第08讲：二次函数与一元二次方程、不等式（9大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第08讲：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 · 考点一、解不含参数的一元二次不等式 · 考点二、解分式不等式和含绝对值不等式 · 考点三、解含有参数的一元二次不等式 · 考点四、由一元二次不等式的解确定参数 · 考点五、一元二次方程根的分布问题 · 考点六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 · 考点七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 · 考点八、一元二次不等式在某区间上有解问题 · 考点九、一元二次不等式的应用 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 2．（24-25高一上·上海）求不等式的解集： (1)； (2). 3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 5．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 6．（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1)(2)(3)(4) 题型三、解含有参数的一元二次不等式 7．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)；(2). 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 9． （2024高三·全国·专题练习） （1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 10．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 题型五、一元二次方程根的分布问题 13．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 16．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型九、一元二次不等式的应用 25．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 26．（23-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 27．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. (1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； (2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 【专项训练】 一、单选题 28．（2024高一上·全国·专题练习）关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 29．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 33．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 34．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 37．（23-24高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 39．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 40．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 三、填空题 41．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 42．（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 43．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 44．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 45．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 四、解答题 46．（24-25高一上·上海） （1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 47．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 48．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 49．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，其中． (1)若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； (2)解关子x的不等式． 50．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 · 考点一、解不含参数的一元二次不等式 · 考点二、解分式不等式和含绝对值不等式 · 考点三、解含有参数的一元二次不等式 · 考点四、由一元二次不等式的解确定参数 · 考点五、一元二次方程根的分布问题 · 考点六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 · 考点七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 · 考点八、一元二次不等式在某区间上有解问题 · 考点九、一元二次不等式的应用 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．（24-25高一上）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）通过配方即可得解； （2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解； （3）先判断判别式，然后即可得解. 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. 2．（24-25高一上·上海·假期作业）求不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将式子左边因式分解，结合二次函数的性质求出不等式的解集； （2）依题意可得，求出方程的根，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）不等式，即，解得或， 所以不等式的解集为 （2）不等式，即， 又方程的两根分别为、， 所以不等式的解集为. 3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】逐一求解二次不等式即可. 【详解】（1），所以， 故不等式的解集为； （2），所以， 故不等式的解集为； （3）因为的判别式， 故原不等式的解集为； （4），所以或， 故不等式的解集为 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 4．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集用区间表示为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用分数不等式的解法即可求出结果. 【详解】由，得到，等价于且， 所以，即， 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即公式：，得到或求解； （2）根据绝对值的几何意义即公式：，解得求解可得； （3）两边同乘变成整式型，两边平方得到解集，注意； （4）因为，，转成整式进而得到答案. 【详解】（1），则，解得，所以解集为. （2）因为，所以，即， 解出或， 或，即，无实数解， 综上，解集为. （3），，， 两边平方得到：， 即，解得或， ，所以解集为：. （4），，即， 解得，故解集为. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 7．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式： (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）将不等式因式分解，即可分类讨论求解. 【详解】（1）由可得， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或 （2）由可得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据、和分类讨论解不等式即可. 【详解】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 9．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数的不等式：． （2）解关于实数的不等式：． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析； 【分析】对不等式所对应方程的判别式进行判断，分情况讨论参数即可求得（1）（2）中的不等式解集. 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）对方程 ， 当时， 即时,不等式的解集为 当时， 即或时, 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时,不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 10．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 11．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 12．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且方程的解为，利用韦达定理将用表示，再根据一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以且方程的解为， 所以，所以， 则不等式，即为不等式， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型五、一元二次方程根的分布问题 13．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 14．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由命题求出的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 15．（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 16．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 17．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由于不等式对任意恒成立， 当时，不等式为，此时，不符合题意， 当时，对任意恒成立，则，解得， 故选：D 18．（23-24高一上·重庆·期末）对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 19．（23-24高一上·浙江金华·期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得. 【详解】令函数，显然在上单调递减，， 因为任意，不等式恒成立，于是， 所以. 故选：A 20．（23-24高一上·重庆·期末）已知命题“对，都有恒成立”为真，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则问题转化为在的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出. 【详解】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A. 21．