、函数的严格递减区间为 ． 13、下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 14、下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 15、已知，，且是奇函数，则 ． 16、二次函数，对称轴，则值为（    ） A． B． C． D． 17、函数的对称轴方程为 . 18、已知. （1）画出的图象. （2）根据图象写出的单调区间和值域. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 1 页 共 10 页 函数的基本性质 ①函数的单调性 ②判断函数单调性的方法 1）定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． 2）图象法：如果  f x 是以图象形式给出的，或者  f x 的图象易作出，则可由图象的上升或下 降确定单调性． 3）导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)． 4）性质法： ①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及    f x g x 的增减 性进行判断；例如：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． ②对于复合函数，先将函数   y f g x 分解成  y f u 和  u g x ，再讨论(判断)这两个函 数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ③函数的最值 1）最大值：设函数  y f x 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：①对于定义域内的任意 x都 有  f x M ；②存在 0x I ，使得  0f x M ，则M 为最大值. 2）最小值：设函数  y f x 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：①对于定义域内的任意 x都 有  f x M ；②存在 0x I ，使得  0f x M ，则M 为最小值. ④函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数  f x 的定义域为 I ，如果 x I  ，都有 x I  ，且    f x f x  关于 y轴对称 奇函数    f x f x   关于原点对称 注意：一个函数是否具有奇偶性的前提是定义域是否关于原点对称 条件 一般地，设函数  f x 的定义域为 I，区间D I ，如果 1 2,x x D  ，当 1 2x x 时 结论 当函数  f x 在它的定义域上单调递增时，称它 是增函数。      1 2 1 2 0x x f x f x     或    1 2 1 2 0 f x f x x x    当函数  f x 在它的定义域上单调递减时，称它 是减函数。      1 2 1 2 0x x f x f x     或    1 2 1 2 0 f x f x x x    图示 知识点·梳理 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 2 页 共 10 页 ⑤函数图象的变换 1）平移变换 1°  f x 的图象向左平移a个单位后变为    ;f x a f x 的图象向右平移a个单位后变为  f x a ； 2°  f x 的图象向上平移a个单位后变为    ;f x a f x 的图象向下平移a个单位后变为  f x a ； 2）伸缩变换 1°  f x 的图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标扩大A倍变为 ( )Af x ； 2°  f x 的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标扩大A倍变为 1( )f x A ； 3）对称变换 1°  f x 的图象上的点关于 x轴对称后变为 ( )f x ； 2°  f x 的图象上的点关于 y轴对称后变为 ( )f x ； 3°  f x 的图象上的点关于原点对称后变为 ( )f x  ； 4）翻折变换 1°  f x 图象上的点保留 x轴及 x轴上方部分，将 x轴下方的图象沿 x轴翻折后变为 ( )f x ； 2°  f x 图象上的点保留 y轴及 y轴右侧部分，将左侧去掉并将右侧沿 y轴翻折后变为 ( )f x ； 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 3 页 共 10 页 题型一 判断函数的单调性 【例 1-1】（2022年真题）下列函数中，为单调递增函数的是（ ） A． ln( 1)y x   B． 2 1y x  C． e 2 x y  D． 1y x ∣ ∣ 【例 1-2】（2015年真题）下列函数中的减函数是 A、 y x B、 3y x  C、 22 siny x x x  D、 2 x xe ey   【变式 1】（2014年真题）函数  x 2 3xf   是 A、增函数 B、减函数 C、奇函数 D、偶函数 题型二 函数的单调区间 【例 2-1】（2024年真题）函数 2 5 6y x x    的单调递减区间为____ 【例 2-2】（2020年真题）函数    2ln 3 1f x x   的单调递减区间为 A、 30, 3        B、 3 ,0 3        C、 3 3, 2 2        D、 3 3, 3 3        【例 2-3】（2008年真题）已知    23 1xf x   ，则  f x 是区间 A.  ,0 上的增函数 B.  0,  上的增函数 C.  ,1 上的减函数 D.  1,  上的减函数 【变式 1】函数 2 2y x x   ， ( 5,5)x  的单调减区间为（ ） A． 1( , ) 2   B． 1( , ) 2   C． 1( ,5) 2  D． 1( 5, ) 2   【变式 2】已知  y f x 的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ） A．[ 1,3] B．[ 1,2] 和[4,5] C．[ 1,2] D． 3, 1  和 2,4 重点题型·归类精讲 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 4 页 共 10 页 【变式 3】下列命题正确的是（ ） A．函数 2y x= 在R上是增函数 B．函数 1y x 在 ( ,0) (0, )  上是减函数 C．函数 2y x= 和函数 y x 的单调性相同 D．函数 1y x 和函数 1y x x   的单调性相同 【变式 4】函数 1 2 xy x    的单调减区间为___________. 【变式 5】函数    2ln 4 12f x x x   的单调递减区间为（ ） A．  , 2  B．  , 2 C．  2, D．  6, 【变式 6】函数   2 4 61 2 x x f x          的单调递减区间是（ ） A．  , 2  B．  , 2 C．  2, D．  2,  题型三 函数单调性的应用 【例 3-1】（2019年真题）已知二次函数   2 23 1f x ax a x   ，若  f x 在  1,  单调递增，则a的取 值范围是___ 【例 3-2】（2013年真题）若函数  2 3 3y x ax x    是增函数，则a的取值范围是 A、  ,6 B、  6,   C、  3,  D、  , 3  【变式 1】设函数 ( ) ( 1) 1f x a x   是R上的减函数，则有（ ） A． 1a  B． 1a  C． 1a  D． 1a  【变式 2】若函数 2( )f x ax x a   在[1, ) 上单调递增,则 a的取值范围是( ) A． (0, ) B． (0,1] C．[1, ) D．[0, ) 【变式 3】已知函数   2 8f x x kx   在 1,4 上单调，则实数 k的取值范围为（ ） A． 2 8, B． 8, 2  C．    , 8 2,    D．    , 2 8,   【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 5 页 共 10 页 题型四 函数奇偶性的判断 【例 4-1】（2021年真题）下列函数中既是增函数又是奇函数的是（ ） A． 3y x B． 5y x  C． lny x D． 3 2y x x   【例 4-2】（2016年真题）下列函数中，为偶函数的是 A、 1y x  B、 sin cosy x x C、 2 1 2x  D、    lg 1 lg 1y x x    【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1) 3 1( )f x x x   ； (2) 2 2( ) 1 1f x x x    ； (3) 236( ) | 3 | 3 xf x x     . （4） 2 2 4( ) xf x x   【变式 2】下列函数中，是偶函数的是（ ） A． 3( )f x x B． ( ) | 1|f x x  C． ( ) 1f x  D． 2( ) 1 xf x x   题型五 利用奇偶性求值 【例 5-1】已知函数 ( )f x 是定义在R上的奇函数，当 0x  时， 2( ) 4f x x x  ，则 ( 1)f   ___. 【例 5-2】已知 ( )f x 是R上的奇函数，当 0x  时， 3( ) 3f x x  ，则 (0) ( 1)f f  （ ） A．4 B． 4 C．7 D． 1 【变式 1】已知函数   7 3 2 2023f x ax bx x cx     ，且  10 6f  ，则  10f   ______． 【变式 2】已知函数   4 2 6f x ax bx x    ，且  1 2022f   ，则  1f ______． 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 6 页 共 10 页 题型六 利用奇偶性求解析式 【例 6-1】若  f x 是R上的奇函数，且当 0x  时，   26 2f x x x  ，则当 0x  ，  f x ______． 【例 6-2】已知函数  f x 是定义在 R上的偶函数，当 0x  时，    2 4f x x x  ，则函数  f x 在 R上的 表达式为______． 【变式 1】已知函数 ( )f x 在R上为偶函数，且当 0x  时， ( ) 1f x x  ，则当 0x  时， ( )f x 的解析式是（ ） A． ( ) 1f x x= - B． ( ) 1f x x  C． ( ) 1f x x   D． ( ) 1f x x   【变式 2】已知 ( )y f x 是定义域为 R 的奇函数，当 0x  时， ( ) 1 2f x x  ，则当 0x  时， ( )y f x 的表 达式为_________． 【变式 3】（2015年真题）已知  f x 是奇函数，当 0x  时，    2 2ln 1f x x x x    ，则当 0x  时，  f x  A、  2 2ln 1x x x    B、  2 2ln 1x x x    C、  2 2ln 1x x x     D、  2 2ln 1x x x   题型七 函数奇偶性的应用 【例 7-1】（2013年真题）设函数 2y x a x    是奇函数，则a ___ 【例 7-2】设  f x 是定义在 1 ,2a 上偶函数，则   2 2f x ax bx   在区间 0,2 上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与 a，b有关，不能确定 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 7 页 共 10 页 【例 7-3】设    3 22f x x a x x     是定义在[2 , 3]b b  上的奇函数，则  f a b ＝（ ） A． 1 B． 0 C．1 D． 2 【变式 1】设偶函数  f x 在区间  , 1  上单调递增， 则（ ） A．     3 1 2 2 f f f        B．     32 1 2 f f f        C．     32 1 2 f f f         D．     31 2 2 f f f        【变式 2】已知函数    12 1xf x a a   R 为奇函数，则实数 a的值为（ ） A． 12 B． 1 2  C．1 D． 1 题型八 函数对称性的应用及图像变换 【例 8-1】（2020年真题）函数 2 1 2 2 y x x    图像的对称轴为 A、 1x  B、 1 2 x  C、 1 2 x   D、 1x   【例 8-2】（2018年真题）下列函数中，为增函数的是 A、 xy e  B、 xy e C、 xe D、 xe 【例 8-3】（2017年真题）函数 2 1x ay   的图像关于直线 1x  对称，则a  【例 8-4】（2007年真题）已知函数  1y f x  是偶函数，则函数  2y f x 图象的对称轴是 A、 1x  B、 1x   C、 1 2 x  D、 1 2 x   【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 8 页 共 10 页 【变式 1】如图，已知函数 y x 的图象与函数 y x m  的图象关于直线 1x  对称，则m （ ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式 2】函数 1( )f x x x   的图象关于（ ）对称. A．直线 y x B．原点 C． y轴 D． x轴 【变式 3】函数   1 2 xf x x    的对称中心是 ． 1、函数 3 2 y x 的单调增区间是______. 2、函数 2( ) 2f x x ax   在[1, ) 上为增函数，则 a的取值范围是__________． 3、若函数 2( ) 2 1f x x mx   在区间 ( 1, )  上是增函数，则实数m的取值范围是 ______ 4、已知函数   2 2f x x ax   与   1 ag x x   在区间  1,2 上都是减函数，那么a__________. 5、下列函数中，是奇函数的是（ ） A． ( )f x x B． ( ) | |f x x C． 2( )f x x D． 2( ) 1f x x  6、已知 3( ) 1, ( 2) 10f x ax bx f     ，则 (2)f 等于（ ） A．8 B． 10 C． 12 D．10 7、已知  f x 为偶函数，当 0x  时，   2 2 3f x x x   ，则当 0x  时，  f x （ ） A． 2 2 3x x   B． 2 2 3x x  C． 2 2 3x x   D． 2 2 3x x  课后模拟·巩固练习 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 9 页 共 10 页 8、下列四个函数中是偶函数，且在  ,0 上单调递减的是（ ） A．   2 1f x x  B．   21f x x  C．   1 2f x x  D．   2 2 2 , 0 2 , 0 x x xf x x x x        9、（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间  0,  上单调递增的函数为 （填序号） ①． 2y x= ②． y x ③． 1y x  ④． y x 10、已知  f x 是定义在 R上的偶函数，当 0x  时，   2f x x x  . (1)求  f x 的解析式； (2)画出  f x 的图象； (3)求该函数的值域． 11、 2 2( ) 0.7x xf x  的单调递减区间为 12、函数 2 4 51 2 x x y         的严格递减区间为 ． 13、下列函数是奇函数的是（ ） A． 1y x   B． lny x C． 2 1y x x   D． 1y x  14、下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A． sinf x x（ ） B． cosf x x（ ） C．  f x x D．   3f x x 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 10 页 共 10 页 15、已知   3f x x a  ， xR ，且  f x 是奇函数，则 a ． 16、二次函数 2( ) 4 5f x x mx   ，对称轴 2x   ，则 (1)f 值为（ ） A． 7 B．17 C．1 D．25 17、函数   2 1 2f x x   的对称轴方程为 . 18、已知   2 2 2f x x x   . （1）画出  f x 的图象. （2）根据图象写出  f x 的单调区间和值域. 【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 函数的基本性质知识点·梳理 ①函数的单调性 条件 一般地，设函数的定义域为I，区间，如果，当时 结论 当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数。 或 当函数在它的定义域上单调递减时，称它是减函数。 或 图示 ②判断函数单调性的方法 1）定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． 2）图象法：如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． 3）导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)． 4）性质法： ①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及的增减性进行判断；例如：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． ②对于复合函数，先将函数分解成和，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ③函数的最值 1）最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于定义域内的任意都有；②存在，使得，则为最大值. 2）最小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于定义域内的任意都有；②存在，使得，则为最小值. ④函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且 关于轴对称 奇函数 关于原点对称 注意：一个函数是否具有奇偶性的前提是定义域是否关于原点对称 ⑤函数图象的变换 1）平移变换 1°的图象向左平移个单位后变为的图象向右平移个单位后变为； 2°的图象向上平移个单位后变为的图象向下平移个单位后变为； 2）伸缩变换 1°的图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标扩大倍变为； 2°的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标扩大倍变为； 3）对称变换 1°的图象上的点关于轴对称后变为； 2°的图象上的点关于轴对称后变为； 3°的图象上的点关于原点对称后变为； 4）翻折变换 1°图象上的点保留轴及轴上方部分，将轴下方的图象沿轴翻折后变为； 2°图象上的点保留轴及轴右侧部分，将左侧去掉并将右侧沿轴翻折后变为； 重点题型·归类精讲 题型一 判断函数的单调性 【例1-1】（2022年真题）下列函数中，为单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】C为指数函数,当指数函数的底数大于1时,函数单调递增,为偶函数,开口向上,先减后增;对称轴为,先减后增;为增函数,为减函数。 