18 对数函数 夯实基础篇讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 18对数函数 第四章 指数函数与对数函数 夯实基础篇---18对数函数 一、问题导学： 1. 什么是对数？如何定义对数函数？ 2. 类比指数函数，对数函数有哪些性质和应用 3. 指数函数与对数函数有什么关系？ 二、知识构建 知识点一　对数函数的概念 1、定义：一般的函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 知识点二 对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】函数与函数（）的图象关于轴对称. 知识点三 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数.它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 知识点四：比较大小常用方法 1.同底或同幂，利用函数的单调性进行比较； 2.底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等； 3.图像法 二、类型剖析 类型一 对数函数的概念 类型二 对数函数的图像的认识和理解 题型三 利用对数函数的图像和性质求定义域、值域 题型四 利用对数函数的图像和性质解决过定点问题 类型五 利用对数函数的图像和性质比较大小 类型六 利用对数函数的单调性解不等式 三、类型应用 类型一：对数函数的概念 【例1】下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 类型二：对数函数的图像的认识和理解 【例2】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【跟踪训练2】当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（    ） A． B．   C．   D．   【例3】函数的反函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（    ） A． B．R C． D． 题型三-----利用对数函数的图像和性质求定义域、值域 【例4】求下列函数的定义域： （1）； （2）（，且）. 【跟踪训练4-1】函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-2】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4-4】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【例5】函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练5】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型四-----利用对数函数的图像和性质解决过定点问题 【例6】函数且恒过的定点为 . 【跟踪训练6-1】函数（，且）恒过的定点是 ． 【跟踪训练6-2】函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝ . 类型五----利用对数函数的图像和性质比较大小 【例7】比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【跟踪训练7-1】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 【跟踪训练7-2】比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和（且）； (4)和． 【例8】的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练8-1】设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练8-2】设，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 类型六---利用对数函数的单调性解不等式 【例9】不等式的解集为 ． 【跟踪训练9】函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 题型七----数学情境 1.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 2.溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH. 3.某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%. （1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？ 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 四、素养提升 1.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是 . ①；②；③；④. 4.求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 5.判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域: (1); (2). 6.已知函数(且)． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性． 7.已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为 8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？ 五、随堂检测 1.下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 3．的反函数是（    ） A． B． C． D． 4.下列函数中，在区间上为单调增函数的是（    ） A． B． C． D． 5.已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 6.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.函数与函数（）的图象关于 轴对称. 8.函数 的定义域为 . 9. 函数(且)的图象恒过定点 10.三个数的大小关系为 ． 11.已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 12.已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 13.求下列函数的定义域： （1）；    （2）； （3）；        （4）. 14.画出下列函数的图象： （1）； （2）.    15．比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，）． 16.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为. （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律。 思维拓展： 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 18对数函数 第四章 指数函数与对数函数 夯实基础篇---18对数函数 一、问题导学： 1. 什么是对数？如何定义对数函数？ 2. 类比指数函数，对数函数有哪些性质和应用 3. 指数函数与对数函数有什么关系？ 