2024年九年级数学中考复习 第16课时圆的概念及其性质讲义

第16课时圆的概念及其性质 @要点归纳 知识点 名师点睛 有关概念 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念 垂径定理 会推导并掌握垂径定理及其推论 圆周角 探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，能运用圆周角定理及其推论解题 内心、外心 了解三角形的内心和外心，掌握三角形的内切圆和外接圆的特点 C 考试重点 1.与圆有关的概念……………………………………………………………………………… 2.垂径定理………………………………………………………………………………… 3.圆周角定理及其推论……………………………………………………………………… 典型母题 母题1 如图，已知I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点 D，连接BI、BD、DC.下列说法错误的一项是 ( ) A.线段 DB绕点D 按顺时针方向旋转一定能与线段DC 重合 B.线段DB 绕点D 按顺时针方向旋转一定能与线段 DI 重合 C. ∠CAD 绕点A 按顺时针方向旋转一定能与∠DAB重合 D.线段ID 绕点I 按顺时针方向旋转一定能与线段 IB 重合 【解答】 D 【要点剖析】 本题考查了三角形的内心、三角形的外角、三角形的外接圆、图形的旋转、圆周角以及圆中的“三等定理”(弧、弦、圆心角)等.如图所示，① 根据三角形内心的定义,可知点I是△ABC内角平分线的交点,得∠1=∠2,∠3=∠4;②由∠1=∠6,∠2=∠5,可得∠5=∠6,所以DB=DC,故选项A正确;③ 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠7=∠DBI，所以DB=DI，故选 项B正确;④因为∠1=∠2,所以选项C正确;⑤因为∠IBD≠∠IDB,所以ID≠IB，所以选项D错误. 母题 2 已知正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧 上取一点E，连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE 相交于点G.求证： (1) 四边形 EBFD 是矩形; (2) DG=BE. 【解答】 (1) 因为正方形 ABCD 内接于⊙O,所以∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°.又因为DF∥BE,所以∠EDF+∠BED=180°,所以∠EDF=90°,所以四边形 EBFD是矩形. (2)因为正方形 ABCD 内接于⊙O,所以AD的度数是90°,所以∠AFD=45°.又因为∠GDF=90°,所以∠DGF=∠DFG=45°,所以DG=DF.又因为在矩形EBFD中,BE=DF,所以BE=DG. 【要点剖析】 本题是一道圆与四边形的综合题，解题的关键是利用圆的基本性质得到题目所需的条件，再进行证明.(1)要证明四边形BEDF是矩形，需证明有三个角是直角，先根据同弧所对的圆周角相等及正方形的性质，得到∠BED=∠BFD=90°.再根据两直线平行，同旁内角互补求得第三个直角即可；(2)根据圆周角与它所对弧的关系求得∠AFD=45°，则△DFG为等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等得到BE=DG. 高分必刷 必 刷 基 础 题 必刷1 如图,在⊙O中,已知点C是AB的中点,∠A=50°,则∠BOC的度数为 ( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 必刷 2 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与 y轴分别交于点B(0,4)与点C(0,16).则圆心 M到坐标原点O 的距离是 ( ) A. 10 必刷3 如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的度数为 ( ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 必刷4 如图,已知A、B、C是⊙O上的三点,且∠B=75°,则∠AOC的度数是 ( ) A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 必刷5 如图,已知CD是⊙O的直径,∠1=30°,则∠2的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° 必刷 6 如图,已知点A、B、C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B的度数为( ) A. 100° B. 72° C. 64° D. 36° 必刷 7 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为 ( ) 必刷8 如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，F是弧CD 上一点，且 连接CF并延长交AD 的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为 ( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 必刷 9 如图,已知点 A、B、C是⊙O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交⊙O于点F,则∠BAF的度数为 ( ) A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 必刷10 如图,已知扇形OAB的圆心角为122°,C是AB上一点,则∠ACB= °. 