第22章　微专题　二次函数综合课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章　二次函数 微专题　二次函数综合 类型　　 线段相等或比例问题 1．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的解析式； 微专题　二次函数综合 (2)点E(t，0)为x轴上一点，若AE＝CE，求t的值． 微专题　二次函数综合 图1 微专题　二次函数综合 图1 微专题　二次函数综合 图1 微专题　二次函数综合 (2)如图2，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交BC于点F．若点D是线段EF的三等分点，求点D的坐标． 图2 微专题　二次函数综合 图2 微专题　二次函数综合 图2 微专题　二次函数综合 图2 微专题　二次函数综合 类型　　 最值问题 情况一　线段长度、三角形或四边形面积的最值 3．如图3，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，A，C两点的坐标分别为(－1，0)，(0，3)． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标； 图3 微专题　二次函数综合 图3 微专题　二次函数综合 (2)若点M是第一象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线交BC于点N，求MN的最大值． 图3 微专题　二次函数综合 图3 微专题　二次函数综合 图3 变式　若点M是第一象限内抛物线上的一点，连接BM，CM，求△BCM面积的最大值及点M的坐标． (或“若点M是第一象限内抛物线上的一点，连接AC，BM，CM，求四边形ABMC面积的最大值，及此时点M的坐标．”) 微专题　二次函数综合 答图1 微专题　二次函数综合 微专题　二次函数综合 情况二　将军饮马问题有关的最值 4．如图4，抛物线y＝(x－1)2＋n与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； 图4 解：将C(0，－3)代入y＝(x－1)2＋n， 得－3＝1＋n．解得n＝－4． ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3． 微专题　二次函数综合 (2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PA＋PC最小时，求点P的坐标； (思考：若“当PA＋PC最小时”改为“当△PAC 的周长最小时”呢？) 图4 微专题　二次函数综合 解：令y＝0，则x2－2x－3＝0． 解得x＝－1或x＝3．∴A(－1，0)，B(3，0)． 由题意可知，点A与点B关于抛物线的对称轴直线x＝1对称， ∴PA＋PC＝PB＋PC． ∴当点P，B，C在同一直线上时，PA＋PC有最小值． 如答图2，连接BC交对称轴于点P，此时PA＋PC最小． 图4 答图2 微专题　二次函数综合 答图2 微专题　二次函数综合 (3)点Q是抛物线对称轴上的一动点，当|QA－QC|最大时，求点Q的坐标． 图4 解：根据三角形的三边关系可知|QA－QC|≤AC． ∴当点Q，A，C在同一直线上时，|QA－QC|有最大值． 微专题　二次函数综合 如答图3，连接AC并延长，交对称轴于点Q，此时|QA－QC|最大． 答图3 微专题　二次函数综合 类型　　 三角形面积关系求点坐标 5．如图5，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交 y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． 图5 微专题　二次函数综合 图5 微专题　二次函数综合 图5 微专题　二次函数综合 　　　三角形的面积比例问题中，常为两个三角形的一边重合，可根据同底将面积比转化为高的比进行求解． 图5 微专题　二次函数综合 类型　　 特殊图形的存在性问题 情况一　直角三角形的存在性问题 6．已知抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式． 微专题　二次函数综合 (2)如图6，点P在抛物线上且横坐标为3，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． 由题意，得直线l的解析式为x＝3． 令x＝0，则y＝－3．∴C(0，－3)． 又B(6，0)，∴OB＝6，OC＝3． ∴BC2＝OB2＋OC2＝45． 图6 微专题　二次函数综合 设D(3，n)，则BD2＝9＋n2，CD2＝9＋(n＋3)2． △BCD为直角三角形时，分为以下三种情况： ①当∠CBD＝90°时，BD2＋BC2＝CD2． ∴9＋n2＋45＝9＋(n＋3)2． 解得n＝6．∴D1(3，6)． ②当∠BCD＝90°时，CD2＋BC2＝BD2． ∴9＋(n＋3)2＋45＝9＋n2． 解得n＝－9．∴D2(3，－9)． 图6 微专题　二次函数综合 　　　直角三角形的存在性问题中，注意对直角顶点的不同情况进行分类讨论，再结合勾股定理进行求解． 图6 微专题　二次函数综合 情况二　等腰三角形的存在性问题 7．如图7，抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B(4，0)． (1)求抛物线的解析式． 图7 微专题　二次函数综合 (2)抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． 由(1)，得抛物线的对称轴为直线x＝1． ∴A(－2，0)． 设P(1，n)，则 AP2＝9＋n2，AC2＝22＋42＝20，PC2＝1＋(4－n)2． 图7 微专题　二次函数综合 图7 微专题　二次函数综合 　　　等腰三角形的存在性问题中，注意对两腰的不同情况进行分类讨论，再结合腰相等列方程求解． 图7 微专题　二次函数综合 情况三　特殊四边形的存在性问题 8．如图8，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－4x＋c与x轴交于点A(－5，0)，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标． 