第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷（五年级）

第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷（五年级） 一、填空题.（把正确的答案填在括号内，每题5分，共100分） 1．（5分）计算：7.3×1.3﹣11÷1.3+2.7×1.3+14.9÷1.3＝ 2．（5分）计算：[2015﹣（8.5×8.5﹣6.5×6.5）÷2]÷16＝ 3．（5分）计算：12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162＝ 4．（5分）计算：13+33+53+73+93+113+133+153+173＝ 5．（5分）计算：＝ 6．（5分）正方形ABCD的边长是6厘米，E、F为BC和AD的中点，P、Q为正方形内两点，阴影部分的面积是 　 　平方厘米。 7．（5分）如图所示，任意四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，已知四边形ABCD的面积是78平方厘米，则阴影部分的面积是 　 　平方厘米。 8．（5分）如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，BF＝2CF，DG＝3CG，如果OF的长度是4厘米，那么EF的长度是 　 　厘米。 9．（5分）如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD＝DF＝FM＝MP＝PB，已知四边形BPQC的面积是60平方厘米，那么三角形AMN的面积是 　 　平方厘米。 10．（5分）如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，那么三角形AOE的面积是 　 　。单位：平方厘米 11．（5分）如图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形ADOG的面积是35平方厘米，那么三角形ABC的面积是 　 　平方厘米。 12．（5分）把2022写成几个连续自然数的和，有 　 　种方式。 13．（5分）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十四位恰好都是零，那么最后出现的自然数最大应该是 　 　。 14．（5分）一个完全平方数，末三位是相同的数字，这个完全平方数最小是 　 　。 15．（5分）各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有 　 　个。 16．（5分）一个五位数恰好等于它各位数字和的1143倍，则这个五位数是 　 　。 17．（5分）将两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17，19可得到一个四位数1719；由19，17也可得到一个四位数1917．已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数　 　． 18．（5分）已知自然数n满足：13!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 　 　。 19．（5分）记S＝（1×2×3×……×n）+（4k+3），这里n≥3。当k在1至60之间取正整数值时，有 　 　个不同的k，使得S是一个正整数的平方。 20．（5分）1×3×5×……×1991×1993×1995的末三位数是 　 　。 2023年第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷（五年级） 参考答案与试题解析 一、填空题.（把正确的答案填在括号内，每题5分，共100分） 1．（5分）计算：7.3×1.3﹣11÷1.3+2.7×1.3+14.9÷1.3＝ 【解答】解：7.3×1.3﹣11÷1.3+2.7×1.3+14.9÷1.3 ＝（7.3+2.7）×1.3+（14.9﹣11）÷1.3 ＝10×1.3+3.9÷1.3 ＝13+3 ＝16 2．（5分）计算：[2015﹣（8.5×8.5﹣6.5×6.5）÷2]÷16＝ 【解答】解：[2015﹣（8.5×8.5﹣6.5×6.5）÷2]÷16 ＝[2015﹣（8.5+6.5）×（8.5﹣6.5）÷2]÷16 ＝[2015﹣15×2÷2]÷16 ＝2000÷16 ＝125 3．（5分）计算：12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162＝ 【解答】解：12+22+42+52+72+82+102+112+132+142+162 ＝12+22+32+42+52+62+72+82+92+102+112+122+132+142+152+162﹣（32+62+92+122+152） ＝ ＝1496﹣495 ＝1001 4．（5分）计算：13+33+53+73+93+113+133+153+173＝ 【解答】解：13+33+53+73+93+113+133+153+173 ＝13+23+33+……+163+173﹣（23+43+……+163） ＝（1+2+3+……+17）2﹣8×（13+23+……+83） ＝ ＝ ＝23409﹣8×1296 ＝23409﹣10368 ＝13041 5．（5分）计算：＝ 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝14 6．（5分）正方形ABCD的边长是6厘米，E、F为BC和AD的中点，P、Q为正方形内两点，阴影部分的面积是 　18　平方厘米。 【解答】解：如下图所示，连接EF，因为E、F为BC和AD的中点，则EF把正方形ABCD分成2个大小一样的长方形，且DF＝AF＝BE＝CE＝×AD。 从Q点往△DFQ底边DF引垂线，即为△DFQ底边DF的高线，设为h1，同理作△CEQ底边CE的高线，设为h2，则h1+h2＝EF； 从P点往△AFP底边AF引垂线，即为△AFP底边AF的高线，设为h3，同理作△BEP底边BE的高线，设为h4，则h3+h4＝EF。 