精品解析：江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

2023~2024学年第二学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为实数，，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 4. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5 5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 7. 用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（ ） A. B. C. D. 8. 在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据如下：，则该组数据的（ ） A. 极差为6 B. 平均数为85 C. 方差为26 D. 第80百分位数为87.5 10. 已知直线，平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为______． 13. 在中，，若最短边的长为，则最长边的长为______． 14. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． （1）用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； （2）用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率． 17. 如图，在正方体中，为棱的中点． 求证：（1）∥平面； （2）平面⊥平面 18. （1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 19. 如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为． （1）求证：四棱锥为正四棱锥； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年第二学期期末调研考试 高一数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为实数，，若，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合相等得到，解得即可. 【详解】因为，若， 所以，解得. 故选：A 2. 复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】， 所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ） A. 能组成直角三角形 B. 能组成锐角三角形 C. 能组成钝角三角形 D. 不能组成三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先设的三边分别为，，，得到角为最大的角，再根据得到为锐角，即可得到答案. 【详解】由题知：设的三边分别为，，， 因为，所以角为最大的角. 因为，， 所以为锐角，故三角形为锐角三角形. 故选：B 4. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以， ， 又，所以，解得. 故选：B 5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数. 【详解】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的频率为， 所以样本中属于醉酒驾车的人数约为人. 故选：C 6. 已知为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出，即可得解. 【详解】因为， ， 所以， 又为钝角，所以. 故选：D 7. 用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为，桶底直径为，母线长是．已知每平方米需用油漆，共需用油漆（精确到）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式求出，则一个桶需要涂漆面积为，进而求解. 【详解】， ，， 故一个桶需要涂漆面积为， 故个桶需要涂漆为：. 故选：C. 8. 在梯形中，为钝角，且，若为线段上一点，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，取中点，因为，所以，以为轴建立直角坐标系，根据，得，从而计算. 【详解】根据题意，取中点，因为，所以， 以为轴建立直角坐标系，则， 设，， 则， 则 因为，则, 的，则， 且. 故选：B 【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据，确定点的坐标，再坐标法计算数量积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据如下：，则该组数据的（ ） A. 极差为6 B. 平均数为85 C. 方差为26 D. 第80百分位数为87.5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义逐一计算即可. 【详解】对于A，极差为，故A正确； 对于B，平均数为，故B正确； 方差为 ，故C错误； 对于D，，所以第80百分位数为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知直线，平面，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面、线面平行、垂直的判定定理以及性质依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，由平面平行传递性可得，故A正确； 对于B，，则与可以平行，也可以相交，故B错误； 对于C，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C正确； 对于D，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D正确； 故选：ACD 11. 在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为： 13. 在中，，若最短边的长为，则最长边的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，， 得，所以， ， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故答案为：. 14. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的倍，若这两个圆锥的体积之和为，则球的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径，根据圆锥的体积得到，再由，即可表示、，再由勾股定理得到与的关系，最后由圆锥的体积求出，即可求出球的体积. 【详解】 如图，设圆锥与圆锥公共底面圆心为，两圆锥公共底面圆周上一点，底面半径，设球心为，球的半径， 由，， 又，即，即，又， 所以，， 所以，又，所以， 又， 即，解得， 所以，即球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，解得（负值已舍去）， 所以. 16. 已知三种不同的元件，其中元件正常工作的概率分别为，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． （1）用元件连接成系统（如左图），当元件都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； （2）用元件连接成系统（如右图），当元件正常工作且中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为，求元件正常工作的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可. 【小问1详解】 记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件， 系统正常工作为事件，则，， 所以； 【小问2详解】 记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件， 则 ， 解得，即元件正常工作的概率为. 17. 如图，在正方体中，为棱的中点． 求证：（1）∥平面； （2）平面⊥平面 【答案】(1)证明：连交于，连， 因为为的中点，为的中点，所以 又平面平面， 所以平面 (2)证明：因为平面，所以于， 所以平面，所以 同理可证， 又于，所以平面， 因为，所以平面， 又平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证. 【详解】（1）略 （2）略 18. （1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可. （2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可. 【详解】（1），， ，， ，， . 故答案为：. （2）， ，即， ，又， ， ，即. 故答案为：. 19. 如图，已知各边长为4的五边形由正方形及等边三角形组成，现将沿折起，连接，得到四棱锥，且二面角的正切值为． （1）求证：四棱锥为正四棱锥； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）若点是侧棱上的动点，现要经过点作四棱锥的截面，使得截面垂直于侧棱，试求截面面积的最大值． 【答案】（1） 过点作面，垂足为，取中点，连接，如图所示， 是平面内两条相交直线，平面. 平面，，二面角的平面角为. 在等边三角形边长为4，根据勾股定理可得, 在直角三角形，. 因此为正方形的中心，即正方形的对角线的交点， 又因为面，则. 因此四棱锥为正四棱锥. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据过点作面，垂足为，取中点，连接，二面角的正切值为，验证的为正方形的对角线的交点，从而得证； （2）利用二面角的定义确定二面角的平面角，求解即得； （3）通过在图形中找到与垂直的平面，从而观察符合题意的截面，判断截面面积最大的情况，计算出面积； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设面面，因为平面平面， 故面，又面，面面，从面， 则，同理为二面角的平面角， 因四棱锥为正四棱锥，故，则， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知为的中点，取的中点， 连接都是正三角形，平面， 所以，由，则平面， 因此过点垂直于的截面与截面平行或重合， 显然点在上（不含端点）时，截面面积小于，不可能最大， 当点在（不含端点），时，令， 此时截面交分别于点，，，，平面平面， 平面平面，平面平面， 因此，同理， 由知，平面，得平面， 而平面平面平面，则，同理，于是，四边形为平行四边形， 又，则，即有，四边形为矩形， 显然，则， ，由， 得，而，矩形面积， 从而截面的面积 ， 当时，，显然， 即时，截面面积最大，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $