2024年中考冲刺·数学章节训练卷(五)——四边形课件

2024年中考冲刺·数学章节训练卷(五) 四边形 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为(　A　) A．130° B．100° C．50° D．40° A 中考冲刺数学 2．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　D　) A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD D 中考冲刺数学 3．菱形具有但是平行四边形不具有的性质(　B　) A．对角线互相平分 B．邻边相等 C．对角线相等 D．是中心对称图形 B 中考冲刺数学 4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形ABCD是菱形，那么这个条件可以是(　C　) A．AB＝AC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥AC C 中考冲刺数学 5．依据所标数据，下列不一定是矩形的是(　B　) B 中考冲刺数学 6．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(3，6)，则A，C两点间的距离是(　B　) A．3 B．3 C．3 D．6 B 中考冲刺数学 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝2，则菱形ABCD的周长是(　C　) A．8 B．12 C．16 D．20 C 中考冲刺数学 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝12，BD＝16，则△ABC的周长为(　D　) A．24 B．28 C．30 D．32 D 中考冲刺数学 9．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC＝34°，则∠A′EB＝(　D　) A．28° B．34° C．56° D．62° D 中考冲刺数学 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于BD.其中正确结论的个数是(　C　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 中考冲刺数学 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是 　AC＝BD(答案不唯一)　 ⁠． AC＝BD(答案不唯 一)　 中考冲刺数学 12．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BA，则∠DCE的度数为 　22.5°　 ⁠． 22.5°　 中考冲刺数学 13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若AB＝8，EC＝2，则AD的长为 　6　 ⁠． 6　 中考冲刺数学 14．如图，已知点E在矩形ABCD的边AD上，且BC＝EC＝8，∠ABE＝15°，则AB的长为 　4　 ⁠． 4　 中考冲刺数学 15．如图，点O为菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，若OD＝3，OE＝2，则菱形ABCD的面积为 　12　 ⁠． 12　 中考冲刺数学 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD. ∴OA＝OB.∴△AOB是等腰三角形．又∠AOB＝56°， ∴∠OBA＝∠OAB＝62°. ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°. ∴∠EAB＝90°－∠ABE＝28°. 三、解答题(一)：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16．(1)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数． 中考冲刺数学 (2)已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.求证：DE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO，∠OEA＝∠OFC. ∵点O为对角线AC的中点，∴AO＝CO. 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF(AAS)．∴AE＝CF. ∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF. 中考冲刺数学 17．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F.求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C. ∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°. 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF. 中考冲刺数学 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE与AC交于点F，∠CDE＝∠CBD，求CE的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4， ∴AD∥BC，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4. ∴∠ADB＝∠CBD. ∵∠CDE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠ADB. ∵∠BAD＝∠DCE＝90°，∴△CDE∽△ADB. ∴＝，即＝.∴CE＝1. 中考冲刺数学 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF. 中考冲刺数学 (1)求证：△ODE≌△FCE； (1)证明：∵点E是CD的中点，∴CE＝DE. ∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE. 在△ODE和△FCE中， ∴△ODE≌△FCE(ASA)． 中考冲刺数学 (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程． (2)解：四边形ODFC为矩形．证明如下： ∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE. ∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形． ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD. ∴∠DOC＝90°.