21.2.1二次函数yax²的图象和性质课件2023-2024学年沪科版数学九年级上册

九年级数学上册教学课件(HK) 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 九年级数学上册教学课件(HK) 学习目标 知道二次函数的图象是一条抛物线;会画二次函数y=ax2的图象; 掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用. 1 2 2 自主学习反馈 1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ; 2、函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 3.已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=-2, m2=1 由①得:m>-1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2, 二次函数y=ax2的图象和性质 新知讲解 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … 你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表:在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值: (2) 描点 (3) 连线 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像. 还记得如何用描点法画一个函数的图像吗? y=x2 新知讲解 二次函数 y = x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,这条曲线叫做抛物线 y = x2 , x y O -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 y=x2 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点. 新知讲解 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 问题1 从二次函数y=x2的图象你发现了什么性质? 在对称轴左侧,抛物线从左往右下降;在对称称轴的右侧,抛物线从左往右上升. 顶点坐标是(0,0);是抛物线上的最低点. 新知讲解 二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系 解:分别填表,再画出它们的图象,如图 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中,画出函数 的图象. 典例精析 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 问题1 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系? 当a>0时,a的绝对值越大,开口越小. 新知讲解 练一练:在同一直角坐标系中,画出函数 的图象. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 问题2 从二次函数 开口大小与a的绝对值大小有什么关系? 当a<0时,a的绝对值越大,开口越小. 练一练 x y o x y o 从图像可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.这样的曲线叫做抛物线. y=x2的图像叫做抛物线y=x2. y=-x2的图像叫做抛物线y=-x2. 实际上,二次函数的图像都是抛物线. 它们的开口向上或者向下. 一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴. 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=-x2的顶点(0,0)是它的最高点. y=x2 y=-x2 新知讲解 y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称,对称轴方程是直线x=0 顶点坐标是原点(0,0) 当x=0时,y最小值=0 当x=0时,y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 小结归纳 12 抛物线y=ax2与y=-ax2的关系 问题2 观察下列图象,抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么? 二次项系数互为相反数,开口相反,大小相同,它们关于x轴对称. x y O y=ax2 y=-ax2 新知讲解 13 做一做下面的题目,看谁做得又快又准确。 分层教学 A组 B组 如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是 . 如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a、b、c、d的大小关系为 . 争先恐后 我来 我来 我来 我来 小组展示 做一做下面的题目,看谁做得又快又准确。 如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是 m>1. 如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a、b、c、d的大小关系为 a>b>d>c. 解析一览 A组 B组 1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧,y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 2.函数y=-3x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧, y随x的增大而 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而 . 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) 减小 减小 增大 增大 x x y y O O 随堂检测 17 3、如右图,观察函数y=( k-1)x2的图象,则k的取值范围是 . x y k>1 4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) O 随堂检测 18 若抛物线y=ax2 (a ≠ 0),过点(-1,2). (1)则a的值是 ; (2)对称轴是 ,开口 . (3)顶点坐标是 ,顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4) 若A(x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上,且x1<x2<0, 则y1 y2. 2 y轴 向上 (0,0) 小 上 > 学以致用 19 二次函数y=ax2图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $$