第22章　第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章　二次函数 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 课堂讲练 返回目录 例1　如图1，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行轨迹可近似看作抛物线，其飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间满足函数关系y＝－2x2＋10x． 请根据以上信息解答下列问题： 图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (1)小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)小球从飞出到落地所用时间是多少？ 解：当y＝0时，－2x2＋10x＝0． 解得x1＝0，x2＝5． ∴小球从飞出到落地所用时间是5 s． 图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 图2 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (1)求实心球在飞行过程中的最大飞行高度； 图2 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)求该男生与实心球落地点间的水平距离． 图2 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 图3 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (1)求抛物线的解析式． 图3 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)足球能否射入球门？请通过计算说明理由． 图3 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 训练　2．如图4，某广场要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一根长2.25米的水管OA，水管顶端装有喷水头，喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m． (1)求抛物线的解析式． 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为(1，3)． ∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3． 将(0，2.25)代入，得a＋3＝2.25．解得a＝－0.75． ∴抛物线的解析式为y＝－0.75(x－1)2＋3． 图4 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)圆形水池的半径至少要修多少米，才能使喷出的水流不落在池外？ 解：令y＝0，则0＝－0.75(x－1)2＋3． 解得x1＝－1(舍)，x2＝3． ∴圆形水池的半径至少要修3米，才能使喷出的 水流不落在池外． 图4 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 例3　图5是一座抛物线形拱桥，当水面的宽度AB为4米时，拱顶O与水面相距2米． (1)请你建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式； 图5 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 图5 答图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)由于下雨，水面高度上涨了1米，求此时水面的宽度． 答图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 训练　3．一辆载有长方体集装箱的货车想通过横截面为抛物线形的隧道，如图6，隧道底部宽AB为4 m，高OC为3.2 m．集装箱与货车的宽都是2.4 m，集装箱顶部距离地面2.1 m． 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 解：如答图2，以O点为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，C(0，3.2)． 设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－2)． 将C(0，3.2)代入，得－4a＝3.2． 解得a＝－0.8． ∴抛物线的解析式为y＝－0.8x2＋3.2． 答图2 (1)求抛物线的解析式． 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)这辆货车能通过这个隧道吗？请说明理由． 答图2 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 1．【类比应用】公路上行驶的汽车在急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)满足函数关系式s＝20t－5t2．当遇到紧急情况时，司机进行急刹车，但由于惯性，汽车最多要滑行______m才能停下来． 20　 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 2．(2022河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m．建立如图7所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度． 图7 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为(5，3.2)， ∴抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2． 将(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2． 解得a＝－0.1． ∴y＝－0.1(x－5)2＋3.2＝－0.1x2＋x＋0.7． ∴抛物线的表达式为y＝－0.1x2＋x＋0.7． (1)求抛物线的表达式； 图7 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 解：当 y＝1.6时，－0.1x2＋x＋0.7＝1.6． 解得x1＝1，x2＝9． ∴小红与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)． 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为2 m或6 m． 图7 (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 随 堂 测 返回目录 1．某校航模组设计制作了一艘仿真模型火箭，已知火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数关系式h＝－t2＋26t＋1，则该火箭升高的最大高度是_______m，此时的飞行时间为______s. 170　 13　 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 2．某市新建造了一座抛物线形拱桥，为方便计算，完成风险评估，建立了如图1所示的坐标系．已知桥下在正常水位时水面宽AB为20米，此时水面与拱桥顶的距离为4米，水位上升至警戒线时，水面宽CD为10米． 图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 解：∵抛物线的顶点为O(0，0)， ∴可设抛物线的解析式为y＝ax2. 由题意易得点B的坐标为(10，－4). 把B(10，－4)代入y＝ax2， 图1 (1)求抛物线的解析式； 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 (2)若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，则从警戒线开始，再持续多长时间水会漫到拱桥顶？ 图1 第10课时　实际问题与二次函数(一)(抛物线形问题) 返回目录 解：y＝－2x2＋10x＝－2＋． ∵－2＜0，∴当x＝ 时，y取得最大值，最大值是． ∴小球的飞行高度在 s时最大，最大高度是 m． 训练　1．某校运动会的项目之一是投掷实心球，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2，一名男生投掷实心球，实心球飞行高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间满足函数关系y＝－x2＋x＋． 解：y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋3． ∵－＜0， ∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为3． ∴实心球在飞行过程中的最大飞行高度为3 m． 解：当y＝0时，－x2＋x＋＝0． 解得x1＝10，x2＝－2(负值舍去)． ∴该男生与实心球落地点的水平距离是10 m． 　　例2　在一场足球比赛中，球员甲在球门正前方的点O处起脚射门，在不考虑任何阻力的情况下，足球沿如图3所示的抛物线飞向球门中心线，当足球水平飞行距离为2米时，高度为米，足球落地点A到点O的距离为12米．已知点O距球门9米，球门的横梁高为2.44米． 解：∵抛物线过点O(0，0)，A(12，0)， ∴设抛物线的解析式为y＝ax(x－12)． 将代入，得＝－20a． 解得a＝－． ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x． 解：能射入球门． 理由：对于y＝－x2＋x， 当x＝9时，y＝2.25． ∵2.25＜2.44， ∴足球能射入球门． 由题意，得A(－2，－2)，B(2，－2)． 设抛物线的解析式为y＝ax2． 把A(－2，－2)代入，得－2＝4a． 解得a＝－． ∴抛物线的解析式为y＝－x2． 解：将y＝－1代入y＝－x2，得－1＝－x2． 解得x1＝，x2＝－． －(－)＝2 ． ∴此时水面的宽度为2米． 解：不能．理由如下： 当x＝＝1.2时， y＝－0.8×1.22＋3.2＝2.048＜2.1． ∴这辆货车不能通过这个隧道． 得100a＝－4. 解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－x2. 解：由题意可得点D的横坐标为5. 对于y＝－x2，令x＝5，得y＝－×52＝－1. ∴D(5，－1). ∴拱桥顶O到CD的距离为1米． 1÷0.25＝4(小时). 答：再持续4小时水会漫到拱桥顶． $$