∴四边形ODFC为矩形． 中考冲刺数学 20．如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为边AB，DC的中点，连接ED，EC，EF，作CG∥DE，交EF的延长线于点G，连接DG. (1)求证：四边形DECG是平行四边形； 证明：(1)∵点F是边CD的中点，∴DF＝CF. ∵CG∥DE，∴∠DEF＝∠CGF. ∵∠DFE＝∠CFG，∴△DEF≌△CGF(AAS)．∴DE＝CG. ∵CG∥DE，∴四边形DECG是平行四边形． 中考冲刺数学 (2)当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形． (2)∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠FDE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∵点E，F分别为边AB，DC的中点， ∴AE＝AB，DF＝CD.∴AE＝DF. ∵AE∥DF，∴四边形AEFD是平行四边形． ∴EF∥AD.∴∠ADE＝∠DEF. ∴∠DEF＝∠FDE.∴EF＝DF＝CF. ∵四边形DECG是平行四边形，∴EF＝FG. ∴EG＝DC.∴四边形DECG是矩形． 中考冲刺数学 21．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE. 中考冲刺数学 (1)求证：四边形AEBD是菱形； (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE. ∴∠DAF＝∠EBF. ∵点F是AB的中点，∴AF＝BF. ∵∠AFD＝∠BFE，∴△AFD≌△BFE(ASA)． ∴AD＝BE.∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形． ∵DB＝DA，∴四边形AEBD是菱形． 中考冲刺数学 (2)若DC＝，tan ∠DCB＝3，求四边形AEBD的面积． (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝，AB∥CD. ∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE. ∴∠AFD＝90°.∵AB∥CD，∴∠CDF＝∠AFD＝90°. ∴tan ∠DCB＝＝3.∴ED＝3. ∴S菱形AEBD＝AB·ED＝××3＝15. 中考冲刺数学 五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22．如图，四边形ABCD是正方形，点E是平面内异于点A的任意一点，以线段AE为边作正方形AEFG，连接BE，DG. 中考冲刺数学 (1)如图1，判断BE与DG的位置关系，并证明你的结论； 解：(1)BE⊥DG.理由如下： 如图1，延长BE交DG于点H，设BE交AD于点O. ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG， AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°.∴∠EAB＝∠GAD. ∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG. ∵∠ABO＋∠AOB＝90°，∠DOH＝∠AOB， ∴∠ADG＋∠DOH＝90°.∴∠GHB＝90°.∴BE⊥DG. 中考冲刺数学 (2)如图2，若点E在线段DG上，∠DAE＝15°，AG＝4，求BE的长． (2)如图2，过点A作AH⊥DG于点H. ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴∠AGE＝45°. ∴GH＝HA＝AG·sin 45°＝2.∵∠AGE＝45°，∴∠GAH＝45°. ∴∠HAE＝45°.∵∠DAE＝15°， ∴∠HAD＝∠HAE＋∠DAE＝60°. ∴DH＝HA·tan ∠HAD＝2×＝2. ∴BE＝DG＝DH＋GH＝2＋2. 中考冲刺数学 23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8. 中考冲刺数学 (1)求证：四边形AEFD为菱形； (1)证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形． ∵四边形ABOC是正方形， ∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°. ∵点D，E是OB，OC的中点，∴CE＝BD. ∴△ACE≌△ABD(SAS)． ∴AE＝AD.∴四边形AEFD是菱形． 中考冲刺数学 (2)求四边形AEFD的面积； (2)解：如图1，连接DE. ∵S△ABD＝AB·BD＝×8×4＝16， S△ODE＝OD·OE＝×4×4＝8， ∴S△AED＝S正方形ABOC－2S△ABD－S△ODE＝64－2×16－8＝24. ∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48. 中考冲刺数学 (3)若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得四边形APQG与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)解：如图1，连接AF，交DE于点K. 由(2)，易求得ED＝4，AD＝4. ∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，∴KE＝KD. ∴OK＝KE＝KD＝2. ∴AK＝＝6.∴AK＝3KD. ∴在Rt△ADK中，tan ∠DAK＝＝. ∵四边形APQG与四边形AEFD相似， 中考冲刺数学 ∴四边形APQG也为菱形，且∠P为钝角．有图2、图3两种情况： 如图2，在Rt△PQH中，tan ∠PQH＝tan ∠DAK＝＝， 过点H作HM1⊥y轴于点M1，过点P作PN1⊥HM1于点N1. ∵M1H是△QAC的中位线，∴HM1＝＝4. ∵∠M1HQ＝∠HPN1＝90°－∠PHN1，∠HM1Q＝∠N1，∴△HPN1∽△QHM1. ∴＝＝＝.∴PN1＝HM1＝.∴OM1＝. 设HN1＝t，则QM1＝3t. 中考冲刺数学 ∵QM1＝M1C，∴3t＝8－.解得t＝. ∴OP＝M1N1＝4＋t＝.∴点P的坐标为(，0). 如图3，在Rt△PQH中，tan ∠PQH＝tan ∠DAK＝＝，过点H作HM2⊥x轴于点M2，交AC于点I，过点Q作QN2⊥HM2于点N2. ∵IH⊥OB，CQ⊥OB，∴IH∥CQ. ∴＝＝＝. 中考冲刺数学 ∴CQ＝2IH，N2Q＝CI＝CA＝4. ∵∠M2PH＝∠N2HQ＝90°－∠PHM2，∠PM2H＝∠QN2H， ∴△PM2H∽△HN2Q.∴＝＝＝. ∴M2H＝N2Q＝.设PM2＝t，则HN2＝3t. ∵HN2＝HI，∴3t＝8＋.解得t＝. ∴OP＝OM2－PM2＝QN2－PM2＝4－t＝. ∴点P的坐标为(，0). 综上所述，点P的坐标为(，0)或(，0). 中考冲刺数学 $$