必刷11 如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C 为圆心,CB为半径的圆交AB 于点D,则 BD的长为 . 必刷12 如图，在⊙O中，已知弦. ,B 是圆上一点,且∠ABC=45°,则⊙O的半径R= 必刷13 已知△ABC,以AB 为直径的⊙O分别交AC 于点D,交 BC于点 E,连接ED,若 ED=EC. (1) 求证:AB=AC. (2) 若 AB=4,BC=2 ,求CD的长. 必 刷 提 优 题 必刷14 如图,Rt△ABC中,已知AB⊥BC,AB=6,BC=4. P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为 ( ) A. B. 2 必刷15 若点O是等腰三角形ABC的外心,且∠BOC=60°,底边 BC=2,则△ABC的面积为 ( ) 或 或 必刷16 已知⊙O的半径为1，弦， 弦 ,则∠BAC的度数为 . 必刷17 如图,已知MN是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,B 为弧AN 的中点,P 是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 . 必刷18 如图,已知以 Rt△ABC的直角边AB 为直径作⊙O,交斜边 AC于点 D,E为OB 的中点,连接CE 并延长交⊙O于点F，点 F 恰好落在弧AB 的中点，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G，连接OF. (1) 求证:( (2) 若AB=4,求DC 的长. 必刷19 如图,在四边形ABCD 中,已知. ,AD 不平行于 BC,过点C作( AD交 的外接圆O于点E，连接AE. (1) 求证:四边形 AECD为平行四边形; (2) 连接CO,求证:CO平分 必刷20 如图，已知⊙O是 的外接圆， 点 D在边BC 上, (1) 求证: (2)如果点G 在线段CD 上(不与点 D 重合),且. ，求证：四边形 AGCE 是平行四边形. 必刷21 如图, 中，已知. ，以AB为直径作⊙O，交 BC于点D，交CA的延长线于点E,连接AD、DE. (1) 求证:D 是 BC 的中点; (2) 若 求⊙O的半径； (3) 在(2)的条件下,求弦AE的长. 必刷22 如图，在 中，已知 ,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连接 BE、AD交于点 P.求证: (1) D是BC 的中点; 必刷23 如图，已知等边三角形ABC 内接于⊙O，点 P 是劣弧BC上的一点(端点除外)，延长 BP至点 D,使. ,连接CD. (1) 若 AP 过圆心O,如图1,请你判断 是什么三角形，并说明理由. (2) 若 AP 不过圆心O,如图2, 又是什么三角形?为什么? 第 16 课时 圆的概念及其性质 1.【解答】 A 【要点剖析】 ①因为半径OA=OB，故可先根据等边对等角求得∠B=50°；② 根据三角形内角和定理求得∠AOB=80°；③ 根据等弧所对圆心角相等求得∠BOC=40°. 2.【解答】 D 【要点剖析】 过点 M作MN⊥BC,交 BC 于点N,连接OM、BM,先利用垂径定理求出 BN=6，再利用勾股定理求出⊙M的半径为10，然后利用勾股定理求 3.【解答】 C 【要点剖析】 ① 找出同弧所对圆周角与圆心角的关系；② 结合平行四边形对角相等得到∠B=2∠ADC；③ 结合圆内接四边形对角互补建立方程求出∠ADC=60°. 4.【解答】 A 【要点剖析】 因为∠AOC、∠B分别是⊙O中 所对的圆心角、圆周角，所以∠AOC=2∠B=150°. 5.【解答】 C 【要点剖析】 连接AD，由直径所对的圆周角等于 90°,得∠CAD=90°.由∠1=30°,所以∠BAD=60°.由同弧所对的圆周角相等可得∠2=60°. 6.【解答】 C 【要点剖析】 ① 根据圆周角定理求出∠O=2∠A=72°;② 根据“8字型”,得∠A+∠ABO=∠O+∠C,求出∠B=64°. 7.【解答】 B 【要点剖析】 首先确定等边三角形的外接圆的圆心，连半径，作垂直(弦心距或边心距)构造直角三角形，利用特殊角(30°或60°)的三角函数求出外接圆的半径. 8.【解答】 B 【要点剖析】 ① 先利用圆的内接四边形对角互补的性质求出∠ADC=75°；② 利用等弧所对的圆周角相等求出∠DCE=∠BAC=25°;③利用三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和求出∠E=50°. 9.【解答】 B 【要点剖析】 连接OB.由四边形 ABCO 是 平行四边形，可知AB∥CO.再由半径相等可得△ABO为等边三角形.由 OF⊥OC 可得 OF⊥AB，从而知道∠BOF=30°.利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可以计算出∠BAF=15°. 10.【解答】 119 【要点剖析】 可以作出整圆，在优弧 AB上取点D，得到圆周角∠ADB=61°，再根据圆内接四边形对角互补,求得∠ACB=119°. 11.【解答】 2 【要点剖析】 先利用三角形内角和求出 ,过点C作 BD 的垂线CE,在 Rt△BCE中利用三角函数可求 再利用垂径定理即可求出 12.【解答】 【要点剖析】 由∠ABC=45°,得出∠AOC=90°.