精品解析：江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

高二年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 20 B. 21 C. 35 D. 36 2. 已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 15 D. 16 3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4 2 4 6 2 4 2 A. 13.5 B. 10.5 C. 12 D. 13 4. 已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. ，，则 D. 若，，则 5. 已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中叙述正确的有（ ） A. 施肥量与粮食产量之间具有正相关关系 B. 在公式中，变量与之间不具有相关关系 C. 相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度 D. 某小区所有家庭年收入（万元）与年支出（万元）具有相关关系，其线性回归方程为．若，，则． 10. 已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段的长为36 B. 点在平面内 C. 线段的中点的坐标为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 13. 如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种． 14. 如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中不存在常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员． （1）求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率； （2）设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差． 17. 如图，正三棱柱中，为的中点． （1）求证：平面； （2）当的值为多少时，平面?请给出证明． 18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下： 年龄段 满意度 合计 满意 不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计 75 25 100 （1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关； （2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. 20 B. 21 C. 35 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数计算公式计算可得结果. 【详解】由组合数计算公式可得. 故选：B 2. 已知样本数据，，…，的平均数为5，则，，…，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数的性质即可得的平均数为，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据，，…，的平均数为5， 设的平均数为， 即，解得， 根据平均数的性质知，，…，的平均数为. 故选：B. 3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4 2 4 6 2 4 2 A. 13.5 B. 10.5 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】因为，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D 4. 已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. ，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若，，则或，则A错； 若，，则或与异面，则B错； ，，由平行的传递性可知，，则C对； 若，，则或相交.，D错， 故选：C. 5. 已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论. 【详解】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且， 显然选项A，C不成立； 对于选项B，由可得， 不合题意，即B错误； 对于D，化简可得， 满足，可得D正确； 故选：D 6. 已知随机事件，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，， 则， 则. 故选：A 7. 已知，则的值为（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令求出，分别令、，再两式相加可得，再减去即可. 【详解】令，得， 令，得， 令，得， 两式相加得， 得， 则. 故选：A. 8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占．已知这3个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A表示甲车间生产的产品， 记事件表示乙车间生产的产品， 记事件表示丙车间生产的产品， 记事件表示抽取到次品， 则, ， 取到次品的概率为 ， 若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为： . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中叙述正确的有（ ） A. 施肥量与粮食产量之间具有正相关关系 B. 在公式中，变量与之间不具有相关关系 C. 相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度 D. 某小区所有家庭年收入（万元）与年支出（万元）具有相关关系，其线性回归方程为．若，，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正误，根据回归方程的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，只有在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，则题中两者不具有正相关关系，故A错误. 对于B，变量与之间是函数关系，不是相关关系，故B正确. 对于C，因为， 故相关系数时变量间的相关程度弱于时变量间的相关程度，故C正确. 对于D，因为回归直线过，故，故，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知点，，，平面经过线段的中点，且与直线垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段的长为36 B. 点在平面内 C. 线段的中点的坐标为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段的长，判断A；由平面，垂足为点，，即可判断B；由中点坐标公式可得点的坐标，判断C；设直线与平面所成的角为，，通过坐标运算可得，判断D. 【详解】因为点，， 所以,故A错误； 设点的坐标为，因为为线段的中点， 所以， 则的坐标为，故C正确； 因为点，则，又， 则，所以，即， 又平面，垂足为点，即平面，所以平面，故B正确； 由，，得， 设直线与平面所成的角为， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为、，方差为、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量的所有可能取值为，写出对应的概率并得出分布列，可得，，可得B正确. 【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知， 对于A，由期望值性质可得，即，所以A正确； 对于B，易知随机变量的所有可能取值为； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得 ， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得 ； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得 ， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以期望值， 可得，即，可得B正确； 对于C，D，由方差性质可得，即可得，所以C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量的分布列可得结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以, 故答案为： 13. 如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种． 【答案】72 【解析】 【分析】由图形可知点比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点开始涂色计算可得结果. 【详解】根据题意按照的顺序分5步进行涂色， 第一步，点的涂色有种， 第二步，点的颜色与不同，其涂色有种， 第三步，点的颜色与都不同，其涂色有种， 第四步，对点涂色，当同色时，点有1种选择；当不同色时，点有1种选择； 第五步，对点涂色，当同色时，点有2种选择；当不同色时，点有1种选择； 根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有种. 故答案为：72 14. 如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接， 的外接圆的圆心为，连接，，可证四边形为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积. 【详解】因为为等边三角形，为中点，故， 而，，平面，所以平面. 设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接， 设的外接圆的圆心为，连接，， 则平面， 故，故共面，而平面， 故，故四边形为矩形. 又，而， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中不存在常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）证明见解析； （2），，，. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项； （2）由二项展开式的通项令的指数为整数即可解得合适的值，求出所有的有理项. 【小问1详解】 易知第2，3，4项的二项式系数依次为， 可得，即， 整理得，解得或（舍）； 所以二项式为，假设第项为常数项，其中， 即可得为常数项，所以， 解得，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】 由（1）可知，二项展开式的通项可得， 其中的有理项需满足，即，且； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 当，此时有理项为； 综上可知，展开式中所有的有理项为，，，. 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到，两个班级招募新社员． （1）求到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率； （2）设到，两班招募新社员的男生人数分别为，，记，求的分布列和方差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率求解； （2）由题意，的可能取值为，算出对应概率，，，即可列出的分布列，再求出，进而由公式求出方差． 【小问1详解】 到班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为，则 ，，， 所以的分布列为 则， 所以. 17. 如图，正三棱柱中，为的中点． （1）求证：平面； （2）当的值为多少时，平面?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2） 【解析】 【分析】（1）连接,交于点，连接，能证出，则能证出平面. （2）先把平面当做条件，得出，得出的值，过程要正面分析. 【小问1详解】 连接,交于点，连接， 因为是的中点，为的中点， 所以是的中位线，即, 平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 时，平面，证明如下： 因为，，， ， ，，即. 因为三棱柱为正三棱柱，为正三角形，且平面， ，，平面，平面， 平面，因为平面， 所以，，平面， 平面. . 18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下： 年龄段 满意度 合计 满意 不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计 75 25 100 （1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关； （2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为，求的分布列和数学期望． 参考公式：（其中）． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列： X 0 1 2 3 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算值，然后对照表格得到结论； （2）由表格可知，对服务满意的人的概率为，且，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知： ， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】 由表格可知，对服务满意的人的概率为，且， 则， 可得：，， ，， 故的分布列如图： X 0 1 2 3 P 可得. 19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为． （1）求证：； （2）若，求三棱台的体积； （3）若到平面的距离为，求的值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接；如下图所示： 易知平面平面，且平面平面，平面平面； 所以，又因为， 可得四边形为等腰梯形， 且分别为的中点，所以， 因为，所以， 易知，且平面， 所以平面， 又平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得平面，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果； （3）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由二面角定义可得，二面角的平面角即为， 当时，即，因此可得平面， 可知即为三棱台的高，由可得； 易知三棱台的上、下底面面积分别为， 因此三棱台的体积为 【小问3详解】 由（1）知，，，二面角的平面角即为； 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 可得， 易知，可得； 则 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，可得； 显然， 由到平面的距离为，可得， 即，可得； 整理得，解得或； 又，可得. 【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法： （1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离； （2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $