第二章一元二次方程　——　一元二次方程的实际应用专题讲义　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

一元二次方程的实际应用专题 学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程 2.会用一元二次方程解决实际问题中的销售、增长率、面积等问题 3.经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用 4.体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识 解题思路 一、列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 要点解读：列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性 二、常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 典例精析 考点一、传播问题 例1、近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 变式、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二、增长率问题 例2、我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？ 变式、习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 考点三、握手问题 例3、毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 变式1、．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 变式2、象棋比赛中，每个选手与其他选手将比赛一场，每局胜者记2分，败者记0分，如果平局，每人各记1分，今有4位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025，2070，2080，2085分，经核实，其中只有一位同学是正确的，试求这次比赛中共有多少名选手参加？ 变式3、某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 考点四、面积问题 例4、如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 变式1、如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为． (1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； (2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？ 变式2、禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． （1）用含的代数式表示的长； （2）饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 变式3、为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 考点五、销售问题 例5、某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 变式1、网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数解析式． (2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？ 变式2、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1） 若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 变式3、某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 考点六、几何问题 例6、如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 变式1、如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 变式2、如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 变式3、如图，在直角中，，，，现有动点从点出发，沿射线运动，速度为，动点从点A出发，沿线段运动，速度为，到点时停止运动，它们同时出发，设运动时间为秒. (1)当时，求的面积. (2)多少秒时，的面积为？ 巩固练习 1、小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　） A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2 2、如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为______m． 3．某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 4．2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5、如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    6、某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 7、新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 8、如图是用棋子摆成的图案 根据图中棋子的排列规律解决下列问题： (1)第4个图形中有__________颗棋子，第个图形中有__________颗棋子； (2)请求出第几个图形中棋子是274颗． 9、李师傅要利用家里的一面墙用铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为35米，铁丝网总长是70米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米． （1）用含x的代数式表示y； （2）当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值； （3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由． 10、为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙墙足够长，另外两边用总长为米的铁皮围成，两面墙的夹角为，铁皮与墙面均垂直，其中边上留有宽米的通道，且边的长不小于米．若仓库的面积是平方米，则的长应为多少米？ 11、如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ （2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ （3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． （4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 12、某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程的实际应用专题 学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程 2.会用一元二次方程解决实际问题中的销售、增长率、面积等问题 3.经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用 4.体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识 解题思路 一、列一元二次方程解应用题步骤： ① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词； ② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位； ③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致； ④ 解：用适当的方法解一元二次方程； ⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义； ⑥ 答：写出实际问题的答案。 要点解读：列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性 二、常见实际问题的数量关系 ① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数； ② 增长（降低）率问题： 平均增长率公式；（a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数） 平均降低率公式：（a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数） ③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等； ④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字10+个位数字； ⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等 典例精析 考点一、传播问题 例1、近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． （1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 变式、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：依题意得，， 故选：D． 