【例1-2】（2015年真题）下列函数中的减函数是 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】为偶函数，，区间单调递增，区间单调递减;单调递增，单调递减;是周期函数，时增时减;为偶函数，，区间单调递增，区间单调递减 【变式1】（2014年真题）函数是 A、增函数 B、减函数 C、奇函数 D、偶函数 【答案】A 【解析】随增大而增大，增函数；，非奇非偶 题型二 函数的单调区间 【例2-1】（2024年真题）函数的单调递减区间为____ 【答案】或 【解析】二次函数，图象为抛物线，，抛物线开口向下，抛物线对称轴 负无穷到递增，到正无穷单调递减 【例2-2】（2020年真题）函数的单调递减区间为 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】复合函数单调性，同增同减为增函数，一增一减为减函数。 对数函数真数即;对数函数即为增函数，求函数单调递减区间、即求的单调递减区间，为开口向下的抛物线，单调递增区间为，单调递减区间为。所以函数单调递减区间为 【例2-3】（2008年真题）已知，则是区间 A.上的增函数 B.上的增函数 C.上的减函数 D.上的减函数 【答案】B 【解析】是个复合函数，是增函数，在区间单调递减，单调递增，故函数在单调递减，在区间单调递增 【变式1】函数，的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数对称轴为，开口向上，所以函数，的单调减区间为.故选：D 【变式2】已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B 【变式3】下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【答案】C 【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误； 对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误； 对于C：在是增函数，在是减函数，，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确； 对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取，则， 当时，，即在上单调递减，当，，即在上单调递减，同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C． 【变式4】函数的单调减区间为___________. 【答案】和 【解析】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和.故答案为：和 【变式5】函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，解得或，所以函数的定义域为，令，则是增函数，又在上单调递减， 所以的单调递减区间是.故选：A 【变式6】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，其在上单调递增，而外函数在上单调递减，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为，故选：B 题型三 函数单调性的应用 【例3-1】（2019年真题）已知二次函数，若在单调递增，则的取值范围是___ 【答案】 【解析】思路:若在单调递增，则二次函数抛物线开口向上，且对称轴在1 的左边，故 【例3-2】（2013年真题）若函数是增函数，则的取值范围是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】二次函数，是增函数，说明对称轴在3的左侧， 【变式1】设函数是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数是上的减函数，则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数，故，故选：D 【变式2】若函数在上单调递增,则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，则，在上单调递增，满足题意；当时，的对称轴为，要使函数在上单调递增，只需，解得，综上，a的取值范围是故选：D 【变式3】已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的对称轴为，若在上单调递增，则，解得， 若在上单调递减，则，解得，所以实数k的取值范围为 题型四 函数奇偶性的判断 【例4-1】（2021年真题）下列函数中既是增函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题掌握住求函数单调性(增减性)、奇偶性方法。判断函数奇偶性: ，即与相反，函数为奇函数 ，即与相反，函数为奇函数 ，即与相反，函数为奇函数。 【例4-2】（2016年真题）下列函数中，为偶函数的是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】为奇函数 ，奇函数 为偶函数 定义域定义域非奇非偶 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3). （4） 【答案】(1)奇函数(2)是奇函数，也是偶函数(3)既不是奇函数，也不是偶函数（4）偶函数． 【解析】（1）的定义域为，关于原点对称，，则为奇函数. （2）由，解得，则的定义域为，关于原点对称，又，则既是奇函数，也是偶函数. （3）由，可得或，的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数． （4）由题意可得，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数； 【变式2】下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.故选：C 题型五 利用奇偶性求值 【例5-1】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___. 【答案】 【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则.故答案为： 【例5-2】已知是上的奇函数，当时，，则（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【解析】当时，，因为是上的奇函数，所以， 所以.故选：A. 【变式1】已知函数，且，则______． 【答案】 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以，可得， 又，因此．故答案为： 【变式2】已知函数，且，则______． 【答案】2024 【解析】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为， 因为所以函数是偶函数，所以， 所以，从而，又，因此.故答案为：2024 题型六 利用奇偶性求解析式 【例6-1】若是上的奇函数，且当时，，则当，______． 【答案】 【解析】设，则，所以， 因为是上的奇函数，所以，所以，所以， 【例6-2】已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______． 【答案】 【解析】当时，，故，所以，所以，故答案为： 【变式1】已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，由于是偶函数，所以.故选：C 【变式2】已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________． 【答案】/ 【解析】是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，，，所以当时，的表达式为.故答案为： 【变式3】（2015年真题）已知是奇函数，当时，，则当时， A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 题型七 函数奇偶性的应用 【例7-1】（2013年真题）设函数是奇函数，则___ 【答案】0 【解析】，奇函数，即 【例7-2】设是定义在上偶函数，则在区间上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定 【答案】B 【解析】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴， 则，由，即，解得，∴， 函数图像抛物线开口向下，对称轴为，则函数在区间上是减函数．故选：B． 【例7-3】设是定义在上的奇函数，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，且，故，所以， 所以，则.故选：B 【变式1】设偶函数在区间 上单调递增， 则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】偶函数在区间上单调递增，则，即. 【变式2】已知函数为奇函数，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】，得，所以.故选：B 题型八 函数对称性的应用及图像变换 【例8-1】（2020年真题）函数图像的对称轴为 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】二次函数求对称轴，可以直接套对称轴公式或者用配方法 对称轴公式(为二次方前面的系数、为一次方前面的系数) 【例8-2】（2018年真题）下列函数中，为增函数的是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】本题可用五点作图或者指数函数的性质画出大致图象，进而判断单调性.