第22章　第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章　二次函数 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 课堂讲练 返回目录 例1　如图1，小明用一条长为20 m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为x m，矩形ABCD的面积为y m2． (1)求y关于x的函数关系式及x的取值范围； 图1 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 (2)求矩形ABCD面积的最大值． 解：y＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25． ∵－1＜0，0＜x＜10， ∴当x＝5时，y取得最大值，最大值为25． ∴矩形ABCD面积的最大值为25 m2． 图1 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 训练　1．【教材改编，RJ九上P57】如图2，某农场主有一个长为24 m的篱笆，计划靠墙围造花圃(墙的最大可用长度为10 m)，设矩形花圃ABCD的宽AB为x m，面积为S m2． (1)求S与x之间的函数关系式及x的取值范围． 解：由题意，得S＝x(24－2x)＝－2x2＋24x． ∵0＜24－2x≤10，∴7≤x＜12． 图2 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 (2)当AB的长为多少时，围成的花圃面积最大？ 解：S＝24x－2x2＝－2(x－6)2＋72． ∵－2＜0，7≤x＜12， ∴当x＝7时，S最大， 最大值为－2×(7－6)2＋72＝70． ∴当AB的长为7 m时，围成的花圃面积最大． 图2 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 例2　如图3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A出发沿边AB以2 cm/s的速度向点B移动，动点Q从点B出发沿边BC以4 cm/s的速度向点C移动，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，点P到达点B时，两点同时停止移动．设移动时间为t s． (1)AP＝_____cm，BP＝__________cm， BQ＝______cm．(用含t的代数式表示) 2t　 图3 (12－2t)　 4t　 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 (2)当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积为多少？ 图3 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 训练　2．已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm，AC与MN在同一条直线上，且点A与点N重合．如图4，现将△ABC以2 cm/s的速度沿射线NM运动，当点A与点M重合时，停止运动，求重叠部分的面积y(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系式． 图4 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠CAB＝45°． 由题意，得HM∥BC，∴∠MHA＝∠B＝45°． 又∠AMQ＝90°， ∴△AMH也是等腰直角三角形． 由题意，得AN＝2t，则AM＝MN－AN＝20－2t． ∴MH＝AM＝20－2t． 图4 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 1．已知一个直角三角形两直角边之和为12，设其中一边为x，三角 形面积为y，则y关于x的函数关系式为________________，y的最大值为______，此时该直角三角形两直角边的边长分别为________． 18　 6，6　 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 2．如图5，一张正方形纸板ABCD的边长为10 cm，将它割去四个全等的直角三角形(图中阴影部分)，留下一个正方形．设AF＝x cm，正方形EFGH的面积为y cm2． (1)求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围． 解：由题意，得AF＝BE＝CG＝DH＝x cm． 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝10 cm， 则BF＝CE＝DG＝AH＝(10－x)cm． ∴y＝x2＋(10－x)2＝2x2－20x＋100． ∵x＞0，10－x＞0，∴0＜x＜10． 图5 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 (2)当x何值时，正方形EFGH的面积达到最小？ 解：y＝2x2－20x＋100＝2(x－5)2＋50． ∵2＞0，0＜x＜10， ∴当x＝5时，正方形EFGH的面积y达到最小． 图5 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 3．如图6，在一张长10 cm，宽8 cm的矩形硬纸板的四个顶角处各剪去一个同样大小的正方形，再将其折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去正方形的边长为x cm． (1)要使长方体盒子的底面积为48 cm2，剪去正方形的边长为多少？ 解：由题意，得(10－2x)(8－2x)＝48． 整理，得x2－9x＋8＝0． 解得x1＝8(不合题意，舍去)，x2＝1． ∴剪去正方形的边长为1 cm． 图6 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 (2)设长方体盒子的侧面积为y cm2，求y关于x的函数关系式，并判断长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，请求出最大值和此时剪去正方形的边长；如果没有，请说明理由． 图6 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 图6 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 随 堂 测 返回目录 1．如图1，某农场主利用墙角围出了一片矩形空地，假设所用篱笆(虚线部分)的长度为14 m，则所围矩形空地的最大面积是 (　　) A．52 m2 B．49 m2 C．45 m2 D．40 m2 B　 图1 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 2．如图2所示的矩形窗框由两个小矩形组成，现工人计划用长为6米的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米(铝合金框条的宽度不计)． 图2 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少? 图2 第11课时　实际问题与二次函数(二)(面积问题) 返回目录 解：∵AB＝x m，∴AD＝－x＝(10－x)m． 由题意，得y＝(10－x)x＝－x2＋10x． ∵10－x＞0，x＞0，∴0＜x＜10． 解：由题意，得 S△PBQ＝BP·BQ＝(12－2t)·4t＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36． ∵－4＜0，0＜t＜6， ∴当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积 为36 cm2． ∴y＝(20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)． y＝－x2＋6x　 解：由题意，得y＝2(10－2x)x＋2(8－2x)x＝－8x2＋36x＝－8＋． ∵－8＜0，0＜x＜4， ∴当x＝时，y最大，最大值为． ∴y关于x的函数关系式为y＝－8x2＋36x． 长方体盒子的侧面积有最大值，最大值为 cm2，此时剪去正方形的边长为 cm． 解：由题意，得AB＝EF＝DC＝x.∴AD＝(6－3x). ∴y与x之间的函数关系式为y＝x(6－3x)＝－x2＋3x. ∵x＞0，6－3x＞0，∴自变量x的取值范围为0＜x＜2. (6－3x)＝. ∴当AB＝1米，AD＝米时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是 平方米． $$