考点二、增长率问题 例2、我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒元下调至元，求平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 则， 解得，（舍去）， 答：平均每次降价的百分率是． 变式、习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；(2)最多可购买电脑8台 （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答． （2）设购买电脑台，则购买实物投影仪台，依题意，列式，进行解不等式，即可作答． （1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多可购买电脑8台 考点三、握手问题 例3、毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝780， 整理得：x2﹣x﹣1560＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B． 变式1、．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）； 依题意，可列方程为：10． 故选：A． 变式2、象棋比赛中，每个选手与其他选手将比赛一场，每局胜者记2分，败者记0分，如果平局，每人各记1分，今有4位同学统计了比赛中全部选手得分的总和分别为2025，2070，2080，2085分，经核实，其中只有一位同学是正确的，试求这次比赛中共有多少名选手参加？ 【解答】解：设这次比赛中共有x名选手参加．易得分数一定不是2025，2085， 2x（x﹣1）＝2070， 解得x1＝46，x2＝﹣45（不合题意，舍去） ∵只有一位同学是正确的， ∴正确的分数是2070，共有46名选手参加比赛． 变式3、某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）． （1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行　 　场比赛； （2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 【解答】解：（1）4×3＝6（场）． 故答案为：6． （2）设有x支球队参加比赛， 依题意，得：x（x﹣1）＝36， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛 考点四、面积问题 例4、如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 【答案】1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路应修宽，根据花田面积为，建立方程，解方程结合题意取舍的值，即可求解． 【详解】解：设道路应修宽，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：道路应修宽． 变式1、如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为． (1)填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； (2)当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？ 【答案】(1)(2)米 【详解】（1）解：根据题意：的长为，因为入口不用砌墙，所以砌段墙用料为米，∴段墙用料为 故答案为：． （2）由题意：，，，， ∵墙最长可利用，∴， 答：面积为时，墙的长为米 变式2、禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． （1）用含的代数式表示的长； （2）饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 （1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米， ∴边长为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 变式3、为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米． （1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长． （2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m， 根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72， 整理得：x2﹣10x+24＝0， 解得：x1＝4，x2＝6， 当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去； 当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意． 答：AB的长为6m； （2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下： 假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m， 根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80， 整理得：3y2﹣30y+80＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2． 考点五、销售问题 例5、某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（　　） A．（x﹣80）（50+10x）＝2500 B．（x﹣120）（50+10x）＝2500 C． D． 【解答】解：当售价为x元/台时，每台的销售利润为（x﹣80）元，月销售量为[50]台，根据题意得：（x﹣80）[50]＝2500． 故选：D 变式1、网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/，销售价格不高于14元/，且每售卖需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量与销售价格x（元/）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x的函数解析式． (2)当猕猴桃的销售价格定为多少元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？ 【答案】(1)(2)元/ 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 将代入得: ，解得：， ∴与的函数解析式为； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵销售价格不高于元/， ∴． 答：当销售单价定为元/时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为元 变式2、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1） 若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． （2）若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ （3）商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30，1050；(2)每件衬衫应降价20元；(3)无法达到，理由见解析 解：（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （3）设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 变式3、某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 【解答】解：（1）设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为（x+10）元， 依题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意． 答：原来衬衫每件进价为50元． （2）设定价为a元，根据题意得 （a﹣60）[50+5（100﹣a）]＝3000． 整理得a2﹣170a+7200＝0， 解得a1＝80，a2＝90， ∵为了尽可能让利给顾客， ∴a＝80， 答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客 考点六、几何问题 例6、如图，在中，，点M从点A出发沿边向点B以的速度移动，同时点N从点B出发沿边向点C以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：在中，，，， ∴． 当运动时间为时，，，， 依题意得：，即， 整理得：， 解得：， ∴点，的运动时间为． 故选：A． 变式1、如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 【答案】（1）1秒；（2）不可能，见解析 【详解】 解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x＝1或x＝4（舍去）． 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）由（1）同理可得（5﹣x）2x＝7． 整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0， 所以，此方程无解． 所以△PBQ的面积不可能等于7cm2． 变式2、如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；(2)，；(3)当时，四边形的面积等于． （1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 变式3、如图，在直角中，，，，现有动点从点出发，沿射线运动，速度为，动点从点A出发，沿线段运动，速度为，到点时停止运动，它们同时出发，设运动时间为秒. (1)当时，求的面积. (2)多少秒时，的面积为？ 【答案】(1) (2)或6或7秒时，的面积为 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴； （2）解：当时， ， 解得：，， 不符合题意，舍去， 当时， ， 解得：，， 综上：或6或7秒时，的面积为 巩固练习 1、小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（　　） A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2 C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2 【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2， 故选：C． 2、如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为______m． 【答案】2 【详解】解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积， 依题意得：(22-x)(14-x)=240， 整理得：x2-36x+68=0， 解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 3．某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设从前年到今年平均增长率都为x， 由题意得，， 故选：C． 4．2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力，某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为场．若设参赛队伍有支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设参赛队伍有支，则每只队伍参加场比赛， 根据题意得：， 故选：． 5、如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式 ．    【答案】 解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：，整理得：； 故答案为：． 6、某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问： （1）该单位这次去旅游，员工有没有超过人？ （2）该单位这次共有多少员工去旅游？ 【答案】(1)超过人； (2)该单位这次共有名员工去旅游 （1）解：∵人数不超过人，人均费用为元， ∴， ∴员工人数一定超过人， ∴该单位这次去旅游，员工超过了20人； （2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得： ， 整理得， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，，符合题意． 答：该单位这次共有35名员工去旅游 7、新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意，得：1+x+x（1+x）＝169， 解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均每个人传染了12个人． （2）169×（1+12）＝2197（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病 8、如图是用棋子摆成的图案 根据图中棋子的排列规律解决下列问题： (1)第4个图形中有__________颗棋子，第个图形中有__________颗棋子； (2)请求出第几个图形中棋子是274颗． 【答案】(1)22，(2)第16个图形中的棋子是274个 【详解】（1）解：观察图形可得： 第1个图形有：颗棋子， 第2个图形有：颗棋子， 第3个图形有：颗棋子， 第4个图形有：颗棋子， 第个图形有：颗棋子， 故答案为：22，； （2）解：令， 解得：或（不符合题意，舍去）， 第16个图形中的棋子是274个 9、李师傅要利用家里的一面墙用铁丝网围成一个矩形苗圃，围墙的长为35米，铁丝网总长是70米．如图所示，设AB的长为x米，BC的长为y米． （1）用含x的代数式表示y； （2）当苗圃的面积是600平方米时，求出x，y的值； （3）苗圃的面积能否达到700平方米？如果能，求出x，y的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）y＝－2x＋70；（2）x＝20，y＝30；（3）不能，见解析 【详解】 解：（1）依题意得：2x+y=70， ∴y=-2x+70． ∵0＜y≤35，即 ， 解得：≤x＜35． ∴y=-2x+70（≤x＜35）． （2）依题意得：xy=600，即x（-2x+70）=600， 整理得：x2-35x+300=0， 解得：x1=15（不合题意，舍去），x2=20， ∴y=-2x+70=-2×20+70=30． 答：当苗圃的面积是600平方米时，x的值为20，y的值为30． （3）不能，理由如下： 依题意得：xy=700，即x（-2x+70）=700， 整理得：x2-35x+350=0． ∵Δ=（-35）2-4×1×350=-175＜0， ∴该方程没有实数根， ∴苗圃的面积不能达到700平方米． 10、为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙墙足够长，另外两边用总长为米的铁皮围成，两面墙的夹角为，铁皮与墙面均垂直，其中边上留有宽米的通道，且边的长不小于米．若仓库的面积是平方米，则的长应为多少米？ 【答案】20米 【详解】解：设米，则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：不符合题意，舍去，， ． 答：的长应为米． 11、如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）． （1）当t为何值时，△PAQ为等腰三角形？ （2）当t为何值时，△APD的面积为6cm2？ （3）五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． （4）当t为何值时，P、Q两点之间的距离为cm？ 【答案】（1）当t＝2时，△PAQ为等腰三角形；（2）当t＝时，△APD的面积为6cm2；（3）五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2；（4）t＝ 【详解】 解：（1）根据题意，AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝（6﹣2t）cm， ∵为等腰三角形，， ∴，即， 解得：， ∴当时，△PAQ为等腰三角形； （2）∵（cm2）， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为6cm2； （3）∵（cm2）， ∴ 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴五边形PBCDQ的面积不能达到20cm2； （4）在Rt△APQ中，， 根据题意得：， ∴化简后得：， 解得：，， ∵，， ∴， ∴（舍去）， ∴． 12、某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨 (2)的值20 (3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，由题意得：，解得：，∴，答：4月份再生纸的产量为500吨； （2）解：由题意得：，解得：或（不合题意，舍去）∴，∴的值20； （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，∴答：6月份每吨再生纸的利润是1500元 学科网（北京）股份有限公司 $$