单调递增，函数为偶函数，图象关于轴对称，先减后增，与，图象关于轴对称，单调递减，与，图象关于轴对称，单调递减，与关于轴对称，单调递增， 【例8-3】（2017年真题）函数的图像关于直线对称，则 【答案】 【解析】的图象关于轴对称，的图像关于直线对称，说明图象向右平移一个单位，左加右减， 【例8-4】（2007年真题）已知函数是偶函数，则函数图象的对称轴是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】是偶函数，向右平移一个单位之后是偶函数，关于轴对称，函数本身关于对称，即作为一个整体关于-1对称， 【变式1】如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【详解】依题意，在函数的图象上取点，点关于直线的对称点必在函数的图象上，则有，解得，此时函数即，相当于将函数的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意.故选：D. 【变式2】函数的图象关于（    ）对称. A．直线 B．原点 C．轴 D．轴 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数，图象关于原点对称，故选：B 【变式3】函数的对称中心是 ． 【答案】 【详解】函数，显然函数的图象可以由函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位而得，而函数的图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.故答案为： 课后模拟·巩固练习 1、函数的单调增区间是______. 【答案】 【解析】因为函数可化为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，故答案为： 2、函数在上为增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】函数开口向上，对称轴为，要使函数在上为增函数，则，解得，即.故答案为： 3、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______ 【答案】 【解析】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，又函数在区间上是增函数，则，解之得，则实数的取值范围是故答案为： 4、已知函数与在区间上都是减函数，那么__________. 【答案】. 【解析】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例型函数，若在区间是减函数，则，所以. 所以与在区间上都是减函数，a的取值范围为.故答案为: 5、下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是；对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是；对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是；对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.故选：A 6、已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，令函数，显然，即函数是R上的奇函数，因此，即，而，所以.故选：C 7、已知为偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则，又因为是偶函数，所以.故选：B 8、下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，是偶函数，当时是增函数；对于B，是偶函数，当时是增函数；对于C，，不是偶函数；对于D，设，则，，当时，，，是偶函数，当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；故选：D. 9、（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为 （填序号） ①． ②． ③． ④． 【答案】①④ 【解析】是偶函数，在区间上单增，故①满足；是奇函数，故②不满足；是偶函数，但在区间上单减，故③不满足；是偶函数，在区间上单调递增，故④满足 10、已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)画出的图象； (3)求该函数的值域． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【解析】（1）当时，，故，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以，综上，； （2）当时，，故此时函数在上单调递减，在上单调递增，又因为为偶函数，故在上单调递减，在上单调递增，且，，画出函数图象如下： （3）由（2）可知看出函数的值域为 11、的单调递减区间为 【答案】/ 【详解】复合函数可以分为：外部函数与内部函数,因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间，易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为，故答案为：. 12、函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减，若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，而二次函数对称轴为，且开口向上，故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为.故答案为：. 13、下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，定义域为，因为，所以是奇函数，所以A正确，对于B，定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以B错误，对于C，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以C错误；对于D，定义域为，因为，所以不是奇函数，所以D错误. 14、下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的；是偶函数，所以选项B是错误的；既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；故选：D. 15、已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：. 16、二次函数，对称轴，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数f（x）=4x2﹣mx+5的图象的对称轴为x=﹣2，可得：，解得m=﹣16，则f（1）=4+16+5=25．故选：D． 17、函数的对称轴方程为 . 【答案】 【详解】，，对称轴方程为， 18、已知. （1）画出的图象. （2）根据图象写出的单调区间和值域. 【答案】（1）图象见解析；（2）在上单调递减，在单调递增；值域为. 【详解】（1）由解析式知：，即关于轴对称性， 当时，，即可根据三点画出右支 由对称性即可得对应左支上的图象，如下图示： （2）由（1）所得图象，左右两支分别关于，对称， ∴在上单调递减，在单调递增；值域为. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 1 页 共 18 页 函数的基本性质 ①函数的单调性 ②判断函数单调性的方法 1）定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论． 2）图象法：如果  f x 是以图象形式给出的，或者  f x 的图象易作出，则可由图象的上升或下 降确定单调性． 3）导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)． 4）性质法： ①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及    f x g x 的增减 性进行判断；例如：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减． ②对于复合函数，先将函数   y f g x 分解成  y f u 和  u g x ，再讨论(判断)这两个函 数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断． ③函数的最值 1）最大值：设函数  y f x 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：①对于定义域内的任意 x都 有  f x M ；②存在 0x I ，使得  0f x M ，则M 为最大值. 2）最小值：设函数  y f x 的定义域为 I ，如果存在实数M 满足：①对于定义域内的任意 x都 有  f x M ；②存在 0x I ，使得  0f x M ，则M 为最小值. ④函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数  f x 的定义域为 I ，如果 x I  ，都有 x I  ，且    f x f x  关于 y轴对称 奇函数    f x f x   关于原点对称 注意：一个函数是否具有奇偶性的前提是定义域是否关于原点对称 条件 一般地，设函数  f x 的定义域为 I，区间D I ，如果 1 2,x x D  ，当 1 2x x 时 结论 当函数  f x 在它的定义域上单调递增时，称它 是增函数。      1 2 1 2 0x x f x f x     或    1 2 1 2 0 f x f x x x    当函数  f x 在它的定义域上单调递减时，称它 是减函数。      