第23章　微专题　旋转模型 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十三章　旋转 微专题　旋转模型 类型　　 “手拉手”模型   两等边三角形 “手拉手”模型 两等腰直角三角形 “手拉手”模型 两正方形 “手拉手”模型 图示 已知 △ABC和△AEF是等边三角形，BE与CF相交于点O． △ABC和△AEF是等腰直角三角形，BE与CF相交于点O． 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，BE与DG相交于点O． 微专题　旋转模型   两等边三角形 “手拉手”模型 两等腰直角三角形 “手拉手”模型 两正方形 “手拉手”模型 结论 ①△ABE≌△ACF，BE＝CF； ②∠BOC＝∠EOF＝60°； ③连接OA，则OA平分∠BOF． ①△ABE≌△ACF，BE＝CF； ②∠BOC＝∠EOF＝90°(即BE⊥CF)； ③连接OA，则OA平分∠COE． ①△ABE≌△ADG，BE＝DG； ②∠BOD＝∠EOG＝90°(即BE⊥DG)； ③连接OA，则OA平分∠DOE． 结论③的证明提示： △ABE和△ACF(△ADG)的对应边BE，CF(DG)上的高相等． 微专题　旋转模型 1．如图1，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BCO绕点C顺时针旋转60°得到△ACD，则下列结论不正确的是 (　　) A．BO＝AD B．∠DOC＝60° C．OD⊥AD D．OD∥AB D　 图1 微专题　旋转模型 2．在一次小组合作探究课上，小明将正方形ABCD和正方形AEFG按如图2所示的位置摆放(点E，A，D在同一条直线上)，连接BE，DG．小明与小组组员讨论后，提出了以下三个问题，请你帮他解答： (1)BE和DG之间的数量关系为__________． BE＝DG　 图2 微专题　旋转模型 (2)将正方形AEFG绕点A按逆时针旋转到如图3所示的位置时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由． 图3 解：(1)中的结论仍然成立．理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°． ∴∠EAG－∠BAG＝∠BAD－∠BAG， 即∠EAB＝∠GAD． ∴△EAB≌△GAD(SAS)． ∴BE＝DG． 微专题　旋转模型 (3)将正方形AEFG绕点A旋转到如图4所示的位置时，线段BE和DG有怎样的数量和位置关系？请写出结论并证明． 图4 解：BE＝DG，且BE⊥DG． 证明：∵AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAD＋∠DAE＝∠EAG＋∠DAE， 即∠BAE＝∠DAG． 微专题　旋转模型 ∴△EAB≌△GAD(SAS)． ∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG． 如答图1，设BE与AD交于点H，与DG交于点I． ∵∠AHB＝∠IHD，∴∠DIH＝∠BAH＝90°． ∴BE⊥DG． 答图1 微专题　旋转模型 类型　　 “半角”模型   等边三角形 “半角”模型 等腰直角三角形 “半角”模型 正方形 “半角”模型 图示        微专题　旋转模型   等边三角形 “半角”模型 等腰直角三角形 “半角”模型 正方形 “半角”模型 已知 在等边三角形ABC中，点E在边BC上，∠EAD＝30°，将△ACE绕点A顺时针旋转得到△ABF，使AC与AB重合，连接DF． 在等腰直角三角形ABC中，点E在边BC上，∠EAD＝45°，将△ACE绕点A顺时针旋转得到△ABF，使AC与AB重合，连接DF． 在正方形ABCD中，点E在边CD上，∠EAG＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，使AD与AB重合． 结论 ①△AED≌△AFD； ②CE＝BF，DE＝DF． ①△AED≌△AFD； ②CE＝BF，DE＝DF． ①△AEG≌△AFG； ②EG＝FG＝DE＋BG． 微专题　旋转模型 3．如图5，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，连接EF，则下列结论： 图5 ①∠EAF＝45°；②BF＝CD；③BC＝2DE； ④BE2＋CD2＝DE2．其中一定正确的是 (　　) A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ C　 微专题　旋转模型 4．如图6，已知△ABC是边长为1的等边三角形，以BC为底边作△BCD，使得DB＝DC，且∠BDC＝120°，点M是边AB上的一个动点，作∠MDN交边AC于点N，且∠MDN＝60°，则△AMN的周长为_____．(提示：将△DCN绕点D旋转，使CD与BD重合) 图6 2　 微专题　旋转模型 5．如图7，正方形ABCD的边长为9，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM． 图7 微专题　旋转模型 图7 (1)求证：EF＝MF； 微专题　旋转模型 (2)当AE＝3时，求EF的长． 解：由题意，得AB＝BC＝9． ∵AE＝3，∴BE＝AB－AE＝6，CM＝AE＝3． 设CF＝x，则BF＝9－x，EF＝MF＝3＋x． 在Rt△EBF中，BE2＋BF2＝EF2， 即62＋(9－x)2＝(3＋x)2． 图7 微专题　旋转模型 在△DEF和△DMF中， ∴△DEF≌△DMF(SAS)． ∴EF＝MF． 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°． 由旋转的性质，得DE＝DM，∠ADC＝∠EDM＝90°． 又∠EDF＝45°，∴∠MDF＝45°＝∠EDF． 解得x＝． ∴EF＝3＋x＝． $$