4.1 数列的概念（第2课时 数列的递推公式和前n项和）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1.2数列的递推公式与前n项和 第四章 数列 4.1 数列的概念 1 引 入 例1已知则数列的最大值？ 例2已知则数列的最小值？ LOGO 2 引 入 例3在数列中,判断数列的单调性，求最值。 LOGO 3 探究新知 LOGO 4 探究新知 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形. 在图中4个大三角形中, 着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项, 写出这个数列的一个通项公式. 换个角度观察图可以发现，从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足： a1=1, a2=3a1, a3=3a2, a4=3a3. 由此猜测这个数列满足公式 像an=3an-1(n≥2)这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. LOGO 5 探究新知 5.数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如果知道了一个数列的首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 注意：(1)不是所有的数列都有递推公式； (2)当用递推公式给出一个数列时，必须给出： ①数列{an}的第1项(或前几项） ②递推关系 LOGO 6 例5 已知数列{an}的首项为a1=1, 递推公式为 这个数列的前3项是？ 例题讲解 LOGO 7 探究新知 6.数列的前n项和： 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和， 记作Sn，即 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 问题1 数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？ LOGO 8 探究新知 问题2 已知数列{an}的前n项和公式为Sn=3n2+2n，求{an}的通项公式。 LOGO 9 例题讲解 1.根据数列的前n项和公式求通项公式 LOGO 10 例题讲解 LOGO 11 例题讲解 LOGO 12 总结： 例题讲解 LOGO 13 2.根据数列的递推公式求通项公式 例题讲解 LOGO 14 例题讲解 LOGO 15 例题讲解 LOGO 16 例题讲解 LOGO 17 探究新知 LOGO 18 1.数列的递推公式； 2.数列的前n项和； 3.根据数列的前n项和求通项公式； 4.根据数列递推公式求通项公式； 课堂小结 LOGO 19 求数列{an}的最大小项的方法 一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项. 二是设ak是最大项，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1，))对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可. 例6 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝ eq \f(1,1－an) ，n∈N*，求a2 024. 例1 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝4n2－2n； (2)Sn＝8n _8. 例2 已知数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝(－1)n＋2n，求a4＋a7及an+1。 例3 已知数列：a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝4n+3，求an. 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1,Sn－Sn－1，n≥2.)) 例4 （1）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln (1＋ eq \f(1,n) )，求数列{an}的通项公式. 解：an＋1－an＝ln (1＋ eq \f(1,n) )＝ln eq \f(1＋n,n) ＝ln (1＋n)－ln n， a1＝2， a2－a1＝ln 2， a3－a2＝ln 3－ln 2， …， an－an－1＝ln n－ln (n－1)(n≥2)， 以上各式相加得an＝2＋ln 2＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln (n－1)]. 所以an＝2＋ln n(n≥2). 因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n． 例4 （2）设数列{an}中，a1＝1，an＝(1－ eq \f(1,n) )an－1(n≥2)，求通项公式an. 解：因为a1＝1，an＝(1－ eq \f(1,n) )an－1(n≥2)，所以 eq \f(an,an－1) ＝ eq \f(n－1,n) ， eq \f(an,an－1) = eq \f(n－1,n) ， eq \f(an－1,an－2) = eq \f(n－2,n－1) ，..., eq \f(a2,a1) = eq \f(1,2) , 以上各式相乘得 eq \f(an,an－1) × eq \f(an－1,an－2) ×…× eq \f(a2,a1) ＝ eq \f(n－1,n) × eq \f(n－2,n－1) ×…× eq \f(1,2) ， eq \f(an,a1) ＝ eq \f(1,n) .又因为n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝ eq \f(1,n) (n∈N*). 例5 设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 解：由题意知a2－a1＝1， a3－a2＝1， …， an－an－1＝1(n≥2)， 以上各式相加，得an－a1＝n－1. 又a1＝1，所以an＝n(n≥2)，因为当n＝1时也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*). 例6 已知数列{an}中，a1＝3，an＝ 2n(an＋1－an)(n∈N*).求数列{an}的通项公式． 方法归纳 (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1求通项公式． (2)累乘法：当eq \f(an,an－1)＝g(n)时，常用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1求通项公式． $$