S阴影部分 ＝S△DFQ+S△CEQ+S△AFP+S△BEP ＝×DF×h1+×CE×h2+×AF×h3+×BE×h4 ＝××AD×h1+××AD×h2+××AD×h3+××AD×h4 ＝×AD×（h1+h2+h3+h4） ＝×AD×（EF+EF） ＝×AD×2×EF ＝×AD×EF ＝×AD×AD ＝S正方形ABCD ＝6×6 ＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 故答案为：18。 7．（5分）如图所示，任意四边形ABCD，E是AB中点，F是CD中点，已知四边形ABCD的面积是78平方厘米，则阴影部分的面积是 　39　平方厘米。 【解答】解：如下图所示，连接BD。 S阴影部分的面积 ＝S四边形BEDF ＝S△BDE+S△BDF ＝×S△ABD+×S△BCD ＝×（S△ABD+S△BCD） ＝×S四边形ABCD ＝×78 ＝39（平方厘米） 答：阴影部分的面积是39平方厘米。 故答案为：39。 8．（5分）如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，BF＝2CF，DG＝3CG，如果OF的长度是4厘米，那么EF的长度是 　25　厘米。 【解答】解：如下图所示：连接FG，GE，EB。 因为四边形ABCD是正方形，E为AD的中点，BF＝2CF，DG＝3CG，所以： AE＝DE＝AD＝AB BF＝BC＝AB CF＝BC＝AB DG＝CD＝AB CG＝CD＝AB 根据四边形风筝模型和梯形一半模型可知： ＝＝＝＝＝＝＝＝ 即EO＝FO，又OF＝4厘米 所以EO＝×4＝21（厘米） 所以EF＝EO+OF＝21+4＝25（厘米） 答：EF的长度是25厘米。 故答案为：25。 9．（5分）如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD＝DF＝FM＝MP＝PB，已知四边形BPQC的面积是60平方厘米，那么三角形AMN的面积是 　60　平方厘米。 【解答】解：如下图所示，作辅助线后三角形ABC被平均分成25个和三角形ADE一样大小的三角形。 S△ADE＝×S四边形BPQC＝×60＝（cm2） S△AMN＝（1+3+5）×S△ADE＝9×＝60（cm2） 答：三角形AMN的面积是60平方厘米。 故答案为：60。 10．（5分）如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，那么三角形AOE的面积是 　70　。单位：平方厘米 【解答】解：设S△BOF＝x平方厘米，S△AOE＝y平方厘米． 因为S△BDO：S△CDO＝S△BDA：S△CDA. 所以40：30＝（40+84+x）：（30+35+y）， 整理得：4y﹣3x＝112① 又因为S△CEO：S△AEO＝S△CEB：S△AEB 所以35：y＝（35+30+40）：（84+x+y） 整理得：70y﹣35x＝2940② 由②×2﹣①×35得35x＝1960 解得x＝56 将x＝56代入①得y＝70 答：那么三角形AOE的面积是70平方厘米。 故答案为：70。 11．（5分）如图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形ADOG的面积是35平方厘米，那么三角形ABC的面积是 　189　平方厘米。 【解答】解：连接FG，DG，如图所示：， 因为D、E、F、G均为各边的三等分点，所以，则FG∥AB， 所以，而，所以，则，所以S△DOG＝2•S△DOE， 假设S△DOE＝1份，则S△DOG＝2份，S△ADG＝S△DGE＝3份， 所以三角形ADG的面积为：35÷（2+3）×3＝21（平方厘米） 因为 所以 答：三角形ABC的面积是189平方厘米。 故答案为：189。 12．（5分）把2022写成几个连续自然数的和，有 　3　种方式。 【解答】解：设首项为a1，项数为n。 2022＝2×3×337 na1+n（n﹣1）÷2＝2022 n[2a1+（n﹣1）]＝4044＝2×2×3×337 n＝2，则a1＝1011.5，不是整数，舍去； n＝3，则a1＝673，即2022＝673+674+675，符合题意； n＝4，则a1＝504，即2022＝504+505+506+507，符合题意； n＝6，则a1＝334.5，不是整数，舍去； n＝12，则a1＝163，即2022＝163+164+165+……+174，符合题意； n＝337，则a1是负数，不符合题意； 所以把2022写成几个连续自然数的和，有3种方式。 答：有3种方式。 故答案为：3。 13．（5分）把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十四位恰好都是零，那么最后出现的自然数最大应该是 　64　。 【解答】解：[]＝10（个） []＝2（个） 10+2＝12（个） 14﹣12＝2（个） 即还差2个因数5，即50后面再有55、60即可满足再有2个因数5，下一个含有因数5的数是65，所以最后出现的自然数最大应该是64。 故答案为：64。 14．（5分）一个完全平方数，末三位是相同的数字，这个完全平方数最小是 　1444　。 【解答】解：因为30×30＝900，不符合题意； 33×33＝1089，不符合题意； 34×34＝1156，不符合题意； 35×35＝1225，不符合题意； 36×36＝1296，不符合题意； 37×37＝1369，不符合题意； 38×38＝1444，符合题意。 答：一个完全平方数，末三位是相同的数字，这个完全平方数最小是1444。 故答案为：1444。 15．（5分）各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有 　575　个。 【解答】解：设这个六位数为。 ＝×10000+×100+＝+++99（×101+） 那么能被99整除，++能被99整除。 