1 2 1 2 0x x f x f x     或    1 2 1 2 0 f x f x x x    图示 知识点·梳理 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 2 页 共 18 页 ⑤函数图象的变换 1）平移变换 1°  f x 的图象向左平移a个单位后变为    ;f x a f x 的图象向右平移a个单位后变为  f x a ； 2°  f x 的图象向上平移a个单位后变为    ;f x a f x 的图象向下平移a个单位后变为  f x a ； 2）伸缩变换 1°  f x 的图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标扩大A倍变为 ( )Af x ； 2°  f x 的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标扩大A倍变为 1( )f x A ； 3）对称变换 1°  f x 的图象上的点关于 x轴对称后变为 ( )f x ； 2°  f x 的图象上的点关于 y轴对称后变为 ( )f x ； 3°  f x 的图象上的点关于原点对称后变为 ( )f x  ； 4）翻折变换 1°  f x 图象上的点保留 x轴及 x轴上方部分，将 x轴下方的图象沿 x轴翻折后变为 ( )f x ； 2°  f x 图象上的点保留 y轴及 y轴右侧部分，将左侧去掉并将右侧沿 y轴翻折后变为 ( )f x ； 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 3 页 共 18 页 题型一 判断函数的单调性 【例 1-1】（2022年真题）下列函数中，为单调递增函数的是（ ） A． ln( 1)y x   B． 2 1y x  C． e 2 x y  D． 1y x ∣ ∣ 【答案】C 【解析】C为指数函数,当指数函数的底数大于 1时,函数单调递增, 2.71828 Be   为偶函数,开口向上, 先减后增;D对称轴为 1x  ,先减后增;  Cln 1x  为增函数,  ln 1x  为减函数。 【例 1-2】（2015年真题）下列函数中的减函数是 A、 y x B、 3y x  C、 22 siny x x x  D、 2 x xe ey   【答案】B 【解析】 y x 为偶函数，    f x f x  ，区间  0,  单调递增，区间  ,0 单调递减; 3y x 单调 递增， 3y x  单调递减;sinx是周期函数，时增时减; y  2 x xe e 为偶函数，    f x f x  ，区间  0,  单调递增，区间  ,0 单调递减 【变式 1】（2014年真题）函数  x 2 3xf   是 A、增函数 B、减函数 C、奇函数 D、偶函数 【答案】A 【解析】 y随 x增大而增大，增函数；        ,f x f x f x f x     ，非奇非偶 题型二 函数的单调区间 【例 2-1】（2024年真题）函数 2 5 6y x x    的单调递减区间为____ 重点题型·归类精讲 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 4 页 共 18 页 【答案】 5 2 x   或 5 , 2       【解析】二次函数，图象为抛物线， 1a   ，抛物线开口向下，抛物线对称轴 5 5 2 2 2 bx a         负无穷到 5 2  递增， 5 2  到正无穷单调递减 【例 2-2】（2020年真题）函数    2ln 3 1f x x   的单调递减区间为 A、 30, 3        B、 3 ,0 3        C、 3 3, 2 2        D、 3 3, 3 3        【答案】A 【解析】复合函数单调性，同增同减为增函数，一增一减为减函数。 对数函数真数即 2 2 2 2 1 3 33 1 0,1 3 ,3 1, , 3 3 3 x x x x x         ;对数函数 ln即 loge为增函数，求函数 单调递减区间、即求 23 1x  的单调递减区间， 23 1x  为开口向下的抛物线，单调递增区间为  ,0 ， 单调递减区间为  0,  。所以函数单调递减区间为 30, 3        【例 2-3】（2008年真题）已知    23 1xf x   ，则  f x 是区间 A.  ,0 上的增函数 B.  0,  上的增函数 C.  ,1 上的减函数 D.  1,  上的减函数 【答案】B 【解析】  f x 是个复合函数，3x是增函数，  21t  在区间  ,1 单调递减，  1,  单调递增 03 1 ， 故函数在  ,0 单调递减，在区间  0,  单调递增 【变式 1】函数 2 2y x x   ， ( 5,5)x  的单调减区间为（ ） A． 1( , ) 2   B． 1( , ) 2   C． 1( ,5) 2  D． 1( 5, ) 2   【答案】D 【解析】函数 2 2y x x   对称轴为 1 2 x   ，开口向上，所以函数 2 2y x x   ， ( 5,5)x  的单调减区间 为 15, 2       .故选：D 【变式 2】已知  y f x 的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ） A．[ 1,3] B．[ 1,2] 和[4,5] C．[ 1,2] D． 3, 1  和 2,4 【答案】B 【解析】由图象知：该函数的单调增区间为[ 1,2] 和[4,5] .故选：B 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 5 页 共 18 页 【变式 3】下列命题正确的是（ ） A．函数 2y x= 在R上是增函数 B．函数 1y x 在 ( ,0) (0, )  上是减函数 C．函数 2y x= 和函数 y x 的单调性相同 D．函数 1y x 和函数 1y x x   的单调性相同 【答案】C 【解析】对于 A： 2y x= 定义域为R，由二次函数 2y x= 的图像可知， 2y x= 在 (0, ) 是增函数，在 ( ,0) 是减函数，故 A错误； 对于 B： 1y x  的定义域为 ( ,0) (0, )  ，由反比例函数 1y x  的图像可知， 1y x  在 ( ,0) 和 (0, ) 上是 减函数，故 B错误； 对于 C： 2y x= 在 (0, ) 是增函数，在 ( ,0) 是减函数，y x ，当 0x  时，y x ，易知为增函数，当 0x  时， y x  ，易知为减函数，所以函数 2y x= 和函数 y x 的单调性相同，故 C正确； 对于 D： 1y x  定义域为 ( ,0) (0, )  ，由反比例函数 1y x  的图像可知， 1y x  在 ( ,0) 和 (0, ) 上是减 函数；设 ) 1( x x y f x   定义域为 ( ,0) (0, )  ，取 1 20 x x  ，则 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1( ) ( ) ( ) ( )x x x xf x f x x x x x x x x x x x x x              ， 当 1 20 1x x< < < 时， 1 2 0( ) ( )f x f x  ，即 ( )f x 在(0,1)上单调递减，当 1 21 x x  ， 1 2 0( ) ( )f x f x  ，即 ( )f x 在 (1, ) 上单调递减，同理可证， ( )f x 在 ( 1,0) 上单调递减，在 ( , 1)  上单调递增，故 D错误，故选：C． 【变式 4】函数 1 2 xy x    的单调减区间为___________. 【答案】 ( ,2) 和 (2, ) 【解析】  2 31 31 2 2 2 xxy x x x          ，由于函数 3 2 y x   的单调减区间为 ( ,2) 和 (2, ) . 故函数 1 2 xy x    的单调减区间为 ( ,2) 和 (2, ) .故答案为： ( ,2) 和 (2, ) 【变式 5】函数    2ln 4 12f x x x   的单调递减区间为（ ） A．  , 2  B．  , 2 C．  2, D．  6, 【答案】A 【详解】由    2ln 4 12f x x x   ，则 2 4 12 0xx    ，解得 < 2x  或 6x  ，所以函数  f x 的定义域为    , 2 6,    ，令 2 4 12u x x   ，则 lny u 是增函数，又 2 4 12u x x   在  , 2  上单调递减， 所以    2ln 4 12f x x x   的单调递减区间是  , 2  .故选：A 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 6 页 共 18 页 【变式 6】函数   2 4 61 2 x x f x          的单调递减区间是（ ） A．  , 2  B．  , 2 C．  2, D．  2,  【答案】B 【详解】函数  22 4 6 2 2t x x x        ，其在  , 2 上单调递增，而外函数   1 2 t g t       在R 上单调递 减，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知   2 4 61 2 x x f x          的单调递减区间为  , 2 ，故选：B 题型三 函数单调性的应用 【例 3-1】（2019年真题）已知二次函数   2 23 1f x ax a x   ，若  f x 在  1,  单调递增，则a的取 值范围是___ 【答案】 20 3 a  【解析】思路:若  f x 在  1,  单调递增，则二次函数抛物线开口向上 0a  ，且对称轴 2 bx a   在 1 的左边，故  2 2 2 2 2 3 23 3 3 3 2 3 21, 1, 1 0, 0, 0, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab a a a a a a a a a a a a a a a              0a  23 2 0, 3 a a    20 3 a   【例 3-2】（2013年真题）若函数  2 3 3y x ax x    是增函数，则a的取值范围是 A、  ,6 B、  6,   C、  3,  D、  , 3  【答案】A 【解析】二次函数， 3x  是增函数，说明对称轴在 3的左侧， 3, 3, 6 2 2 1 b a a a        【变式 1】设函数 ( ) ( 1) 1f x a x   是R上的减函数，则有（ ） A． 1a  B． 1a  C． 1a  D． 