4.4.3 不同函数增长的差异 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 人教版A2019-必修第一册 高一数学组 4.4　对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 学习目标 1. 掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢． 2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质． 3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题． 新课引入 知识点回顾 函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 底数 0 ＜ a ＜ 1 a＞ 1 图象 定义域 值域 定点 单调性 值分布 1 x y o 1 x y o ( 0 , + ∞ ) R 过定点( 1 , 0 )，即x=1时，y=0 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0 增函数 减函数 对数函数的图象和性质 新课引入 探究新知识 在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 新课引入 探究新知识 思考1 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 思考2:以函数y=2x与y=2x为例,研究指数函数和一次函数，探索它们在区间[0,+∞）上的增长差异，描述指数函数增长的特点. x y=2x y=2x 0 1 0 0.5 1.414 1 1 2 2 1.5 2.828 3 2 4 4 2.5 5.657 5 3 8 6 ··· ··· ··· x 1 3 2 y 8 O 5 1 2 3 7 6 4 新课引入 探究新知识 (1)函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4) (2)在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 (3)在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下 (4)在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上 x 1 3 2 y 8 O 5 1 2 3 7 6 4 综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同， 函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快. 新课引入 探究新知识 思考3:取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？ x y=2x y=2x 0 1 0 2 4 4 4 16 8 6 64 12 8 256 16 10 1024 20 12 4096 24 ··· ··· ··· x 5 15 10 y O 1000 200 400 600 800 随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道. 新课引入 探究新知识 函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下： 虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度. 尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x. 新课引入 探究新知识 一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似. 即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1) 有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长(指数爆炸). 新课引入 探究新知识 思考4 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ x y=lgx 0 不存在 0 10 1 1 20 1.301 2 30 1.477 3 40 1.602 4 50 1.699 5 60 1.778 6 ··· ··· ··· x 20 40 30 y O 6 1 2 3 4 5 10 60 50 新课引入 探究新知识 x 20 40 30 y O 6 1 2 3 4 5 10 60 50 在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化. 随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样. 新课引入 探究新知识 思考5 将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与 比较，仍有上面规律吗？ 对数函数 与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢. 不论a值比k值大多少，在一定范围内， 可能会大于kx，但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有 . 新课引入 探究新知识 一 一次函数，指数函数与对数函数的增长差异 直线上升 指数爆炸 对数增长 新课引入 探究新知识 练习　某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？ 新课引入 探究新知识 解：确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x. 下面画出了三个奖励模型的函数图象， 观察图象，对于模型y＝0.25x，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合． 对于模型y＝1.002x，由函数图象知，当x的取值在800附近，y值为5，因为函数是增函数，所以y值越过了5，不符合要求． 对于函数y＝log7x＋1，当x∈[10,1 000]时，函数y＝log7x＋1是增函数，所以y≤log71 000＋1<log774＋1＝5. 新课引入 探究新知识 新课引入 课堂小结 根据今天所学，回答下列问题： 1.指数函数、对数函数、一次函数的增长有何差异？ 2.对数函数和指数函数分别适合描述怎样的增长规律？ 新课引入 布置作业 教材第139页第2、3题 新课引入 结束语 谢谢观看！ $$