指数夯实基础篇讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修第一册 夯实基础篇 15指数 第四章函指数函数与对数函数 夯实基础篇---15指数 1、 问题导入 1. 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，据今公元前3300年—2500年，你知道考古学家是怎么计算的吗？ 2. 回忆研究幂函数的方法，我们研究一类新的函数---指数函数 3. 指数幂的运算有哪些？ 2、 知识构建 【知识点一】次方根，根式 一般地，如果 ，那么叫做的次方根，其中，且. （1）当是奇数时， 正数的次方根是一个 ，负数的次方根是一个 ，可表示为 ； （2）当是偶数时， 正数的次方根有两个，这两个数互为 .可表示为 （） （3）负数没有偶次方根． （4）的任何次方根都是，记作：． （5）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 【知识点二】根式的性质　 （1） (n∈N*，且n>1)． （2）当为奇数时： ． 当为数偶时： 【知识点三】分数指数幂 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： ( 2．规定正数的负分数指数幂的意义是： = 3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 【知识点四】有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1) (2) (3) 【知识点五】无理数指数幂 一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （1）（，） （2）（，） （3）（，） 3、 类型剖析 类型一：利用根式的性质化简求值 类型二：根式与分数指数幂的互化 类型三：指数幂的运算性质的应用 类型四：条件求值问题 四、类型应用 类型一--- 利用根式的性质化简求值 【例1】求下列各式的值 ［跟踪训练1］化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 类型二---根式与分数指数幂的互化 【例2】　求值：； 【跟踪训练2】求值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例3】用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0） 【跟踪训练3-1】用根式的形式表示下列各式（）： （1）；（2）；（3）；（4）. 【跟踪训练3-2】用分数指数幂表示下列各式： ；； ； 【跟踪训练3-3】用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 类型三----指数幂的运算性质 【例4】计算下列各式（式中字母均是正数）： （1）；（2）；（3）. 【跟踪训练4-1】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【跟踪训练4-2】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【跟踪训练4-3】计算： （1）； （2）. 【例5】计算下列各式： （1）；（2）. 【跟踪训练5-1】化简下列各式： (1)； (2)． 类型四---条件求值问题 【例6】已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 【跟踪训练6-1】已知，求的值． 【跟踪训练6-2】已知，则的值为________. 【跟踪训练6-3】已知，求的值； 4、 素养提升 1.若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若，则 . 3.设，为方程的两个根，则（    ） A．8 B．-8 C．1 D．3 4.在，，，中最大的数是： ； 5.已知，则 ． 6.从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满…… （1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？ （2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？ 六、数学情境 1.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个. 2.2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（    ） A． B． C． D． 3．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（    ）个“半衰期”．【提示：】 A．10 B．9 C．11 D．8 七、随堂检测 1．的运算结果是（    ） A．3 B． C． D．以上都不对 2． （    ） A． B． C． D． 3.设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4.下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 5.用分数指数幂表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 6.若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7.得（ ） A． B． C． D． 8.已知函数，则（    ） A． B． C．4 D． （选）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 9.计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 10.若，则 . 11.若，，则的值是 . 12.若，则的值为 . 13.求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 14.已知，求下列各式的值： (1)； (2). 15.计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）；（4）. 16.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$必修第一册 夯实基础篇 15指数 第四章函指数函数与对数函数 夯实基础篇---15指数 1、 问题导入 1. 良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚镇，据今公元前3300年—2500年，你知道考古学家是怎么计算的吗？ 2. 回忆研究幂函数的方法，我们研究一类新的函数---指数函数 3. 指数幂的运算有哪些？ 2、 知识构建 【知识点一】次方根，根式 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. （1）当是奇数时， 正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，可表示为； （2）当是偶数时， 正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.可表示为（） （3）负数没有偶次方根． （4）的任何次方根都是，记作：． （5）根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 【知识点二】根式的性质　 （1）(n∈N*，且n>1)． （2）当为奇数时：． 