函数的概念及其表示-2025届体育单招数学一轮复习讲义

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 函数的概念及其表示知识点·梳理 ①函数的概念: 设A，B是非空的实数集，对于集合A中的任意一个数x，按照确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． ②函数的构成要素： 1）定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域； 定义域的约束： 1°分式的分母不为零；如果有意义，则 2°对数的真数部分大于零；如果有意义，则 3°开偶次方根时，被开方数大于等于零；如果有意义，则 4°零指数幂底数不为零；如果有意义，则 5°如果有意义，则 2）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 3）解析式 ③区间的表示 定义 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 开区间 符号 ④函数的表示方法： 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 ⑤分段函数： 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的仍然是一个函数. ⑥复合函数：函数分解成和 重点题型·归类精讲 题型一 函数关系的判断 【例1-1】下面图象中，不能表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）下列是函数图象的是（    ） A．B．C．D． 题型二 区间的表示 【例2-1】把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 【变式1】集合可用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2】若实数满足，则用区间表示为（　　） A． B． C． D． 题型三 具体函数的定义域 【例3-1】（2024年真题）函数的定义域为____ 【例3-2】（2022年真题）已知函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（2021年真题）函数的定义域（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2020年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 【变式1】（2017年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 【变式2】（2016年真题）函数的定义域为___ 【变式3】（2014年真题）函数的定义域是___ 【变式4】（2006年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 题型四 利用函数解析式求值 【例4-1】（2005年真题）若，则 A、4 B、2 C、 D、 【例4-2】（2004年真题）函数的图象经过点，则的值为 A、 B、1 C、0 D、-1 【例4-3】已知，，求： (1)； (2)； (3). 【变式1】已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】若，则 . 题型五 二次函数值域问题 【例5-1】求函数在下列各区间上的最值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例5-2】（2018年真题）设与分别是函数在区间的最大值和最小值，则 A、 B、2 C、 D、 【例5-3】（2008年真题）函数在当时取得最大值，则的最大值是___ 【例5-4】（2006年真题）若函数在区间上的最大值和最小值分别是与，则其中的常数___ 【例5-5】求,的值域 【变式1】函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式2】函数的值域是 . 题型六 简单复合函数的值域问题 【例6-1】（2015年真题）函数的值域是 A、 B、 C、 D、 【例6-2】函数的值域是 【变式1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型七 分段函数 【例7-1】（2023年真题）已知函数，则（    ） A．-1 B．1 C． D．3 【例7-2】（2004年真题）已知函数，则的值是___ 【例7-3】已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【变式1】已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 【变式2】已知函数，则 . 课后模拟·巩固练习 1、（2010年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 2、（2003年真题）函数的定义域为___ 3、已知函数 (1)求，，； (2)若，求的值． 4、已知，则（    ） A．5 B．11 C．18 D．21 5、已知函数，，则 . 6、已知函数的图象过原点，则 ； 7、已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 8、已知函数，且该函数的值域为，则的值为 . 9、函数的值域为 ． 10、关于函数的值域是 11、函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 12、函数的值域为 . 13、已知函数，则 . 14、函数的定义域为 . 15、函数的定义域是 . 16、（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 函数的概念及其表示知识点·梳理 ①函数的概念: 设A，B是非空的实数集，对于集合A中的任意一个数x，按照确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． ②函数的构成要素： 1）定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域； 定义域的约束： 1°分式的分母不为零；如果有意义，则 2°对数的真数部分大于零；如果有意义，则 3°开偶次方根时，被开方数大于等于零；如果有意义，则 4°零指数幂底数不为零；如果有意义，则 5°如果有意义，则 2）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 3）解析式 ③区间的表示 定义 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 开区间 符号 ④函数的表示方法： 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 ⑤分段函数： 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的仍然是一个函数. ⑥复合函数：函数分解成和 重点题型·归类精讲 题型一 函数关系的判断 【例1-1】下面图象中，不能表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确； 选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.故选：C. 【例1-2】已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；对选项D：满足函数关系的条件，正确.故选：D 【变式1】（多选）下列是函数图象的是（    ） A．B．C．D． 【答案】ABD 【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD 题型二 区间的表示 【例2-1】把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. 【答案】见解析 【解析】(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)（2）{x|x<0}＝(－∞，0)(3){x|－1<x<1}＝(－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]. 【变式1】集合可用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，用开区间表示为故答案为：A。 【变式2】若实数满足，则用区间表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知可以等于，不能等于，所以是半开半闭区间，D选项符合. 故答案为：D. 题型三 具体函数的定义域 【例3-1】（2024年真题）函数的定义域为____ 【答案】或 【解析】本题考查定义域。对数函数真数大于 【例3-2】（2022年真题）已知函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对数函数真数大于0、根号下大于等于0,即 。 【例3-3】（2021年真题）函数的定义域（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】思路，定义域为自变量的取值范围，，根号下面的数不能为负数。所以。3和-3平方之后均为9，小于等于9往两边取。