解：将A(－5，0)代入y＝－x2－4x＋c， 得0＝－52＋4×5＋c．解得c＝5． ∴抛物线的解析式为y＝－x2－4x＋5． ∴点C的坐标为(0，5)． 图8 微专题　二次函数综合 (2)若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在一点M，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． 理由：∵y＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－2． 设N(－2，n)，M(m，－m2－4m＋5)． 图8 微专题　二次函数综合 图8 微专题　二次函数综合 图8 微专题　二次函数综合 图8 微专题　二次函数综合 　　　特殊四边形的存在性问题中，至少有两个确定的顶点，需要对这两点的连线为边或对角线的不同情况进行分类讨论，计算时常用到中点坐标公式． 微专题　二次函数综合 解：将A(－1，0)，B(3，0)分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋2x＋3． 解：令x＝0，则y＝3．∴C(0，3)． 又E(t，0)，A(－1，0)， ∴AE＝|t＋1|，CE＝＝． ∵AE＝CE，∴|t＋1|＝．解得t＝4． 解：将B(4，0)代入y＝x＋n， 得0＝×4＋n．解得n＝－2． ∴直线BC的解析式为y＝x－2． 令x＝0，则y＝－2．∴C(0，－2)． 将B(4，0)，C(0，－2)分别代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2． 令y＝0，则x2－x－2＝0． 解得x1＝－1，x2＝4． ∴点A的坐标为(－1，0)． ∵DE⊥x轴，∴E(m，0)，F． ∴DE＝－m2＋m＋2， DF＝m2－m－2－＝m2－2m． 解：设点D的坐标为． ∵点D是线段EF的三等分点，∴－1＜m＜0． ①当DF＝2DE时，m2－2m＝2． 化简，得3m2－10m－8＝0． 解得m1＝－，m2＝4(舍去)． 当m＝－时，m2－m－2＝－． ∴D． ②当DE＝2DF时．－m2＋m＋2＝2． 化简，得3m2－11m－4＝0． 解得m1＝－，m2＝4(舍去)． 当m＝－时，m2－m－2＝－． ∴D． 综上，点D的坐标为或． 解：将A(－1，0)，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3． 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0． 解得x1＝－1，x2＝3． ∴点B的坐标为(3，0)． 解：设直线BC的解析式为y＝kx＋m． 将B(3，0)，C(0，3)分别代入y＝kx＋m， 得解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3． 设M(t，－t2＋2t＋3)，则N(t，－t＋3)． ∴MN＝－t2＋2t＋3－(－t＋3)＝－＋． ∵－1＜0，0＜t＜3， ∴当t＝时，MN的值最大，最大值是 ． S△BCM＝S△CMN＋S△BMN＝MN·|xB－xC|＝ MN＝－＋． ∵－＜0，0＜t＜3， ∴当t＝时，△BCM的面积最大，最大面积为 ． 解：如答图1，过点M作x轴的垂线交BC于点N． 　　　计算三边都不平行于坐标轴的三角形的面积，常用“铅垂法”．S△BCM＝S△CMN＋S△BMN＝MN·|xB－xC|． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b． 将B(3，0)，C(0，－3)代入， 得解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3． 当x＝1时，y＝－2．∴P(1，－2)． 即当PA＋PC最小时，点P的坐标为(1，－2)． 设直线AC的解析式为y＝mx＋a． 将A(－1，0)，C(0，－3)代入， 得解得 ∴直线AC的解析式为y＝－3x－3． 当x＝1时，y＝－6．∴Q(1，－6)． 即当|QA－QC|最大时，点Q的坐标为(1，－6)． 解：将A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋2， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2． 解：存在． 令x＝0，得y＝2．∴C(0，2)． 设点D(m，n)． ∵S△ABC＝S△ABD，∴AB×2＝×AB×|n|． 解得n＝±3． (2)点D为抛物线上一点，是否存在一点D，使得S△ABC＝S△ABD？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． ①当n＝3时，－m2＋m＋2＝3． 解得m1＝1，m2＝2． ②当n＝－3时，－m2＋m＋2＝－3． 解得m1＝－2，m2＝5． ∴点D的坐标为(1，3)或(2，3)或(－2，－3)或(5，－3)． ③当∠BDC＝90°时，CD2＋BD2＝BC2． ∴9＋(n＋3)2＋9＋n2＝45． 解得n＝或n＝－． ∴D3或D4． 综上，点D的坐标为(3，6)或(3，－9)或或． 解：将B(4，0)，C(0，4)代入y＝ax2＋x＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4． 当△PAC为等腰三角形时，分为以下三种情况： ①当AP＝AC时，20＝9＋n2．解得n＝±． ∴P1(1，)，P2(1，－)． ②当AP＝PC时，9＋n2＝1＋(4－n)2． 解得n＝1．∴P3(1，1)． ③当AC＝PC时，20＝1＋(4－n)2． 解得n＝4＋或n＝4－． ∴P4(1，4＋)，P5(1，4－)． 综上，点P的坐标为(1，)或(1，－)或(1，1)或(1，4＋)或(1，4－)． 以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况： ①当AM为对角线时． 即 解得 当m＝3时，－m2－4m＋5＝－16． ∴M1(3，－16)． ②当AN为对角线时． 即 解得 当m＝－7时，－m2－4m＋5＝－16． ∴M2(－7，－16)． ③当AC为对角线时． 即 解得 当m＝－3时，－m2－4m＋5＝8．∴M3(－3，8)． 综上，点M的坐标为(3，－16)或(－7，－16)或(－3，8)． $$