精品解析：安徽省安庆市太湖中学2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试题

太湖中学2023级高一下学期第一次段考数学试题 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，为非零向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在△中，为△的外心，则等于 A. B. 6 C. 12 D. 4. 已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －4 B. 4 C. 5 D. 8 6. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在半径为2的扇形中，，是弧的中点，分别是线段，上的动点，且满足，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 10. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 11. 设函数，若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______. 14. 为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则计算圣索菲亚教堂的高度为__________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应学出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 16. 在中，内角，，对边分别为，，．已知. （1）求； （2）若，且边上高为，求的周长. 17. 如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度的大小为 ，设和的夹角为，北岸在A的正北方向． （1）当时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中的左侧还是右侧，并说明理由． （2）当多大时，游船能到达处？需航行多长时间？ 18. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 太湖中学2023级高一下学期第一次段考数学试题 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求集合，再求. 【详解】，即，得， 即，且, 所以. 故选：D 2. 若，为非零向量，则“”是“，共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的条件，从充分性和必要性两方面分别论证即可. 【详解】若，则，共线，所以充分性成立； ，共线可能同向共线、也可能反向共线， 所以，共线得不出，所以必要性不成立． 故选：A． 3. 在△中，为△的外心，则等于 A. B. 6 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：如图，过点作于，则，应选D. 考点：平面向量运算、数量积. 4. 已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 分析】由共线向量基本定理即得. 【详解】∵､､三点共线， ∴， 解得. 故选：A. 5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －4 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值. 【详解】由的解集为， 则，且，是方程的两根， 由根与系数的关系知， 解得，，当且仅当时等号成立， 故， 设， 函数在上单调递增， 所以 所以的最小值为5. 故选：C 6. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系 【详解】，，， 故. 故选：B 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 8. 在半径为2的扇形中，，是弧的中点，分别是线段，上的动点，且满足，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，利用向量的线性运算的几何意义和向量的数量积的运算法则求得，进而得到最小值. 【详解】设，则， 则 ， 当时取得最小值为， 故选：C 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C． 【详解】解：对于A选项，当时，与可以任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误， 对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错， 对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确， 若，设，，可得为的重心， 设，，， 则，，，由， 可得，故D正确； 故选：AB. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据大边对大角以及正弦定理即可判断A；根据余弦函数的单调性以及可判断B；利用正弦定理化边为角以及同角三角函数商数关系可得即可判断C；利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得进而可得或即可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），所以，故选项A正确； 对于B：因为在上单调递减，且，所以，故选项B正确； 对于C：因为，由正弦定理化边为角可得， 又因为，所以，所以，故选项C正确； 对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，所以或，故选项D错误． 故选：ABC． 11. 设函数，若函数有四个零点分别为且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合进行求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示： 要想函数有四个零点，则，A错误； 由于当时，对称轴为，所以，B正确； 当时，，所以，所以，C正确； 因为，所以，故，由于，所以，由对勾函数知：在上单调递增，故，D正确. 故选：BCD 第卷（非选择题） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式计算可得； 【详解】， ． 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【详解】以原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 14. 为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则计算圣索菲亚教堂的高度为__________． 【答案】54 【解析】 【分析】作出辅助线，设，则，求出，表达出，在Rt中，由得到方程，求出，得到答案. 详解】 过点A作⊥于点， 由于，故， 又， 设，则， 其中， 故，所以， 故，， 在Rt中，，即， 解得， 故m， 故答案为：54. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应学出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 集合，集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果； （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解. 【小问1详解】 ①当时，， 此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或， 解得， 综上知，当或时，， 所以若，则实数的取值范围是. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知. （1）求； （2）若，且边上的高为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，最后由正弦定理将角化边； （2）由余弦定理得到，利用面积公式求出，即可得到、，从而得解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 由正弦定理得，即； 【小问2详解】 由题意得，， 由余弦定理得， 解得（负值舍去）， 因为边上的高为， 所以， 则，所以，， 故的周长． 17. 如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度的大小为 ，水流速度的大小为 ，设和的夹角为，北岸在A的正北方向． （1）当时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中的左侧还是右侧，并说明理由． （2）当多大时，游船能到达处？需航行多长时间？ 【答案】（1）左侧，理由见解析； （2），时间为 h. 【解析】 【分析】(1)时，游船水平方向速度大小为然后确定方向即可． (2)若游船能到处，则有，求出，然后求出时间即可； 【小问1详解】 时，游船水平方向的速度大小为=1 ，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在点的左侧； 【小问2详解】 若游船能到处，则有， 则有， 此时游船垂直江岸方向的速度 ， 时间 h. 18. 已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值； （2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解. 【详解】（1） 由可得：. . （2）由余弦定理得：，整理可得：， ，， 又，，， ，则， ，即的取值范围为. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型. 19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$