3往右是正方向，越来越大，-3往左是负方向，负负得正，平方之后比9大，若，则要取-3和3之间的数 本题为选择题，要使根号下大于等于零，不可以，不可以，9也不可以，直接排除，选A 【例3-4】（2020年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】定义域为的范围，根号下不能为负数，即 (十字相乘或者求根公式求解按2次、1次、常数顺序排列) 或(大于往两边取、小于往中间取) 【变式1】（2017年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】根号下大于等于0，分母不能为 【变式2】（2016年真题）函数的定义域为___ 【答案】 【解析】的3次方等于8，所以 【变式3】（2014年真题）函数的定义域是___ 【答案】 【解析】对数函数真数大于，所以两者同号，即 【变式4】（2006年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】根号下大于等于所以或，故选 题型四 利用函数解析式求值 【例4-1】（2005年真题）若，则 A、4 B、2 C、 D、 【答案】C 【解析】 【例4-2】（2004年真题）函数的图象经过点，则的值为 A、 B、1 C、0 D、-1 【答案】A 【解析】把代入得，解得 【例4-3】已知，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)-23；-1(2)-20；-51(3)8x2-46x+40；4x2-6x-55 【解析】(1)=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1； (2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51； (3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40； =g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55. 【变式1】已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案. 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得，故选：B 【变式2】若，则 . 【答案】5 【分析】由赋值法令，即可求解. 【详解】解：由得，令，得，得，故答案为：5 题型五 二次函数值域问题 【例5-1】求函数在下列各区间上的最值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)最小值为2，最大值为17 (2)最小值为5，最大值为37 (3)最小值为1，最大值为5 (4)最小值为1，最大值为17 【分析】分析得到函数在区间上的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为； （2）由（1）可知，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为； （3）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又和时，，故最大值为5； （4）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，，故最大值为17； 【例5-2】（2018年真题）设与分别是函数在区间的最大值和最小值，则 A、 B、2 C、 D、 【答案】A 【解析】前面的系数为1，大于0，二次函数抛物线开口向上；开口向上，取对称轴时，函数取最小值，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大。对称轴公式，当时，函数取最小值代入离远，当时，函数取最大值代入，所以 【例5-3】（2008年真题）函数在当时取得最大值，则的最大值是___ 【答案】2 【解析】函数有最大值，故小于0、抛物线开口向下，在处取最大值 即或(舍) 故函数解析式为 【例5-4】（2006年真题）若函数在区间上的最大值和最小值分别是与，则其中的常数___ 【答案】2 【解析】分类讨论，函数开口向下，经过，要么在处取最小值，要么在处取最小值 情况一：当时，取最小值，即，解得; 当时，，在区间的最大值为 情况二：当时，取最小值，即，解得; 当时，，在区间的最大值为 【例5-5】求,的值域 【答案】 【解析】因为函数的对称轴为,所以函数在单调递减,单调递增, 所以函数的值域为. 【变式1】函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为.故选：D 【变式2】函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用配方法求出函数值域即可. 【详解】显然，，则当时，， 所以函数的值域为. 故答案为： 题型六 简单复合函数的值域问题 【例6-1】（2015年真题）函数的值域是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】根号下大于等于0，当时取最大值，所以，函数的值域也是 【例6-2】函数的值域是 【答案】 【详解】解：因为函数 【变式1】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 题型七 分段函数 【例7-1】（2023年真题）已知函数，则（    ） A．-1 B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】本题考查分段函数，，代入下面的关系式，小于0，代入上面的关系式， 【例7-2】（2004年真题）已知函数，则的值是___ 【答案】 【解析】大于0，代入，得小于0，代入得 【例7-3】已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)2；(2)或2 【解析】（1）， （2） 当时，，解得，不成立； 当时，，解得或，成立； 当时，，解得成立. 综上，的值为或2. 【变式1】已知函数． （1）求的值； （2）画出函数的图象． 【答案】（1）；（2）图象见解析. 【解析】（1），，则； （2）函数的图象如下图所示： 【变式2】已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 课后模拟·巩固练习 1、（2010年真题）函数的定义域是 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】根号下大于等于0，分母不等于0，即，所以函数的定义域为，故选C 2、（2003年真题）函数的定义域为___ 【答案】 【解析】对数函数真数大于 3、已知函数 (1)求，，； (2)若，求的值． 【答案】(1)3，2，4 (2)或3 【解析】（1）因为，所以． 因为，所以．又，所以． （2）经观察可知，否则．若，令，得，符合题意； 若，令，得，符合题意．故的值为或3 4、已知，则（    ） A．5 B．11 C．18 D．21 【答案】B 【详解】令，则， 所以， 即，所以，故选：B. 5、已知函数，，则 . 【答案】 【详解】函数，，则. 故答案为： 6、已知函数的图象过原点，则 ； 【答案】 【详解】由函数过原点，即，得；故答案为：； 7、已知函数，当时，有最大值，最小值，则的值为 【答案】13 【详解】函数的对称轴为， 且函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值2，即2； 当时，函数取得最大值11，即11； 所以；故答案为：. 8、已知函数，且该函数的值域为，则的值为 . 【答案】3 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以若，的值域为，则， 因为的图象是开口向上的抛物线， 所以在上递减，上递增， 因为， 所以，即，解得或（舍去）， 故答案为：3 9、函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，所以；所以 所以函数的值域为.故答案为：. 10、关于函数的值域是 【答案】 【详解】因为有意义，所以，解得，即函数的定义域为， 函数，在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减； 在上有最大值4，最小值故的值域为 11、函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【详解】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D. 12、函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为二次函数的值域为， 所以的定义域是，值域为. 故答案为：. 13、已知函数，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 14、函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为， 所以，解得且， 即或. 故答案为：. 15、函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 16、（1）求下列函数的定义域：； （2）求下列函数的值域：. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）要使函数有意义，解出，即可得到答案； （2）由，即可得到答案. 【详解】（1）要使函数有意义， 则有，解得且， 所以其定义域为. （2）， 所以函数的值域为. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$