4.4.2 对数函数的图象和性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 人教版A2019-必修第一册 高一数学组 4.4　对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质 学习目标 1.掌握对数函数的图象和性质 2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数 新课引入 知识点回顾 注意：判断一个函数是否是对数函数，要以下关注三点: 对数符号前面的系数为1； 2. 对数的底数a是大于0且不等于1的数； 3. 对数的真数仅有自变量x. y=loga x 一、对数函数 一般地，函数y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）. 新课引入 探究新知识 作图步骤: ①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。 请同学们完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像． x y = log2x 0.5 1 2 4 6 8 16 -1 0 1 2 2.6 3 4 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 新课引入 探究新知识 思考1 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象? y = log2x x y = log2x y = log x 0.5 1 2 4 8 16 …… …… 1 0 -1 -2 -3 -4 …… -1 0 1 2 3 4 …… 两个图像关于x轴对称 y = log x 新课引入 探究新知识 y=log2x P(x, y) P1(x, -y) 关于x轴对称的点 结论：底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. P1(x, -y) y = log2x y = log x P(x, y) 新课引入 探究新知识 发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型。 y x O -2 -1 2 1 1 5 2 3 4 ①图象都在y轴右侧 ⑤0＜a＜1时，图象下降 ④a＞1时，图象上升 ③无限靠近y轴但不相交 ②都经过点（1，0） 新课引入 探究新知识 函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 底数 0 ＜ a ＜ 1 a＞ 1 图象 定义域 值域 定点 单调性 值分布 1 x y o 1 x y o ( 0 , + ∞ ) R 过定点( 1 , 0 )，即x=1时，y=0 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0 增函数 减函数 对数函数的图象和性质 新课引入 探究新知识 例3：比较下列各题中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5 ; (2) log0.31.8 , log0.32.7 ; (3) loga5.1 , loga5.9 (a>0 , 且a≠1) . 解： (1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值. 因为底数2>1 ,对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5， 所以 log23.4 < log28.5 . (2) log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值. 因为底数0<0.3<1 ,对数函数y=log0.3x是减函数, 且1.8<2.7, 所以 log0.31.8 > log0.32.7 . 新课引入 探究新知识 解： (3) loga5.1 和 loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值. 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论. ①当a>1时,对数函数y=logax是增函数,且5.1<5.9,所以 loga5.1 < loga5.9. ②当0<a<1时,对数函数y=logax是减函数,且5.1<5.9,所以 loga5.1 > loga5.9. 新课引入 探究新知识 比较对数的大小的方法 新课引入 探究新知识 练习1：比较下列各组数的大小. 新课引入 探究新知识 例4 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH计算的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； 解：（1）根据对数的运算性质得 在(0，+∞)上,随着[H+]的増大， 减小，相应地， 也减小，即pH减小. 所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，其酸性就越强. 新课引入 探究新知识 例2 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH计算的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH值. （2）当[H+]=10-7时， 即纯净水的pH是7. 新课引入 探究新知识 思考2:画出指数函数 的图象，并与函数 的图象进行比较，它们有什么关系？ （1）其图象关于y＝x对称. （2）它们的定义域和值域正好互换. y x O 2 -2 8 6 4 2 8 4 6 新课引入 探究新知识 已知函数y=2x(x∈R,y∈(0,+∞))可得到x=log2y ，对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x(x∈R)的反函数. 通常，我们用x表示自变量，y表示函数.为此，把函数x=log2y写成y=log2x,这样，对数函数y=log2x(x∈(0,+∞))是指数函数y=2x(x∈R)的反函数. 因此，函数y=logax(a＞0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数. 新课引入 课堂小结 根据今天所学，回答下列问题： 1.对数函数图象和性质是什么样的？ 2.对数函数和指数函数有什么区别和联系？ 新课引入 布置作业 教材第135页第2、3题 新课引入 结束语 谢谢观看！ $$