二、知识构建 知识点一　对数函数的概念 1、定义：一般的函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 知识点二 对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】函数与函数（）的图象关于轴对称. 知识点三 反函数 指数函数且与对数函数互为反函数.它们的图象关于直线对称，定义域与值域相反. 知识点四：比较大小常用方法 1.同底或同幂，利用函数的单调性进行比较； 2.底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等； 3.图像法 二、类型剖析 类型一 对数函数的概念 类型二 对数函数的图像的认识和理解 题型三 利用对数函数的图像和性质求定义域、值域 题型四 利用对数函数的图像和性质解决过定点问题 类型五 利用对数函数的图像和性质比较大小 类型六 利用对数函数的单调性解不等式 三、类型应用 类型一：对数函数的概念 【例1】下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数函数的概念分析可得答案. 【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 【跟踪训练1】下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的概念即得. 【详解】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数. 故选：D. 类型二：对数函数的图像的认识和理解 【例2】如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 【跟踪训练2】当a>1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果. 【详解】依题意可将指数函数化为，由可知； 由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BD， 由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除C， 故选：A. 【例3】函数的反函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出函数的反函数，判断选项中的点是否满足即可. 【详解】函数的反函数为，经过点 故选：D 【跟踪训练3】函数与函数互为反函数，若且，则函数的定义域为（    ） A． B．R C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数的定义计算的值域即可. 【详解】∵当时，， ∴函数，的值域为， 又与互为反函数互为反函数， 故的定义域为. 故选：C. 题型三-----利用对数函数的图像和性质求定义域、值域 【例4】求下列函数的定义域： （1）； （2）（，且）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由求解； （2）由求解． 【详解】（1）因为，即，所以函数的定义域是. （2）因为，即，所以函数的定义域是. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域．属于基础题．对数的真数大于0是解题根据． 【跟踪训练4-1】函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域. 【详解】由题意可得：，解得， 故选：B. 【跟踪训练4-2】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，即，解得或， 故函数的定义域为.故选：D. 【跟踪训练4-3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零求解即可. 【详解】由， 得，解得且， 即函数的定义域为. 故选：D. 【跟踪训练4-4】求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用对数型复合函数的定义域求法求解； （3）利用根式函数和对数函数的定义域求法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以，解得， 所以的定义域为； （2）因为， 所以，解得， 所以的定义域为； （3）因为， 所以，解得， 所以的定义域为； 【例5】函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 【跟踪训练5】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数的性质即可求得函数的值域． 【详解】令，则， 又在上单调递增， 所以， 故函数的值域为． 故选：B． 题型四-----利用对数函数的图像和性质解决过定点问题 【例6】函数且恒过的定点为 . 【答案】 【分析】若且过定点，则点的坐标与的取值无关，由对数的性质可知，令即可求出. 【详解】由题意得：，解得， 当时，， 所以定点坐标为. 故答案为： 【跟踪训练6-1】函数（，且）恒过的定点是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数性质结合指数幂运算求解. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）恒过的定点是. 故答案为：. 【跟踪训练6-2】函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则＝ . 【答案】27 【分析】由对数函数与幂函数的性质求解， 【详解】令，得，此时，故定点， 设，则，得，故， 故答案为：27 类型五----利用对数函数的图像和性质比较大小 【例7】比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）（2）利用对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系； （3）分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系. 【详解】（1）解：因为函数在上为增函数，且，所以，. （2）解：因为函数在上为减函数，且，所以，. （3）解：当时，函数在上为减函数， 因为，所以，； 当时，函数在上为增函数， 因为，所以，. 综上所述，当时，；当时，. 【跟踪训练7-1】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时， ；当时，. 【分析】根据对数函数的额单调性，比较每组中的函数值，即可求解. 【详解】（1）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （2）解：由对数函数在定义域上为单调递减函数，所以. （3）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （4）解：当时，函数是增函数，且，可得； 当时，函数是减函数，且，可得. 【跟踪训练7-2】比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和（且）； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性即可逐一求解. 【详解】（1）因为函数在上是增函数，且，所以． （2）因为函数在上是减函数，且，所以． （3）当时，因为函数在上是增函数，且，所以； 当时，因为函数在上是减函数，所以． （4）因为函数在上是减函数，所以． 又因为，所以． 