专题2.8 有理数的加法与减法（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.8 有理数的加法与减法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【知识点二】有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 特别强调：（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 特别强调： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的加法运算 【例1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为 ． 【题型2】有理数的加法运算律 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【题型3】有理数的减法运算 【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (2) ； (4) ． 【变式1】已知，，且，则的值为（    ） A．和 B．或 C．或7 D．或 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【题型4】有理数的加减混合运算 【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列算式的和为4的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，且，则 ． 【题型5】有理数加减中的简便运算 【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【变式1】（21-22七年级·全国·假期作业）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： ． 【题型6】有理数加减混合运算的应用 【例6】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： （1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． （2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【变式1】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）下面是小王存折存取记录的一部分，根据其中提供的信息，截止2023年8月20日，此张存折的余额为（    ） 日期 存入（）/支出（） 余额 20230630 13500 20230715 20230820 A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【例2】（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(   ) A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： （1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； （2）当时，_________；当时，_________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． （4）合理的方法计算：． 【例2】（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 （1）除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； （2）在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ （3）把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 有理数的加法与减法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【知识点二】有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 特别强调：（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 特别强调： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的加法运算 【例1】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算； （1）——（4）根据有理数的加法进行计算即可求解； （1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法法则：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 解：A． ，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，先确定字母的值，再运算即可． 解因为a是最小的正整数，b是最大的负整数，c的绝对值为3， 所以，， ， 故答案为：． 【题型2】有理数的加法运算律 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）折项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，首先将带分数拆分，再按照有理数加法交换律和结合律进行简便计算即可． 解：原式 ． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 解A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意； 故选C． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点拨】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 【题型3】有理数的减法运算 【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ； (2) ； (4) ． 【答案】(1) (2)10 (3)8 (4)0 【分析】根据有理数加减运算法则求解即可得到答案． 解（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点拨】本题考查有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【变式1】已知，，且，则的值为（    ） A．和 B．或 C．或7 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的减法． 根据绝对值的性质求出x，y的值，再判断出x，y的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可解答． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为或． 故选：D 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】根据有理数减法运算法则和绝对值的意义进行计算即可． 解：（1）； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算法则，准确计算． 【题型4】有理数的加减混合运算 【例4】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）下列算式的和为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减混合运算可进行求解． 解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选C． 【点拨】本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． 【变式2】若，且，则 ． 【答案】0或2/2或0 【分析】此题考查的是有理数的混合运算，绝对值的性质，能够正确的判断出a、b、c的值是解答此题的关键．根据绝对值的性质和求出a、b、c的值，然后代入求解即可． 解：∵， ∴； ∵， ∴； 当时，； 当时，． 故的值为0或2． 故答案为：0或2． 【题型5】有理数加减中的简便运算 【例5】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可；（2）-（4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（21-22七年级·全国·假期作业）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可． 解：嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是． 故选：C． 【点拨】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握裂项相加是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 【题型6】有理数加减混合运算的应用 【例6】（23-24六年级下·上海长宁·期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： （1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． （2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足千克 (3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． （1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 【变式1】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）下面是小王存折存取记录的一部分，根据其中提供的信息，截止2023年8月20日，此张存折的余额为（    ） 日期 存入（）/支出（） 余额 20230630 13500 20230715 20230820 A．19450元 B．8550元 C．7650元 D．7550元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，以及有理数的加减运算的应用，根据题意列式计算，即可求解． 解：， （元）． 答：此张存折的余额为7550元． 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解的运算方法，列出算式是解题的关键．根据的运算方法列出算式，再根据加减运算进行计算即可． 解：根据定义新运算：， 可得． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【例2】（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法则计算即可． 解A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查有理数的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： （1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； （2）当时，_________；当时，_________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． （4）合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3)C (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0，然后根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． （1）先比较有理数的大小，然后结合绝对值的性质即可化简； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）由数轴可知，，然后根据绝对值的性质即可求解； （4）根据绝对值的性质和有理数运算，化简绝对值并进行加减运算，即可获得答案． （1）解：根据题目中的规律，可得 ①∵，∴； ②∵，∴． 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，． 故答案为：；； （3）由数轴可知，， ∴． 故选：C； （4） ． 【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、有理数运算等知识，解题的关键是根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 【例2】（23-24七年级上·河南商丘·期末）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 （1）除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米；青蛙距离井口的最近距离是______厘米； （2）在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ （3）把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)2；59； (2) (3)青蛙在第25次跳出了井口 【分析】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别将这7天的正数和负数相加，可得青蛙向上跳跃的距离，再利用90与其相减可得结论； （2）先计算最后一天青蛙跳跃下滑后距离，再利用90与其相减可得结论； （3）一周为，21天即为三周，上升，利用依次作差，注意最后一天只计算跳跃的距离即可． （1）解：第一次跳跃下滑后； 第二次跳跃下滑后； 第三次跳跃下滑后； 第四次跳跃下滑后； 第五次跳跃下滑后； 第六次跳跃下滑后； 第七次跳跃下滑后； 青蛙距离井底的最近距离是2厘米；青蛙距离井口的最近距离是厘米， 故答案为：2；59； （2）， 即在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有； （3）周……， 即第21次后，距离井口：， 第22次后，距离井口：， 第23次后，距离井口：， 第24次后，距离井口：， 第25次后，，此时跳出井口， 故青蛙在第25次跳出了井口． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$