由于各位数字均不大于5，所以、、都不大于55，它们的和不大于55×3＝165，因此只能是99； 所以++相加时个位没有进位， 所以a+c+e＝9且b+d+f＝9； 奇数位上，A作为六位数的首位，不能是0； 由于a、c、e都不大于5，而a+c+e＝9，因此： 当a＝1时，c和e可以是3和5、4和4、5和3，有3种方法； 当a＝2时，c和e可以是2和5、3和4、4和3、5和2，有4种方法； 当a＝3时，c和e可以是1和5、2和4、3和3、4和2、5和1，有5种方法； 当a＝4时，c和e可以是0和5、1和4、2和3、3和2、4和1、5和0，有，6种方法； 当a＝5时，c和e可以是0和4、1和3、2和2、3和1、4和0，有5种方法； 因此得到，奇数位上有3+4+5+6+5＝23（种）选法； 偶数位上，b、d、f可以从0、1、2、3、4、5中任意选择，但b+d+f＝9， 因此当b＝0时，d可以从4、5中选择，有2种方法； 与奇数位的分析类似，当b＝1、2、3、4、5时，D一共有23种选法； 所以，偶数位上有2+23＝25（种）选法； 由乘法原理得： 23×25＝575（个） 答：共有575个。 故答案为：575。 16．（5分）一个五位数恰好等于它各位数字和的1143倍，则这个五位数是 　20574　。 【解答】解：因为1143＝3×3×127＝9×127，所以这个五位数是9的倍数，五位数的数字和也是9的倍数。 1143×9＝10287，数字和是1+2+8+7＝17，不是9的倍数，不符合题意； 1143×18＝20574，数字和是2+5+7+4＝18，是9的倍数，符合题意。 答：这个五位数最小是20574。 故答案为：20574。 17．（5分）将两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数，比如由17，19可得到一个四位数1719；由19，17也可得到一个四位数1917．已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除，试写出所有这样的四位数　1353，5313，1947，4719，2343，4323.2937，3729　． 【解答】解：设、是符合题意的两个两位质数，按题意有（k为正整数）： 2＝（+）k， 200+2＝（+）k， 198＝b﹣（+） （k﹣2）． 因为是质数，且不能整除（+），所以（k﹣2）含有约数．198含有约数（+）．因为（+）是偶数，且在（11+13＝）24与（89+97＝）186之间，而198在24与186之间的偶数约数只有66，所以 +＝66 66＝13+53＝19+47＝23+43＝29+57 因此，所求数有8个，分别是：1353，5313，1947，4719，2343，4323.2937，3729． 故答案为：1353，5313，1947，4719，2343，4323.2937，3729． 18．（5分）已知自然数n满足：13!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 　3003　。 【解答】解：13!＝210×35×52×7×11×13 由于13!除以n得到一个完全平方数，那么这个完全平方数是13!的因数，该因数最大是210×34×52 所以n最小为13!÷（210×34×52）＝3×7×11×13＝3003。 或者：既然13!除以n得到一个完全平方数，13!的质因数分解式中3、7、11、13的幂次是奇数，所以，n的最小值是3×7×11×13＝3003。 答：已知自然数n满足：13!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是3003。 故答案为：3003。 19．（5分）记S＝（1×2×3×……×n）+（4k+3），这里n≥3。当k在1至60之间取正整数值时，有 　6　个不同的k，使得S是一个正整数的平方。 【解答】解：先证明一下完全平方数S2被4除余0，1。 ①若S为偶数，则S2＝4（）2，是整数，所以此时S2为4的倍数； ②若S为奇数，则设S＝2k+1，代入 S2＝（2k+1）2＝4k（k+1）+1，k为整数，所以S2被4除余1。 即完全平方数S2被4除的余数为0或1。 根据题意，若n≥4，则S＝4（P+K）+3被4除余数为3，与完全平方数S2被4除的余数为0或1的结论不符。所以n只能为3。 即S＝1×2×3+（4k+3）＝4k+9 又因为1≤k≤60 所以13≤4k+9≤249 又4k+9是奇数 所以S只能是52，72，92，112，132，152。 即S＝25，49，81，121，169，225 此时k的取值为4，10，18，28，40，54，共计有6个满足题意的k。 答：记S＝（1×2×3×……×n）+（4k+3），这里n≥3。当k在1至60之间取正整数值时，有6个不同的k，使得S是一个正整数的平方。 故答案为：6。 20．（5分）1×3×5×……×1991×1993×1995的末三位数是 　875　。 【解答】解：设n＝1×3×5×……×1991×1993×1995 易知n显然是125的倍数，设n＝5×25×1×3×7×……×21×23×27×29×……×1993×1995＝125m（m是正整数）。 由于1000＝8×125，所以只需要求出m除以8的余数，进而便可求得n除以1000的余数。 m＝（1×3×7）×（9×11×13×15）×（17×19×21×23）×（27×29×31）×……×（1985×1987×1989×1991）×（1993×1995） 上述这些乘积中，除第一、四和最后一个括号外，每个括号是四个数的乘积，这些积是（8k+1）（8k+3）（8k+5）（8k+7）≡1×3×5×7≡1（mod8）， 而1×3×7≡5（mod8） 27×29×31≡1（mod8） 1993×1995≡3（mod8） 所以m≡5×1×3＝7（mod8） n＝125m＝125（8k+7）≡875（mod1000） 即n的末三位数字是875。 答：1×3×5×……×1991×1993×1995的末三位数是875。 故答案为：875。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$