从而得到△AOC是等腰直角三角形，可以利用方程或三角函数求出半径R 的值. 13.【解答】 (1) 由ED=EC得到∠EDC=∠C.由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B.由此推得∠B=∠C.由等腰三角形的判定即可证得结论.(2)连接 AE,由 AB 为直径,可证得AE⊥BC.由(1) 知AB=AC.由“三线合一”定理得到 由△ABC∽△EDC可求出 14.【解答】 B 【要 点 剖 析】 先 根 据 已 知 条 件 求 出∠APB=90°，并根据圆周角定理判断出动点 P的活动轨迹为以 AB为直径的圆，把问题转化为圆外一点与圆上动点的最值问题，当圆心O、P、C三点共线时，线段CP 有最小值，最后根据勾股定理即可求解. 15.【解答】 C 【要点剖析】 此题集中考查了等腰三角形的性质和三角形外接圆的概念，解题的关键是运用分类讨论思想画出两个符合题意的图形，再结合已知角和已知边进一步求解. 16.【解答】 15°或75° 【要点剖析】 本题考查了直角三角形的边角关系，特殊角三角形函数值，圆的基本性质和圆周角的性质和分类的思想方法.先作出直径AD，再考虑弦AB 和弦AC 在直径的同侧和直径的两侧这两种情况. 17.【解答】 2 【要点剖析】 作点 A关于MN 轴对称的点 A',连接A'B,交MN于点P,则此时 AP+PB的值最小.连接MB、OB、MA'、OA',作 OQ⊥A'B 于点Q,则 因为∠AMN=40°,所以由轴对称得 因为 B 是弧 AN 的中点,所以 所以 ∠BMN + ∠A' MN = 60°, 所 以. 因为 所以 30°.因为圆的直径为4,所以OB=2,所以OQ=1.在Rt△OQB中,由勾股定理得( 所以 所以PA+PB的最小值为 18.【解答】 (1)第一步用圆周角定理证出∠AOF=∠BOF；第二步利用邻补角定义求出∠AOF=∠BOF=90°;第三步结合∠ABC=∠ABG=90°,求得∠AOF=∠ABG;第四步用“同位角相等，两直线平行”得出 FO∥BG；第五步结合AO=BO证出AF=FG,从而证出 FO 是△ABG的中位线；第六步由三角形中位线定理得出 (2) 第七步利用“ASA”证出△FOE≌△CBE,从而得出 BC=FO=2;第八步利用勾股定理求出 第九步利用“两角对应相等的两个三角形相似”证出△BCD∽△ACB,即可求出 19.【解答】 (1) 由圆周角定理得,∠B=∠E.又∠B=∠D,所以∠E=∠D.因为CE∥AD,所以∠D+∠ECD=180°,所以∠E+∠ECD=180°,所以 AE∥CD,所以四边形AECD为平行四边形.(2) 作OM⊥BC 于点M,ON⊥CE于点N.因为四边形AECD为平行四边形，所以AD=CE.又AD=BC,所以CE=CB,所以OM=ON. 又 OM⊥ BC, ON ⊥ CE, 所 以 CO 平分∠BCE. 20.【解答】 (1) 在⊙O中,因为 所以AB=AC,所以∠B=∠ACB.因为 AE∥BC,所以∠EAC=∠ACB,所以∠B=∠EAC.又因为BD=AE,所以△ABD≌△CAE,所以AD=CE.(2)方法一:连接AO并延长,交边 BC于点H.因为 OA是半径,所以AH⊥BC,所以BH=CH.因为AD=AG,所以 DH=HG,所以BH-DH=CH-GH,即 BD=CG.因为 BD=AE,所以CG=AE.又因为CG∥AE,所以四边形AGCE是平行四边形.方法二：因为△ABD≌△CAE, 所 以 ∠ACE = ∠BAD. 因 为 ∠B =∠ACB,又∠B+∠BAD=∠ADC,∠ACE+∠ACB=∠BCE,所以∠BCE=∠ADC.因为 AG=AD,所以∠ADC=∠AGB,所以∠AGB=∠BCE,所以 AG∥CE.又CG∥AE,所以四边形AGCE是平行四边形. 21.【解答】 (1) 因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC.因为AB=AC,所以 BD=DC.(2) 因为AB=AC,∠B=∠C,∠B=∠E,所以∠E=∠C,所以BD=DC=DE=3.因为BD-AD=2,所以AD=1.在Rt△ABD中, 所以⊙O的半径为 (3)因为. =3,所以 BC=6,所以 ·EC=3×6,EC= 故 22.【解答】 (1) 因为AB是⊙O的直径,所以∠ADB=90°,即AD⊥BC.因为AB=AC,所以D是 BC 的中点.(2) 因为 AB是⊙O 的直径,所以∠AEB=∠ADB=90°,即∠CEB=∠CDA=90°.因为∠C是公共角,所以△BEC∽△ADC.(3) 因为△BEC ∽ △ADC, 所 以 ∠CBE =∠CAD.因为AB=AC,BD=CD,所以∠BAD=∠CAD,所以∠BAD=∠CBE.因为∠ADB=∠BEC=90°,所以△ABD∽△BCE,所以 所以 因为∠BDP=∠BEC=90°,∠PBD=∠CBE,所以△BPD∽△BCE,所以 因为 BC=2BD,所以AB:AD=2BD:BE,所以 所以AB·CE=2DP·AD. 23.【解答】 (1)△PDC为等边三角形.理由如下：因为△ABC为等边三角形，所以 AC=BC.在⊙O 中,∠PAC=∠PBC,又 AP=BD,所以△APC≌△BDC,所以PC=DC.因为AP过圆心O,AB=AC,∠BAC=60°,所以∠BAP= 所以∠PBC=∠PAC=30°,∠BCP=∠BAP=30°,所以∠CPD= ,所以△PDC为等边三角形.(2)△PDC仍为等边三角形.理由如下:因为△ABC为等边三角形,所以AC=BC.在⊙O 中,∠PAC=∠PBC,又AP=BD,所以△APC≌△BDC,所以 PC=DC.因为∠BAP= 所以 所以 为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$