【例8】的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 【跟踪训练8-1】设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以0和1为中间值比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 【跟踪训练8-2】设，则a，b，c的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，可判断出与的大小关系，进而得解. 【详解】因为在上为增函数，且， 所以，即， 因为，即 因为在上为增函数，且，所以．所以， 故选：D． 类型六---利用对数函数的单调性解不等式 【例9】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质，把原不等式转化为不等式组，即可求解. 【详解】因为，可得对数函数为单调递增函数， 则原不等式等价于，解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 【跟踪训练9】函数是定义在上的单调递减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】 根据函数单调性直接求解即可. 【详解】为定义在的减函数，由得：，， 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型七----数学情境 1.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出． 【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D， 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B． 能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C． 故选：C． 2.溶液酸碱度的测量:溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的pH. 【答案】（1）见解析；（2）7 【解析】（1）由对数型复合函数单调性说明； （2）直接代入公式计算． 【详解】（1）根据对数的运算性质，有，在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即pH减小，所以，随着的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强. （2）当时，.所以，纯净水的pH是7. 【点睛】本题考查对数函数的应用，考查对数函数的单调性．属于基础题． 3.某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%. （1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？ 【答案】（1）；（2）约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币. 【解析】（1）根据平均增长率问题得函数解析式，注意定义域； （2）由，求，可取对数计算． 【详解】（1）由题意. （2）令，得， ∴约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币. 【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算． 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，判断是奇函数，故排除CD；再根据的值，排除A，从而B正确. 【详解】由，得，解得， ∴函数的定义域为， ∵， ∴函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除CD； ∵，故排除A，从而B正确. 故选：B. 四、素养提升 1.下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案. 【详解】解：对于A，由函数，定义域为， 函数在和上递增，又当时，，当时，，故A选项不符题意； 对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B符合题意； 对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C不符合题意； 对于D，由函数， 则函数在上递增，在上递减，故D不符题意. 故选：B. 2.已知，那么是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得. 【详解】因为，且在上单调递增，所以， 又在R上单调递减, 所以, 所以，成立， 时，不能得出成立. 故选：A. 3.已知集合，集合，下列函数能体现集合A与集合B一一对应关系的是 . ①；②；③；④. 【答案】①③ 【解析】验证按照这个函数关系是定义域，是值域，或是定义域，是值域．还有就是一对一，两个不同的自变量对应的函数值不相同． 【详解】①当时，的值域为B. ②当时，，但. ③当时，的值域为A. ④当时，. ∴能体现A，B对应关系的是①③. 故答案为：①③ 【点睛】本题考查函数的概念，考查一一对应的概念．属于基础题． 4.求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用对数型函数定义域求解； （2）利用对数型函数及分式型函数定义域求解； （3）利用对数型函数及分式型函数定义域求解； （4）利用对数型函数及根式型函数定义域求解； 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得 故函数定义域为 （2）要使函数有意义，需满足，即，解得 故函数定义域为 （3）要使函数有意义，需满足，即 故函数定义域为 （4）要使函数有意义，需满足，即，解得 故函数定义域为 5.判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域: (1); (2). 【答案】(1)互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为. (2)互为反函数.的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为. 【解析】根据反函数的求解方法判断分析即可. 【详解】(1)求的反函数有.故,且互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为. (2)求的反函数有.故互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为. 【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题. 6.已知函数(且)． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性． 【答案】(1)奇函数； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减. 【分析】(1)求出函数定义域，根据f(－x)和f(x)关系判断其奇偶性； (2)利用定义法即可判断f(x)的单调性，或根据复合函数的单调性也可判断. 【详解】（1）由得，∴的定义域为，关于原点对称， 又， ∴是奇函数； （2）∵在上单调递减， 又当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， ∴当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减. 7.已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】 根据函数的单调性列出不等式组，解出即可. 【详解】因为， 则函数为上的增函数， 故有，解得， 故答案为：. 8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？ 【答案】5 【分析】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，列不等式，即可解得. 【详解】设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则， ∴，∴， ∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车. 五、随堂检测 1.下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 2．函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用真数大于零，列出不等式，求解即可. 【详解】由题知，，解得 所以函数的定义域为 故选： 3．的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据指数函数与对数函数的关系，可得函数的反函数为. 故选：B. 4.下列函数中，在区间上为单调增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数函数的单调性判断即可. 【详解】解：对于A：在上单调递减，故A错误； 对于B：在上单调递减，故B错误； 对于C：在上单调递增，在上单调递减，故C正确； 对于D：在上单调递减，故D错误； 故选：C 5.已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质结合条件分析即得. 【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1； 当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合， 故选：C． 6.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】不能保证都是正值，推不出，反之则成立，即可求解. 【详解】因为在上是增函数，故由可得； 取，，此时满足，但是不满足， 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 7.函数与函数（）的图象关于 轴对称. 【答案】 【分析】化简得到，由得到两函数关于轴对称. 【详解】，设， 则，故两函数关于轴对称. 故答案为： 8.函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 9. 函数(且)的图象恒过定点 【答案】 【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可； 【详解】解：因为函数(且)， 令，解得，所以，即函数恒过点； 故答案为： 10.三个数的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数与对数函数的性质，可得，，， 所以. 故答案为：. 11.已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域. 【详解】∵，∴，即， 即，则函数的值域为. 故答案为： 12.已知对数函数，且）的图象经过点，求的值. 【答案】0；；1. 【分析】由图象过点，求出a，再由函数表达式求出相应的函数值. 【详解】由题意知，即，而且， 所以，， 所以， ， . 13.求下列函数的定义域： （1）；    （2）； （3）；        （4）. 【答案】（1）； （2）；（3）；（4）. 【分析】根据解析式列出使函数有意义的不等式，即可解出定义域. 【详解】（1）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. （2）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. （3）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. （4）要使函数有意义， 只需，解得：， 所以的定义域为. 14.画出下列函数的图象： （1）； （2）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）化简为，，再作图． （2）化简为，，再作图． 【详解】（1），图象如图    （2），图象如图.    【点睛】本题考查作函数图象，解题时需先化简函数解析式，同时要注意函数的定义域． 15．比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，）． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)当时，；当时，； 【分析】（1）利用函数在上单调递增，可得； （2）利用函数在上单调递减，可得； （3）由对数函数单调性分别限定出两个数的范围，即可得； （4）对参数的取值范围进行分类讨论，再根据对数函数单调性即可得出结论. 【详解】（1）由对数函数性质可知，函数在上单调递增， 又，所以可得； （2）由对数函数性质可知，函数在上单调递减， 又，所以可得； （3）由对数函数性质可知，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 又，所以可得，，即可得； 所以； （4）易知当时，对数函数在上单调递减， 又，所以可得； 当时，对数函数在上单调递增， 又，所以可得； 综上可得当时，；当时， 16.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为. （1）该地的物价经过几年后会翻一番？ （2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律。 【答案】（1）大约经过14年后会翻一番；（2）见解析 【解析】（1）据题意列出关于的函数，求出时的值即可． （2）由，利用计算工具，可得表格中的数，可看出物价随时间的增长的规律． 【详解】（1）由题意可知，经过年后物价为，即. 由对数与指数间的关系，可得. 由计算工具可得，当时，. 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番. （2）根据函数，利用计算工具，可得下表： 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小. 【点睛】本题考查对数函数的应用，考查对数函数的性质．属于基础题． 思维拓展： 1.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合中间值比较大小. 【详解】因为在R上单调递减，故，即， 因为在上单调递增，故， 因为在上单调递减，故， 故. 故选：C． 2.中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，则下列选项中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】利用函数的定义逐项分析判断即得. 【详解】对于A，函数定义域为R，定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，与是相同函数，B是； 对于C，函数的定义域为，的定义域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 3.已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】(1) (2)函数为定义域上的偶函数，证明见解析 【分析】（1）由题意可得，解不等式即可求出结果； （2）令，证得，根据偶函数的定义即可得出结论. 【详解】（1）由， 则有，得．则函数的定义域为． （2）函数为定义域上的偶函数． 令， 则， 又 ． 则，有成立． 则函数为在定义域上的偶函数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$