第21章　第6课时　一元二次方程根的判别式　课件　 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章　一元二次方程 第6课时　一元二次方程根的判别式 课堂讲练 返回目录 方程式 根的判别式 求根公式 方程的根与Δ的关系 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) Δ＝_______ ________________ ①Δ＞0⇔方程有____________ 实数根； ②Δ______0⇔方程有两个相等的实数根； ③Δ＜0⇔方程______实数根． 注：Δ≥0⇔方程有(两个)实数根 b2－4ac　 两个不等的　 ＝　 无　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 知识点1　计算判别式(Δ)，判断方程根的情况 例1　不解方程，判断下列方程根的情况： 方程 a，b，c的值 Δ的值 根的情况 x2＋3x＝1 a＝_____，b＝_____，c＝_______ ______ 方程_____________ 实数根 x(x＋5)＝x－4 a＝_____，b＝_____，c＝_____ _____ 方程_____________ 实数根 x2－2x＋18＝0 a＝____，b＝_____， c＝______ _______ 方程______实数根 1　 3　 －1　 13　 有两个不等的　 1　 4　 4　 0　 有两个相等的　 －2　 18　 －12　 无　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 训练　1．不解方程，判断方程2x2＝6x＋7的根的情况是 (　　) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 训练　2．方程2x2－4x＋2＝0的根的情况是___________________． C　 有两个相等的实数根　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 知识点2　根据根的情况，求参数的值或取值范围 例2　关于x的一元二次方程mx2－4x＋3＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 解：a＝_____，b＝_______，c＝3． Δ＝b2－4ac＝(_______)2－4×_____×3＝___________． ∵方程mx2－4x＋3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ______0，且_____≠0． 解得_________且________． m　 －4　 －4　 m　 16－12m　 ＞　 m　 m≠0　 注：在求参数的取值范围时，别忘了a≠0． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 训练　3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＋1＝0(k为常数)没有实数根，求k的取值范围． 解：a＝1，b＝－2，c＝k＋1． Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(k＋1)＝－4k． ∵方程没有实数根， ∴Δ＜0，即－4k＜0． 解得k＞0． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 知识点3　计算判别式(Δ)，证明方程根的情况 例3　已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0．求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根． 证明：a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2． Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0． ∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 训练　4．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根． 证明：a＝1，b＝2m，c＝m2－1． Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4(m2－1)＝4＞0． ∴原方程总有两个不相等的实数根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 1．若关于x的一元二次方程x2－x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是 (　　) A．2 B．1 C．－2 D．3 C　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 2．(2022辽宁)下列一元二次方程无实数根的是 (　　) A．x2＋x－2＝0 B．x2－2x＝0 C．x2＋x＋5＝0 D．x2－2x＋1＝0 3．(2022深圳)已知一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____． C　 9　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 4．【易错题】关于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； 解：根据题意，得Δ＝42－4(k－1)＞0，且k－1≠0， 解得k＜5且k≠1． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 (2)若k为(1)中的最大整数，请求出此时该方程的根． 解：由(1)可知k的最大整数值为4． 当k＝4时，方程化为3x2＋4x＋1＝0． 因式分解，得(3x＋1)(x＋1)＝0． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 5．【代几综合】已知关于x的方程x2－kx＋k－1＝0． (1)求证：不论k为何值，方程总有实数根； 证明：Δ＝k2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0． ∴不论k为何值，方程总有实数根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 (2)若等腰三角形的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求k的值． 解：x2－kx＋k－1＝0．因式分解，得(x－k＋1)(x－1)＝0． 解得x1＝k－1，x2＝1． 由题意，得等腰三角形两边恰好是这个方程的两个实数根． ①当2为腰时，k－1＝2．解得k＝3． ②当1为腰时，此时1＋1＝2，不符合题意，舍去． 综上所述，k的值为3． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 随 堂 测 返回目录 1．(2022北京)若关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 (　　) C　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 2．(2022安顺)定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝(a＋b) (a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝(3＋2)(3－2)－1＝5－1＝4.若x*k＝2x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况是 (　　) A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 B　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 3．若关于x的方程x2－4x＋k＝0有两个实数根，则k的值可能是_____. (写出一个即可) 4．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0无实数根，则m的取值范围是________. 1　 m＞2　 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 5．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝m2. (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； 证明：原方程可化为x2－5x＋6－m2＝0. a＝1，b＝－5，c＝6－m2.Δ＝b2－4ac＝25－4(6－m2)＝1＋4m2. ∵m2≥0，∴1＋4m2＞0，即Δ＞0. ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 第6课时　一元二次方程根的判别式 返回目录 x＝　 　 m＜　 于是得3x＋1＝0，或x＋1＝0，x1＝－，x2＝－1． A．－4 B．－ C． D．4 即m2＝2.解得m＝±. 解：若方程的一个根是1，则(1－3)×(1－2)＝m2， ∴方程的另一个根为4. ∴原方程可化为x2－5x＋4＝0.解得x1＝1，x2＝4. $$