当为数偶时： 【知识点三】分数指数幂 1．规定正数的正分数指数幂的意义是： ( 2．规定正数的负分数指数幂的意义是： 3．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 【知识点四】有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1) (2) (3) 【知识点五】无理数指数幂 一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （1）（，） （2）（，） （3）（，） 3、 类型剖析 类型一：利用根式的性质化简求值 类型二：根式与分数指数幂的互化 类型三：指数幂的运算性质的应用 类型四：条件求值问题 四、类型应用 类型一--- 利用根式的性质化简求值 【例1】求下列各式的值 【答案】（1）-8（2）10（3）（4）或 【解析】 ［跟踪训练1］化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) (5) 【分析】根据根式的含义及化简，一一解答各小题，即可求得答案, 【详解】（1）由题意得； （2） （3） （4）由于，则，故； （5）. 类型二---根式与分数指数幂的互化 【例2】　求值：； 【答案】4； 【分析】根据指数的运算法则：求值，注意运算过程中应用、简化运算 【详解】 【点睛】本题考查了指数运算；运用指数运算法则化简求值 【跟踪训练2】求值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3)27 (4) 【分析】根据分数指数幂的运算，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）由题意得； （2） （3） （4）. 【例3】用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0） 【答案】（1）（2） 【解析】 【跟踪训练3-1】用根式的形式表示下列各式（）： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的分数指数幂化为根式的形式. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【点睛】本题考查将分数指数幂化为根式，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 【跟踪训练3-2】用分数指数幂表示下列各式： ；； ； 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】　(1)原式＝a2a＝a2＋＝a. (2)原式＝＝＝a. (3)原式＝a·a＝a＋＝a. (4)原式＝2·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab. 规律方法　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出． 【跟踪训练3-3】用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的根式化为分数指数幂的形式. 【详解】（1）当时，； （2）当时，，则； （3）当时，； （4）当时，. 【点睛】本题考查将根式化为分数指数幂，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 类型三----指数幂的运算性质 【例4】计算下列各式（式中字母均是正数）： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减； （2）利用指数幂的运算性质化简计算即可； （3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3） 【点睛】本题考查指数幂的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题. 【跟踪训练4-1】计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据分数指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）． 【跟踪训练4-2】计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）12；（3） 【解析】 （1） ； （2）原式； （3）原式. 【跟踪训练4-3】计算： （1）； （2）. 【答案】（1）.（2） 【解析】 （1）原式 （2）原式 【例5】计算下列各式： （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可； （2）利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题. 【跟踪训练5-1】化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】根据指数幂的运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：根据指数幂的运算性质，可得. （2）解：根据指数幂的运算性质，可得. 类型四---条件求值问题 【例6】已知，求下列各式的值：（1）；（2）. 【答案】（1）7；（2）47. 【解析】（1）对等式两边同时平方即可得解； （2）根据（1）对两边同时平方即可得解. 【详解】（1），∴两边平方得.. （2）由（1）知，两边平方得. 【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值. 【跟踪训练6-1】已知，求的值． 【答案】 【解析】　因为x＋x＝3， 所以(x＋x)2＝9， 所以(x)2＋2x·x＋(x)2＝9， 所以x＋2＋x－1＝9， 所以x＋x－1＝7， 所以原式＝＝. 【跟踪训练6-2】已知，则的值为________. 【答案】23 【解析】因为， 所以，即， 所以. 故答案为： 【跟踪训练6-3】已知，求的值； 【答案】（1）【解析】（1）根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值； 【详解】（1）原式； 已知，求的值. 【答案】. 【解析】利用立方和公式化简因式分解再求值. 【详解】 原式 . 【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解. 4、 素养提升 1.若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式、幂的定义判断． 【详解】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 2.若，则 . 【答案】 【分析】利用化简，并去绝对值求出答案. 【详解】因为，所以. 故答案为： 3.设，为方程的两个根，则（    ） A．8 B．-8 C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系，结合指数幂的运算，可得答案. 【详解】由于，为方程的两个根, 利用根与系数的关系，得， 所以, 故选:A 4.在，，，中最大的数是： ； 【答案】 【分析】可看出，且，然后根据指数函数的单调性即可得出最大的数． 【详解】解：，， 最大的数是． 故答案为：． 5.已知，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 即， 又因为， 即，可得 即， 所以． 故答案为： 6.从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满…… （1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？ （2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，根据比例关系即可求解； （2）结合第（1）问分析出的关系每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的，即可得解. 【详解】（1）倒出1次后还剩，加满水后浓度为. 倒出2次后还剩，加满水后浓度为. 倒出3次后逐剩，加满水后浓度为. 倒出4次后还剩，加满水后浓度为. 倒出5次后还剩. （2）由（1）知，连续进行了n次，容器中的纯酒精还剩下. 【点睛】此题考查利用指数性质解实际应用题，关键在于建立恰当的函数模型求解. 六、数学情境 1.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成 个. 【答案】64 【解析】一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解. 【详解】由题：细菌每10 min分裂1次（1个分裂成2个）， 经过1h可分裂6次，可分裂成（个）. 故答案为：64 【点睛】此题考查利用指数幂的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问题转化为纯数学问题. 2.2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值. 【详解】设地球的公转周期为，则火星的公转周期为. 设地球､火星运行轨道的半长轴分别为，， 则， 于是. 故选: A. 3．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了（    ）个“半衰期”．【提示：】 A．10 B．9 C．11 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数不等式与参考数据，即可求解. 【详解】由题意可设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个才能被测到碳14， 则，即， 由参考数据可知，，， 所以. 故选：A． 七、随堂检测 1．的运算结果是（    ） A．3 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】直接根据指数的运算即可得结果. 【详解】， 故选：A. 2． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3.设，m，n是正整数，且，则下列各式；；；正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出． 【详解】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1， ∴，正确， 显然a0＝1，正确， 而，∴正确， 故选：A． 4.下列说法正确的个数是（　　） ①49的平方根为7；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据根式的运算，逐一判断即可. 【详解】49的平方根是，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，故④错误． 故选:A． 5.用分数指数幂表示，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 6.若有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的式子有意义，列式求解即得. 【详解】由有意义，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 7.得（ ） A． B． C． D． 【答案】D 8.已知函数，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查复合函数的求值，利用函数解析式直接求解. 【详解】解： 故选：C （选）（    ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【答案】D 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，，即可求解. 【详解】当为奇数时，； 当为偶数时，. 故选：D 9.计算下列各式． （1）＝ ； （2）＝ ； （3）＝ . 【答案】 【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可； （2）根据根式的运算性质直接求解即可； （3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可； 【详解】（1）. （2）. （3）. 故答案为：（1）；（2）；（3） 10.若，则 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则直接求解即可. 【详解】，. 故答案为：. 11.若，，则的值是 . 【答案】 【分析】根据幂的乘方逆运算和同底数幂的除法逆运算法则解答即可. 【详解】； 故答案为：. 12.若，则的值为 . 【答案】14 【分析】两边平方求出答案. 【详解】，两边平方得， 即，解得. 故答案为：14 13.求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）100；（2）；（3）；（4）. 【解析】（1）根据偶次根式运算法则可得； （2）根据奇数次根式化简运算可得； （3）根据偶次根式化简法则，考虑即可得解； （4）根据偶次根式化简法则，考虑符号不确定，加绝对值即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【点睛】此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号. 14.已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)3 (2)7 【分析】根据平方关系运算求解. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以. 15.计算下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）· 【解析】（1）同底指数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）根据指数幂运算法则得，化简即可； （3）根据指数幂运算法则求值； （4）根据指数幂的运算法则求值即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式. 【点睛】此题考查指数幂的运算法则，同底指数幂的乘法和除法运算，关键在于熟练掌握运算法则准确求解. 16.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）1；（2）；（3）1. 【解析】（1）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算； （3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$