精品解析：天津市河北区2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

河北区2023—2024学年度第二学期期末高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ） A. -1 B. 1 C. -5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的定义求出即可. 【详解】复数，， 由共轭复数的定义可知，，则有. 故选：A 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【分析】AD选项，根据互斥事件和对立事件的概念进行判断；B选项，求出两事件的概率；C选项，两事件不是同一事件，C错误. 【详解】AD选项，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误； B选项，，故B正确； C选项，事件与事件不是同一个事件，故C错误． 故选：B． 3. 一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意每个个体被抽到的概率均为， 则某一个特定个体被抽到的概率为. 故选：A 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得即为异面直线与所成角的平面角，进而可得出答案. 【详解】因， 所以即为异面直线与所成角的平面角， 而， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 5. 用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ） A. 12 B. C. 9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得、，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，依题意可得，， 所以，则. 故选：D 6. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法和数乘运算法则，取为基底，通过运算，即可得答案； 【详解】， ， 故选：B. 7. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或，又，则或与相交，相交也不一定垂直，故A错误； 对于B：若，，则或， 若，则在平面内存在直线，使得，又，则，又，所以； 若，又，所以； 综上可得，由，，，可得，故B错误； 对于C：若，，则，又，，是两个不同的平面，则，故C正确； 对于D：若，，，则或与异面，故D错误． 故选：C． 8. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点有种可能， 其中满足的数对有，共5种可能， 所以点在直线上的概率是. 故选：C. 9. 某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ） A. 该市14天空气质量指数的中位数为78.5 B. 该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 C. 该市14天空气质量指数的平均值大于100 D. 计算连续3天空气质量指数方差，其中6日到8日的方差最大 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数、中位数、百分位数和方差的概念即可得出答案. 【详解】对于A，将14天的空气质量指数由小到大排列为： ， 所以该市14天空气质量指数的中位数为：，故A正确. 对于B：因为，所以该市14天空气质量指数的百分位数为，故B正确； 对于C：， 该市14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误； 对于D：因为连续3天空气质量指数，6日到8日的波动最大，也即方差最大，故D正确. 故选：C. 10. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等体积法，由求解即可. 【详解】由直三棱柱的体积为6，可得， 设到平面的距离为，由， ，，解得， 即到平面的距离为. 故选：B. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上． 11. i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家． 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：根据所给的三种超市的数目，相加得到共有的超市数目，根据要抽取的超市数目，得到每个个体被抽到的概率，用中等超市的数目乘以被抽到的概率，得到结果． 解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家， ∴共有超市200+400+1400=2000， ∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本， ∴每个个体被抽到的概率是， ∴中型超市要抽取400×=20家， 故答案为20． 点评：本题考查分层抽样，这是一个每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等． 13. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意，所求概率为. 故答案为：. 14. 已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出长方体的体对角线长即为外接球的直径，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则长方体的体对角线长为， 又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为， 则，所以 所以外接球的表面积. 故答案为： 15. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算公式，再结合计数的基本知识计算即可. 【详解】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件. 目标事件为，，，，，共5个基本事件. 所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. （1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； （2）求下列事件的概率； ①“两个点数之和是5”； ②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”. 【答案】（1），是古典概型； （2）；. 【解析】 【分析】（1）确定试验的每个样本点的构成，写出样本空间，再判断样本空间的样本点个数及是否等可能作答. （2）用列举法分别写出事件A，B所含样本点，再由古典概率公式计算作答. 【小问1详解】 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，一号骰子的每一个结果都与二号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果， 用数字表示一号骰子出现的点数，用数字表示二号骰子出现的点数， 则数组表示这个试验的一个样本点，所以这个试验的样本空间为：， 样本空间共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，因此各个样本点出现的可能性相等，所以这个试验是古典概型. 【小问2详解】 由（1）知，事件A所含样本点：，共4个， 所以； 事件B所含样本点为： ，共15个， 所以. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的值和的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为向量，，且 所以，由正弦定理得， 又，则，显然， 则，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以面积. 18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）众数是，中位数为 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可得解； （2）求出月均用水量不低于3吨的频率，进而可得出答案； （3）根据频率分布直方图中众数和中位数的求法计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，，解得， 所以直方图中的值为； 【小问2详解】 由图得月均用水量不低于3吨的频率为， 所以估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为（人）； 【小问3详解】 由图可知，众数是； 因为， ， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 即中位数为. 19. 如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可证明； （2）依题意可得，再由平面，得到，即可得证； （3）取的中点，连接、、，首先证明，从而得到平面，则为直线与平面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 在三棱柱中，与交于点， 所以为的中点，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，是的中点，所以， 又平面，，所以平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面； 【小问3详解】 取的中点，连接、、， 则且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，又平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成角的平面角， 因为平面，平面，所以， 设，则，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2023—2024学年度第二学期期末高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ） A. -1 B. 1 C. -5 D. 5 2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币正面朝上”，事件 “第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. 与相等 D. 与互斥 3. 一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个样本容量为3的样本，则某一个特定个体被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 用半径为半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为（ ） A. 12 B. C. 9 D. 3 6. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ） A. 该市14天空气质量指数的中位数为78.5 B. 该市14天空气质量指数的第30百分位数为55 C. 该市14天空气质量指数的平均值大于100 D. 计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大 10. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上． 11. i是虚数单位，复数______． 12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家． 13. 某校团委举办“强国复兴有我”知识竞赛，甲、乙两位同学同时回答一道题目．已知甲同学答对的概率为，乙同学答对的概率为．若这两位同学回答正确与否互不影响，则甲、乙两位同学中至少1位同学答对这道题的概率为______． 14. 已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为______． 15. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为一号和二号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. （1）写出这个试验样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； （2）求下列事件概率； ①“两个点数之和5”； ②“一号骰子的点数比二号骰子的点数大”. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的值和的面积． 18. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）已知该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由． 19. 如图，在三棱柱中，与交于点，平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$