1a  【答案】D 【解析】由题意函数 ( ) ( 1) 1f x a x   是R上的减函数，则 1a  ，否则 ( ) 1f x  为常数函数，不合题意， 故 ( ) ( 1) 1f x a x   为一次函数，故 1 0, 1a a    ，故选：D 【变式 2】若函数 2( )f x ax x a   在[1, ) 上单调递增,则 a的取值范围是( ) A． (0, ) B． (0,1] C．[1, ) D．[0, ) 【答案】D 【解析】当 0a  时，则 ( )f x x ，在[1, ) 上单调递增，满足题意；当 0a  时， 2( )f x ax x a   的对称轴 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 7 页 共 18 页 为 1 2 x a   ，要使函数 ( )f x 在[1, ) 上单调递增，只需 1 1 2 0 a a      ，解得 0a  ，综上，a的取值范围是[0, ) 故选：D 【变式 3】已知函数   2 8f x x kx   在 1,4 上单调，则实数 k的取值范围为（ ） A． 2 8, B． 8, 2  C．    , 8 2,    D．    , 2 8,   【答案】D 【解析】 2( ) 8f x x kx   的对称轴为 2 kx  ，若 2( ) 8f x x kx   在[1,4]上单调递增，则 1 2 k  ，解得 2k  ， 若 2( ) 8f x x kx   在[1,4]上单调递减，则 4 2 k  ，解得 8k  ，所以实数 k的取值范围为    , 2 8,   题型四 函数奇偶性的判断 【例 4-1】（2021年真题）下列函数中既是增函数又是奇函数的是（ ） A． 3y x B． 5y x  C． lny x D． 3 2y x x   【答案】A 【解析】本题掌握住求函数单调性(增减性)、奇偶性方法。判断函数奇偶性: 3y x ，即      3 , 3 3 ,3f x x f x x x x       与 3x 相反，函数为奇函数 5y x  ，即    5 5 5 5, ,f x f x x x x x       与 5 x  相反，函数为奇函数 3 2y x x   ，即        33 3 32 , 2 2 , 2f x x x f x x x x x x x              与 3 2x x 相反，函数为奇 函数。 【例 4-2】（2016年真题）下列函数中，为偶函数的是 A、 1y x  B、 sin cosy x x C、 2 1 2x  D、    lg 1 lg 1y x x    【答案】C 【解析】            1 1, , 0, ,Af x f x f x f x f x f x x x           为奇函数        sin cos , sin cos sin cos sin cosf x x x f x x x x x x x          ，奇函数          22 2 1 1 1, , ,C 2 22 f x f x f x f x x xx          为偶函数      1 1f x lg x lg x    定义域      1, 1 1x f x lg x lg x        定义域 1x  非奇非偶 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 8 页 共 18 页 【变式 1】判断下列函数的奇偶性： (1) 3 1( )f x x x   ； (2) 2 2( ) 1 1f x x x    ； (3) 236( ) | 3 | 3 xf x x     . （4） 2 2 4( ) xf x x   【答案】(1)奇函数(2)是奇函数，也是偶函数(3)既不是奇函数，也不是偶函数（4）偶函数． 【解析】（1） 3 1( )f x x x   的定义域为{ | 0}x x  ，关于原点对称， 3 31 1( ) ( ) ( ) ( )f x x x f x x x           ，则 ( )f x 为奇函数. （2）由 2 2 1 0 1 0 x x       ，解得 1x   ，则 2 2( ) 1 1f x x x    的定义域为{ 1,1} ，关于原点对称，又 ( ) 0f x  ， 则 ( )f x 既是奇函数，也是偶函数. （3）由 236 0 3 3 0 x x        ，可得 6 0x   或0 6x  ， ( )f x 的定义域不关于原点对称，则 ( )f x 既不是奇函数， 也不是偶函数． （4）由题意可得 2 2 4 0 0 x x      ，所以 2 2x   且 0x  ，所以函数 ( )y f x 的定义域为[ 2,0) (0, 2]  关于原点 对称，又 2 2 2 2 4 ( ) 4( ) ( ) ( ) x xf x f x x x         ，所以函数 ( )y f x 为偶函数； 【变式 2】下列函数中，是偶函数的是（ ） A． 3( )f x x B． ( ) | 1|f x x  C． ( ) 1f x  D． 2( ) 1 xf x x   【答案】C 【解析】对于 A，函数 3( )f x x 的定义域为 R， 3 3( ) ( ) ( )f x x x f x       ， ( )f x 不是偶函数，A不是； 对于 B，函数 ( ) | 1|f x x  的定义域为 R， ( ) | 1 | | 1 | ( )f x x x f x       ， ( )f x 不是偶函数，B不是； 对于 C，函数 ( ) 1f x  的定义域为 R， ( ) 1 ( )f x f x   ， ( )f x 是偶函数，C是； 对于 D，函数 2( ) 1 xf x x   的定义域为 R， 2( ) ( )( ) 1 xf x f x x        ， ( )f x 不是偶函数，D不是.故选：C 题型五 利用奇偶性求值 【例 5-1】已知函数 ( )f x 是定义在R上的奇函数，当 0x  时， 2( ) 4f x x x  ，则 ( 1)f   ___. 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 9 页 共 18 页 【答案】3 【解析】因为函数 ( )f x 是定义在 R上的奇函数，且当 0x  时， 2( ) 4f x x x  ， 则 2( 1) (1) (1 4) 3f f       .故答案为：3 【例 5-2】已知 ( )f x 是R上的奇函数，当 0x  时， 3( ) 3f x x  ，则 (0) ( 1)f f  （ ） A．4 B． 4 C．7 D． 1 【答案】A 【解析】当 0x  时， 3( ) 3f x x  ，因为 ( )f x 是R上的奇函数，所以        0 0, 1 1 1 3 4f f f         ， 所以  (0) ( 1) 0 4 4f f      .故选：A. 【变式 1】已知函数   7 3 2 2023f x ax bx x cx     ，且  10 6f  ，则  10f   ______． 【答案】 3852 【解析】由   7 3 2 2023f x ax bx x cx     ，得  7 3 2 2023ax bx cx f x x     ， 构建函数    7 3 2 2023h x ax bx cx f x x      ，定义域为R， 则            7 3 7 3h x a x b x c x ax bx cx h x             ，即  h x 是奇函数， 于是    10 10h h   ，所以      2 210 10 2023 10 10 2023f f         ，可得    10 10 3846f f    ， 又  10 6f  ，因此  10 3852f    ．故答案为： 3852 【变式 2】已知函数   4 2 6f x ax bx x    ，且  1 2022f   ，则  1f ______． 【答案】2024 【解析】构造具有奇偶性的函数，由   4 2 6f x ax bx x    ，得  4 2 6ax bx f x x    ， 构建函数    4 2 6g x ax bx f x x     ，定义域为R， 因为        4 2 4 26 6g x a x b x ax bx g x          所以函数  g x 是偶函数，所以    1 1g g  ， 所以      1 1 1 1f f     ，从而    1 1 2f f   ，又  1 2022f   ，因此  1 2024f  .故答案为：2024 题型六 利用奇偶性求解析式 【例 6-1】若  f x 是R上的奇函数，且当 0x  时，   26 2f x x x  ，则当 0x  ，  f x ______． 【答案】 26 2x x  【解析】设 0x  ，则 0x  ，所以   2 26( ) 2( ) 6 2f x x x x x       ， 因为  f x 是R上的奇函数，所以 ( ) ( )f x f x   ，所以 2( ) 6 2f x x x   ，所以 2( ) 6 2f x x x   ， 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 10 页 共 18 页 【例 6-2】已知函数  f x 是定义在 R上的偶函数，当 0x  时，    2 4f x x x  ，则函数  f x 在 R上的 表达式为______． 【答案】      2 4 , 0, 2 4 , 0 x x x f x x x x       【解析】当 0x  时， 0x  ，故      2 4 2 4f x x x x x       ，所以      2 4f x f x x x    ，所以      2 4 , 0, 2 4 , 0. x x x f x x x x       ，故答案为：      2 4 , 0, 2 4 , 0 x x x f x x x x       【变式 1】已知函数 ( )f x 在R上为偶函数，且当 0x  时， ( ) 1f x x  ，则当 0x  时， ( )f x 的解析式是（ ） A． ( ) 1f x x= - B． ( ) 1f x x  C． ( ) 1f x x   D． ( ) 1f x x   【答案】C 【解析】当 0x  时， 0x  ，由于  f x 是偶函数，所以     1f x f x x     .