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：D. 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（23-24高一上·甘肃白银·期末）已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断充分必要条件，一般先就两个命题求出它们的等价命题，再根据要求判断即可. 【详解】由题意，，即； 又由“”为真命题当且仅当， 即，解得：或，即或.所以是的充分不必要条件. 故选：A. 23．（23-24高一上·浙江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案. 【详解】因为，所以由不等式得， 不等式在区间内有解， 只需， 因为在上单调递增， 所以的最大值为，可得， 解得. 故选：D. 24．（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，由参变量分离法可得，利用基本不等式求出的最大值，即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，由，可得，则， 因为，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当时，的最大值为，故. 故选：A. 题型九、一元二次不等式的应用 25．（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 26．（23-24高一上·江苏镇江·期末）去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为（万元），则该品牌服装的年销售量将增长.请你预算该品牌服装的净利润（净利润为销售利润减去广告费用） (1)若使得今年净利润比去年至少增长，请你预算广告费用的范围? (2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大? 【答案】(1) (2)当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大 【分析】（1）由题意列出不等式（在这里同一转换为“万元”的单位），转换为一元二次不等式即可得解. （2）由题意得表达式，结合基本不等式及其取等条件即可求解. 【详解】（1）由题意得，即， 化简并整理得，解得， 所以预算广告费用的范围为. （2）由题意净利润为，（单位：万元）， 所以由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以当投入广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大. 27．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. (1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； (2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 【答案】(1)，该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. (2)到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 【分析】（1）根据已知条件，由的值求得，由解不等式求得正确答案. （2）利用函数的单调性求得的最大值，以及此时对应的. 【详解】（1）依题意可得，， 已知， 且. 令，解得. 该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. （2）年平均利润为， 令且， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 又. 到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 【专项训练】 一、单选题 28．（2024高一上·全国·专题练习）关于的不等式：的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解. 【详解】由得， 其解集等价于， 解得. 故选：B 29．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 30．（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，，和是方程的根，然后结合方程的根与系数关系即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，和是方程的根， 所以，即，，则． 故选：D． 31．（23-24高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解. 【详解】当时，则有，解得，不合题意； 当时，则，解得. 综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为， 所以一个必要不充分条件是. 故选：A. 32．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式求解. 【详解】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 33．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 34．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 35．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 二、多选题 36．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集. 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 37．（23-24高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围，再结合充分不必要条件的定义即可. 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当时，则必有且，解之得， 综上a的取值范围为，显然及均为的真子集， 即选项B，C满足条件． 故选：BC 38．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知关于的不等式的解集为，或，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是，或 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解集可确定，可判断A；结合根与系数关系可得的关系式，由此化简B，C，D选项中的不等式或进而求解，即可判断其正误，即得答案. 【详解】由关于的不等式解集为或， 知-3和2是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， ， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B不正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：AD. 39．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是 B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于C，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故C正确；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得在上恒成立，C选项的关键是得，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 40．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题 41．（23-24高一下·上海·开学考试）已知关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，，解得，解集不是非空， 则当不等式的解集为空时，， 则解集非空时实数的取值范围是， 故答案为：. 42．（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为命题：“，”为假命题， 所以“，” 为真命题，即恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 43．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解. 【详解】由已知，不等式的解集为， 故，且，为方程的两根， 所以，解得，故不等式为， 即，解得或. 故答案为：． 44．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围. 【详解】①当时，解得，不符合题意； 故，关于的不等式，即， ②当时，不等式即，解得或， 即它的解集为，不满足题意； ③当时，不等式即， 由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，， 由题意，即，解得或， 则实数的取值范围为. 故答案为： 45．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 四、解答题 46．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）若不等式的解集是，求的值； （2）已知不等式的解集为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解， （2）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求，进而可求解. 【详解】（1）的解集是，则是对应方程的两个根，故且，解得， 当时，不等式为，满足题意， 故 （2）若不等式的解集为，则，3是对应方程的两个根，且， 则，即， 则不等式等价为， 即， 即， 解得， 即不等式的解集为 47．（2024高三·全国·专题练习）设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解. （2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立. 当时，不等式可化为，不满足题意. 当，有，即，解得 所以的取值范围是． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 48．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； （2）由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 49．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知函数，其中． (1)若关于x的方程有两实数根，且两实数根之积等于1，求k的值； (2)解关子x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次方程的韦达定理即可得解； （2）分类讨论的取值范围，结合二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）因为， 所以由，得， 整理得， 因为方程有两实数根，即有两实数根， 所以，则， 又两实数根之积等于1，所以，解得或（舍去）， 经检验，满足要求， 所以. （2）因为， 所以由，得， 当时，由，解得； 当时，易知无解； 当时，由，解得； 综上，当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 50．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）把恒成立问题转化为对于一切实数x恒成立，用判别式法列式求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立，所以， 解得. （2）不等式等价于． 当即时，不等式可化为，原不等式的解集； 当即时，不等式可化为，原不等式的解集为：； 当即时，不等式可化为，此时． 综上所述：①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$