故选：C 【变式 2】已知 ( )y f x 是定义域为 R 的奇函数，当 0x  时， ( ) 1 2f x x  ，则当 0x  时， ( )y f x 的表 达式为_________． 【答案】 1 2x  / 2 1x  【解析】 ( )y f x 是定义域为 R的奇函数，当 0x  时， ( ) 1 2f x x  ，则当 0x  时， 0x  ， ( ) ( ) [1 2( )] 1 2f x f x x x          ，所以当 0x  时， ( )y f x 的表达式为 ( ) 1 2f x x   .故答案为： 1 2x  【变式 3】（2015年真题）已知  f x 是奇函数，当 0x  时，    2 2ln 1f x x x x    ，则当 0x  时，  f x  A、  2 2ln 1x x x    B、  2 2ln 1x x x    C、  2 2ln 1x x x     D、  2 2ln 1x x x   【答案】A 【解析】            2 22 2ln 1 ln 1f x f x x x x x x x                            2 2 2 2 1 2 21( ) 1 ( 1 ) 1x ln x x x ln x x x ln x x                             2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x ln x ln x x x x x x                 题型七 函数奇偶性的应用 【例 7-1】（2013年真题）设函数 2y x a x    是奇函数，则a ___ 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 11 页 共 18 页 【答案】0 【解析】    2 2 2,f x x a f x x a x a x x x              ，奇函数     0f x f x   ，即 2x x   2 0, 0, 0a x a a a a x        【例 7-2】设  f x 是定义在 1 ,2a 上偶函数，则   2 2f x ax bx   在区间 0,2 上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与 a，b有关，不能确定 【答案】B 【解析】  f x 是定义在  1 ,2a 上偶函数，∴定义域关于原点对称，即1 2 0a   ，∴ 3a   ， 则   2 22 3 2f x ax bx x bx       ，由 ( ) ( )f x f x  ，即 2 23 2 3 2x bx x bx       ，解得 0b  ，∴ 2( ) 3 2f x x   ， 函数图像抛物线开口向下，对称轴为 0x  ，则函数在区间 0,2 上是减函数．故选：B． 【例 7-3】设    3 22f x x a x x     是定义在[2 , 3]b b  上的奇函数，则  f a b ＝（ ） A． 1 B． 0 C．1 D． 2 【答案】B 【解析】因为    3 22f x x a x x     是定义在[2 , 3]b b  上的奇函数， 所以2 3 0b b   ，即 1b = - ，且      3 22f x x a x x f x     ＝ ，故 2 0a   ，所以 2a  ， 所以   3f x x x   ，则     31 1 1 0f a b f      .故选：B 【变式 1】设偶函数  f x 在区间  , 1  上单调递增， 则（ ） A．     3 1 2 2 f f f        B．     32 1 2 f f f        C．     32 1 2 f f f         D．     31 2 2 f f f        【答案】B 【解析】偶函数  f x 在区间  , 1  上单调递增，则      32 2 1 2 f f f f          ，即    32 1 2 f f f        . 【变式 2】已知函数    12 1xf x a a   R 为奇函数，则实数 a的值为（ ） A． 12 B． 1 2  C．1 D． 1 【答案】B 【详解】    1 2 1 2 1 1 2 2 1 x x x xf x a a f x a           ，得 1 22 1 2 1 1 2 x x xa      ，所以 1 2 a   .故选：B 题型八 函数对称性的应用及图像变换 【例 8-1】（2020年真题）函数 2 1 2 2 y x x    图像的对称轴为 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 12 页 共 18 页 A、 1x  B、 1 2 x  C、 1 2 x   D、 1x   【答案】A 【解析】二次函数求对称轴，可以直接套对称轴公式或者用配方法 对称轴公式 2 bx a   (a为二次方前面的系数、b为一次方前面的系 数) 2 1 2 1      【例 8-2】（2018年真题）下列函数中，为增函数的是 A、 xy e  B、 xy e C、 xe D、 xe 【答案】A 【解析】本题可用五点作图或者指数函数的性质画出大致图象，进而判断单调性. xy e 单调递增， xy e 函数为偶函数，图象关于 y轴对称，先减后增， xy e  与 xy e ，图象关于 x轴对称，单调递 减，  1 1 x xxy e e e           与 xy e ，图象关于 y轴对称，单调递减， xy e  与 xy e 关于 x轴对称， 单调递增， 【例 8-3】（2017年真题）函数 2 1x ay   的图像关于直线 1x  对称，则a  【答案】 1 【解析】 2 xy  的图象关于 y轴对称， 1x ay x   的图像关于直线 1x  对称，说明图象向右平移一个 单位，左加右减， 1a   【例 8-4】（2007年真题）已知函数  1y f x  是偶函数，则函数  2y f x 图象的对称轴是 A、 1x  B、 1x   C、 1 2 x  D、 1 2 x   【答案】D 【解析】  1f x 是偶函数，向右平移一个单位之后是偶函数，关于 y轴对称，函数本身关于 1x   对 称，即2x作为一个整体关于-1对称， 12 1, 2 x x    【变式 1】如图，已知函数 y x 的图象与函数 y x m  的图象关于直线 1x  对称，则m （ ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】D 【详解】依题意，在函数 y x 的图象上取点 (0,0)A ，点A关于直线 1x  的对称 点 (2,0)A 必在函数 y x m  的图象上，则有 | 2 | 0m  ，解得 2m  ，此时函数 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 13 页 共 18 页 y x m  即 2y x  ，相当于将函数 y x 的图象向右平移 2个单位长度得到，符合题意.故选：D. 【变式 2】函数 1( )f x x x   的图象关于（ ）对称. A．直线 y x B．原点 C． y轴 D． x轴 【答案】B 【详解】因为函数 1( )f x x x   的定义域为 | 0x x  ，关于原点对称，又 1 1( ) ( )f x x x f x x x              ， 所以 ( )f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选：B 【变式 3】函数   1 2 xf x x    的对称中心是 ． 【答案】  2,1 【详解】函数   ( 2) 1 11 2 2 xf x x x        ，显然函数 ( )y f x 的图象可以由函数 1y x  的图象向右平移 2个 单位，再向上平移 1个单位而得，而函数 1y x  的图象的对称中心为 (0,0)，所以函数 ( )y f x 的图象的 对称中心为 (2,1) .故答案为： (2,1) 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 14 页 共 18 页 1、函数 3 2 y x 的单调增区间是______. 【答案】 2 , 3     【解析】因为函数 3 2y x  可化为 23 2, 3 22 3 , 3 x x y x x         ，当 2 3 x  时，函数 2 3y x  单调递减；当 2 3 x  时， 函数 3 2y x  单调递增，所以函数 3 2y x  的单调递增区间为 2 , 3    ，故答案为： 2 , 3    2、函数 2( ) 2f x x ax   在[1, ) 上为增函数，则 a的取值范围是__________． 【答案】 2,  【解析】函数 2( ) 2f x x ax   开口向上，对称轴为 2 ax   ，要使函数  f x 在[1, ) 上为增函数，则 1 2 a   ， 解得 2a   ，即  2,a   .故答案为： 2,  3、若函数 2( ) 2 1f x x mx   在区间 ( 1, )  上是增函数，则实数m的取值范围是 ______ 【答案】[4, ) 【解析】二次函数 2( ) 2 1f x x mx   的图像开口向上，单调增区间为 , 4 m      ，又函数 2( ) 2 1f x x mx   在区间 ( 1, )  上是增函数，则 1 4 m    ，解之得 4m  ，则实数m的取值范围是[4, ) 故答案为：[4, ) 4、已知函数   2 2f x x ax   与   1 ag x x   在区间  1,2 上都是减函数，那么a__________. 【答案】  0,1 . 【解析】根据二次函数的表达式可知， 2( ) 2f x x ax   的对称轴为 x a ，开口向下，若 ( )f x 在区间  1,2 上是减函数，则 1a  ， ( ) 1 ag x x   是反比例型函数，若 ( )g x 在区间  1,2 是减函数，则 0a  ，所以0 1a  . 所以 2( ) 2f x x ax   与 ( ) 1 ag x x   在区间  1,2 上都是减函数，a的取值范围为0 1a  .故答案为:  0,1 5、下列函数中，是奇函数的是（ ） A． ( )f x x B． ( ) | |f x x C． 2( )f x x D． 2( ) 1f x x  【答案】A 【解析】对于 A， ( )f x x 的定义域为 R， ( ) ( )f x x f x     ，函数 ( )f x 是奇函数，A是；对于 B， ( ) | |f x x 的定义域为 R， ( ) | | ( )f x x f x    ，函数 ( )f x 不是奇函数，B不是；对于 C， 2( )f x x 的定义域为 R， 2( ) ( ) ( )f x x f x    ，函数 ( )f x 不是奇函数，C不是；对于 D， 2( ) 1f x x  的定义域为 R， 课后模拟·巩固练习 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 15 页 共 18 页 2( ) ( ) 1 ( )f x x f x     ，函数 ( )f x 不是奇函数，D不是.故选：A 6、已知 3( ) 1, ( 2) 10f x ax bx f     ，则 (2)f 等于（ ） A．8 B． 10 C． 12 D．10 【答案】C 【解析】函数 3( ) 1f x ax bx   的定义域为 R，令函数 3( ) ( ) 1g x f x ax bx    ，显然 3 3( ) ( ) ( ) ( )( )g a x b x ax bx g xx         ，即函数 ( )g x 是 R上的奇函数，因此 ( 2) (2) 0g g   ，即 ( 2) 1 (2) 1 0f f     ，而 ( 2) 10f   ，所以 (2) 12f   .故选：C 7、已知  f x 为偶函数，当 0x  时，   2 2 3f x x x   ，则当 0x  时，  f x （ ） A． 2 2 3x x   B． 2 2 3x x  C． 2 2 3x x   D． 2 2 3x x  【答案】B 【解析】当 0x  时， 0x  ，则      2 22 3 2 3f x x x x x         ，又因为  f x 是偶函数，所以     2 2 3f x f x x x     .故选：B 8、下列四个函数中是偶函数，且在  ,0 上单调递减的是（ ） A．   2 1f x x  B．   21f x x  C．   1 2f x x  D．   2 2 2 , 0 2 , 0 x x xf x x x x        【答案】D 【解析】对于 A，      2 2 1 1f x f x xx      是偶函数，当  ,0x  时是增函数；对于 B，      2 21 1f x x x f x       是偶函数，当  ,0x  时是增函数；对于 C，    1 2f x x f x    ，不是 偶函数；对于 D，设 0x＜ ，则 0x ＞ ，        2 22 2f x x x x x f x        ，当 x＞0时， 0x ＜ ，        2 22 2f x x x x x f x        ，是偶函数，当 0x＜ 时，   2 2f x x x  ，是对称轴 1x  ，开口向上的 抛物线，是减函数；故选：D. 9、（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间  0,  上单调递增的函数为 （填序号） ①． 2y x= ②． y x ③． 1y x  ④． y x 【答案】①④ 【解析】 2y x= 是偶函数，在区间  0,  上单增，故①满足； y x 是奇函数，故②不满足； 1y x  是偶 函数，但在区间  0,  上单减，故③不满足； y x 是偶函数，在区间  0,  上单调递增，故④满足 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 16 页 共 18 页 10、已知  f x 是定义在 R上的偶函数，当 0x  时，   2f x x x  . (1)求  f x 的解析式； (2)画出  f x 的图象； (3)求该函数的值域． 【答案】(1)   2 2 , 0 , 0 x x xf x x x x        (2)图象见解析 (3) 1 , 4      【解析】（1）当 0x  时， 0x  ，故    2 2f x x x x x      ，因为  f x 是定义在 R上的偶函数，所以    f x f x  ，所以   2f x x x  ，综上，   2 2 , 0 , 0 x x xf x x x x        ； （2）当 0x  时，   2 2 1 1 2 4 f x x x x         ，故此时函数  f x 在 10, 2       上单调递减，在 1 , 2      上单调递 增，又因为  f x 为偶函数，故  f x 在 1, 2       上单调递减，在 1 ,0 2      上单调递增，且 1 1 1 2 2 4 f f              ，      1 1 0 0f f f    ，画出函数图象如下： （3）由（2）可知看出函数的值域为 1 , 4      11、 2 2( ) 0.7x xf x  的单调递减区间为 【答案】  1, /  1, 【详解】复合函数 2 2( ) 0.7x xf x  可以分为：外部函数 0.7uy  与内部函数 2 2u x x  ,因为外部函数 0.7uy  在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求  f x 的减区间，等价于求 内部函数 2 2u x x  的增区间，易知 2 2u x x  的增区间为 1, ，故  f x 的减区间为 1, ，由于端点 不影响函数的单调性，所以  f x 的减区间也可以为 (1, ) ，故答案为： 1, . 12、函数 2 4 51 2 x x y         的严格递减区间为 ． 【答案】 2, 【详解】由题意指数函数 1 2 t y       在定义域内严格单调递减，若要函数 2 4 51 2 x x y         关于 x严格单调递 减，只需 2 4 5t x x   关于 x严格单调递增即可，而二次函数对称轴为 2x  ，且开口向上，故它的严格 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 17 页 共 18 页 单调递增区间为 2, ，即函数 2 4 51 2 x x y         的严格递减区间为 2, .故答案为： 2, . 13、下列函数是奇函数的是（ ） A． 1y x   B． lny x C． 2 1y x x   D． 1y x  【答案】A 【详解】对于 A，定义域为{ | 0}x x  ，因为 1 1( ) ( )f x f x x x        ，所以 1y x   是奇函数，所以 A正 确，对于 B，定义域为{ | 0}x x  ，因为定义域不关于原点对称，所以 lny x 是非奇非偶函数，所以 B 错误，对于 C，定义域为{ | 0}x x  ，因为 2 2 1 1( ) ( ) ( )f x x x f x x x          ，所以 2 1y x x   不是奇函数， 所以 C错误；对于 D，定义域为R，因为 ( ) 1 ( )f x x f x      ，所以 1y x  不是奇函数，所以 D错误. 14、下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A． sinf x x（ ） B． cosf x x（ ） C．  f x x D．   3f x x 【答案】D 【详解】 sinf x x（ ） 是奇函数，它在区间 2 , 2 , Z2 2 k k k         上单调递增，在定义域内不是增函数， 所以选项 A是错误的； cosf x x（ ） 是偶函数，所以选项 B是错误的；  f x x 既不是奇函数又不是偶 函数，所以选项 C是错误的；   3f x x 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项 D是正 确的；故选：D. 15、已知   3f x x a  ， xR ，且  f x 是奇函数，则 a ． 【答案】 0 【详解】因为  f x 是奇函数，故   ( ) 0f x f x   即  33 0x a x a     ，故 0a  ，故答案为： 0 . 16、二次函数 2( ) 4 5f x x mx   ，对称轴 2x   ，则 (1)f 值为（ ） A． 7 B．17 C．1 D．25 【答案】D 【详解】函数 f（x）=4x2﹣mx+5的图象的对称轴为 x=﹣2，可得： 28 m   ，解得 m=﹣16，则 f（1） =4+16+5=25．故选：D． 17、函数   2 1 2f x x   的对称轴方程为 . 【答案】 1 2 x  【详解】   12 1 2 2 2 2 f x x x      ，     1 11 2 1 2 2 2 2 2 f x x x f x          ，对称轴方程为 1 2 x  ， 【2025 届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊 第 18 页 共 18 页 18、已知   2 2 2f x x x   . （1）画出  f x 的图象. （2）根据图象写出  f x 的单调区间和值域. 【答案】（1）图象见解析；（2）在 ( , 1), (0,1)  上单调递减，在 ( 1,0), (1, )  单调递增；值域为[1, ) . 【详解】（1）由解析式知： ( ) ( )f x f x  ，即  f x 关于 y轴对称性， 当 0x  时， 2 2( ) 2 2 ( 1) 1f x x x x      ，即可根据三点画出右支 ( , )x y (0,2) (1,1) (2, 2) 由对称性即可得对应左支上的图象，如下图示： （2）由（1）所得图象，左右两支分别关于 = 1x  ， 1x  对称， ∴  f x 在 ( , 1), (0,1)  上单调递减，在 ( 1,0), (1, )  单调递增；值域为[1, ) .