第09讲 等腰三角形与等边三角形（2大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

第09讲 等腰三角形与等边三角形（2大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 等边对等角 题型二 根据等边对等角证明 题型三 根据三线合一证明 题型四 格点图中画等腰三角形 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 根据等角对等边求边长 题型八 直线上与已和两点组成等腰三角形的点 题型九 作等腰三角形(尺规作园) 题型十 等腰三角形的性质和判定 题型十一 等腰三角形的定义 题型十二 等边三角形的判定和性质 题型十三 含30度角的直角三角形 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点六：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点二：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题一 等边对等角】 1．（23-24八年级上·河南许昌·期中）等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ）． A． B． C． D．或 2．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰三角形的顶角是，那么它的底角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是 度． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，则 ． 5．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，求的度数． 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【典型例题二 根据等边对等角证明】 1．（22-23八年级下·广东深圳·期末）等腰中，，用尺规作图作出线段BD，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．的周长 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点D为的中点，如果点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向A点运动，若使与全等，则点N的运动速度应为 厘米/秒． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点．若长方形的周长为，则的周长为 ．    5．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，D是内一点，且．求证：． 6．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，，连接交于点O，．求证：． 【典型例题三 根据三线合一证明】 1．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 2．（2024·河北唐山·二模）如图，将折叠，使点C边落在边上，展开得到折痕m，则m是的（    ）    A．中线 B．中位线 C．角平分线 D．高 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，为顶角平分线，则 ．    4．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，，若AD平分，则AD与BC的位置关系是 ． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）在中，，是中线，的周长为，的周长为，求的长． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上． (1)若，则_______________． (2)若，则_______________． (3)若，则 _______________． 【典型例题四 格点图中画等腰三角形】 1．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为轴对称图形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、是两格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则 ． 4．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    5．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)请在图中作出关于直线成轴对称的． (2)在线段上找一点（点在格点上），使得为等腰三角形． 6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②是的正方形网格，、两点均在格点上.在图①、图②中各画一个顶点在格点、以为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等. 图①图② 【典型例题五 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（22-23八年级下·宁夏中卫·开学考试）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，AD平分，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有 角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 4．（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个． 5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 6．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【典型例题六 根据等角对等边证明边相等】 1．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ． 5．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF//BC交AB、AC于点E、F，试说明 BE+CF=EF的理由. 6．（22-23七年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，四边形的对角线、相交于点，已知，．求证： (1)； (2)． 【典型例题七 根据等角对等边求边长】 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长等于（   ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2．（23-24八年级下·陕西·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，当跷跷板的另一头B在处着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度（    ） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 3．（22-23八年级上·山东德州·期中）如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长为 ． 4．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得，，那么从B处到灯塔C的距离是 海里．    5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，若，求的周长．    6．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，．    (1)求海岛与灯塔之间的距离； (2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？ 【典型例题八 直线上与已和两点组成等腰三角形的点】 1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在y轴上确定点B，使为等腰三角形，符合条件的点B共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索与的长度相等，需加条件 ，理由是 ． 4．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 5．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（4，0），试在x轴上找点P使△ABP为等腰三角形，求点P的坐标． 6．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【典型例题九 作等腰三角形(尺规作园)】 1．（22-23八年级上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 2．（2023·河北保定·一模）如图，给出线段，，作等腰，使，边上的高.嘉嘉的作法是：①作线段；②作线段的垂线；③以点为圆心，为半径作弧，与分别交于点，；④连接，，为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2023九年级·北京·专题练习）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 4．（22-23八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为 （任写一个）． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，求作等腰三角形，使底边AB的长为，底上高的长为（不写作法，保留作图痕迹）． 6．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 【典型例题十 等腰三角形的性质和判定】 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且，则点C关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 ． 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，，，点在线段的垂直平分线上且点，，三点共线，连接，若，，则线段的长度为 ． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，．请用尺规作图法在的延长线上找一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 6．（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，中，，点D是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点D作于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； (2)在（1）得到的图中，求证：． 【典型例题十一 等腰三角形的定义】 1．（22-23七年级下·重庆渝中·期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级下·河北保定·期中）等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（    ） （1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）等腰三角形的一边等于1，一边等于3，则它的周长等于 ． 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 6．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，求的周长． 【典型例题十二 等边三角形的判定和性质】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在中，，则的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ． 4．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 6．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【典型例题十三 含30度角的直角三角形】 1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）如图，在中，，，的平分线交于，于点，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离为40米，，则缆车从A点到B点的过程（的长）为（    ） A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，交于点于点．若，，则的长为 ． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元．    6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，是边长为的等边三角形，，点Q为射线边上一点，当的长为多少时，是直角三角形.                  【变式训练1 等边对等角】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形底角为，则此等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D． 2．（22-23八年级上·云南昭通·期中）等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）若等腰三角形的底角为55°，则这个等腰三角形的顶角是 °． 4．（22-23八年级上·云南昭通·期中）等腰三角形一个角的度数为，则顶角的度数为 ． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，求的度数．    【变式训练2 根据等边对等角证明】 1．（22-23八年级上·北京·期中）已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 2．（2020·河北石家庄·模拟预测）老师在投影屏上展示了如下一道试题： 已知：如图，平分，．求证：． 证明：∵平分，∴（①角平分线定义）， ∵，∴（②等角对等边）， ∴③， ∴（④内错角相等，两直线平行）． 则以上证明过程中，结论或者依据错误的是一项是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 3．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，点都在边上，，若，则的长为 ． 4．（22-23八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为 . 5．（2023·北京丰台·一模）如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程． 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，在中，，点D在上，且．    (1)求证：； (2)若，求∠C的度数． 【变式训练3 根据三线合一证明】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，是的平分线，若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，等腰中，，是的平分线，，则的长为 ．    4．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，中，，，，、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 5．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图，中，，是边上的高，的周长为，，求的长． 6．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，点在延长线上，且是的中线，平分，交于点．    求证： (1)； (2)． 【变式训练4 格点图中画等腰三角形】 1．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），D在第一象限，且DO=DB，△DOA为等腰三角形，则∠OBD的度数为 ． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个． 5．（23-24八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在三幅图中的线段上画出格点P，使点P满足以下要求： (1)在图①中，连结，使最小； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结、，使为直角三角形． 【变式训练5 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝55°，∠B＝70° D．∠A：∠B＝1：2 2．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=4：5：6 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C =1：1：2 3．（22-23八年级上·浙江台州·期中） 如图，已知∠AOD＝28°，点C是射线OD上的一个动点，在点C的运动过程中，恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为 ． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）等有三角形的判定：如果一个三角形有 ，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 几何书写： ∵ ∴ AB＝AC （等角对等边）． 5．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形． 6．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，点是的平分线和的外角平分线的交点，，则线段、、之间有何数量关系，并证明. 【变式训练6 根据等角对等边证明边相等】 1．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（       ） A．12 B．9 C．5 D．2 2．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）如图所示，在中，，分别是和的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则的周长是 ． 4．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ． 5．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 6．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． (1)求证AD=ED； (2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．    【变式训练7 根据等角对等边求边长】 1．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 2．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）在中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交 于，交 于，若，则的周长为 ． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为 cm． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，在和中，为斜边，，、相交于点． （1）请说明的理由； （2）若，，求的长． 6．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【变式训练8 直线上与已和两点组成等腰三角形的点】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23八年级上·北京房山·期末）如图，，点P为直线上的一个动点，若使得是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23八年级上·全国·期中）直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 个． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，B是直线l上的一点，线段与l的夹角为，点C在l上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有 个． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键． 5．（22-23七年级下·上海奉贤·期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 6．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）． 【变式训练9 作等腰三角形(尺规作园)】 1．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE= ． 4．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 5．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    6．（22-23八年级上·湖北恩施·期中）（1）已知．请过点A作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式训练10 等腰三角形的性质和判定】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知的面积为24，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 3．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知等腰的周长是，，则 ． 4．（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，，于点，若，且的周长为，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．） 请从以下两个问题中任选一题作答． A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由． B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由． 6．（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交于点M，N． (1)证明：是等腰三角形； (2)与相等吗？对你的结论说明理由． 【变式训练11 等腰三角形的定义】 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知等腰三角形的底边和腰的长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是 ． 4．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，的三边长为4，7，x． (1)求x的取值范围； (2)当为等腰三角形时，求x的值． 6．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，为的中线，，的周长为24，求的周长． 【变式训练12 等边三角形的判定和性质】 1．（2024八年级·全国·竞赛）点M是正六边形内任一点，正六边形面积为18，若，则（    ）． A．6 B．3 C．18 D．9 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧交两边于点A、B，再以点A为圆心，长为半径画弧，交弧于点C，作射线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·湖南常德·期中）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形.    5．（23-24八年级上·福建南平·阶段练习）如图，点E在上，和都是等边三角形．求证： (1) (2)猜想：三条线段之间的关系是________，并说明理由． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，在中，，E是上一点，垂足为D，交于点F．若，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练13 含30度角的直角三角形】 1．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，点在直线上，过点作直线，垂足为点，若，则线段的长为 ． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ． 5．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 6．（2023·重庆渝北·一模）在学习了特殊角的三角函数后，同学们熟练掌握了，，的三角函数值，老师又提出一个问题：中，，如何用所学知识求的正切值？聪明的小周很快有了思路：利用作垂直平分线构造等腰三角形，得到角与特殊角角的关系，从而解决问题，请根据她的思路完成下面的作图与填空如图． 解：用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 垂直平分 ① 中 ② 中 ③ ④ 1．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·二模）如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的等腰三角形的个数最多为(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A为圆心，以长为半径画弧，与前弧交于点C，作射线，则度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南昭通·一模）如图所示，在中，，，是斜边上的高，，那么等于（   ） A．5 B．6 C．8 D．12 6．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，的周长为150，则 ． 7．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 8．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，已知，在边上顺次取点，，，在边上顺次取点，使得，得到等腰，若得到的最后一个等腰三角形就是，则的度数的取值范围是 ． 9．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，在等边中，于D，点P、Q分别为、上的两个定点，且，，在上有一动点E使最短，则的最小值为 ．    10．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，,，则的长为 ． 11．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，DC是AB的垂直平分线，交AB于点C，∠A=40°，求∠B的度数． 12．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． (1)在图1中，画以为腰的三角形； (2)在图2中，画以为底的三角形． 13．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，，求证：直线垂直平分线． 14．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下面为的网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画图．要求：所画图形的顶点均在网格的格点上． （1）在图1中画一个面积为6的锐角三角形； （2）在图2中画一个面积为5，且有一个内角为45°的三角形． 15．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在等腰中，，腰的垂直平分线交底于点，垂足为点．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 等腰三角形与等边三角形（2大知识点+13大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 等边对等角 题型二 根据等边对等角证明 题型三 根据三线合一证明 题型四 格点图中画等腰三角形 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 根据等角对等边求边长 题型八 直线上与已和两点组成等腰三角形的点 题型九 作等腰三角形(尺规作园) 题型十 等腰三角形的性质和判定 题型十一 等腰三角形的定义 题型十二 等边三角形的判定和性质 题型十三 含30度角的直角三角形 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点六：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点二：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题一 等边对等角】 1．（23-24八年级上·河南许昌·期中）等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴等腰三角形的顶角为． 故选：A 2．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）等腰三角形的顶角是，那么它的底角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等腰三角形的两底角相等． 【详解】解：∵等腰三角形的两底角相等 ∴底角为： 故选：C 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟记相关结论即可． 3．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知等腰三角形一底角为，则这个等腰三角形顶角的大小是 度． 【答案】120 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为，可以求出其底角或顶角的度数． 【详解】解：等腰三角形顶角的大小是， 故答案为：120． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据可得，再根据等腰三角形的性质即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，求的度数． 【答案】25° 【分析】先根据得到，，再由是的外角求得与的关系，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角以及三角形的外角性质将已知角和所求角进行转换是解题关键． 6．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】利用等边对等角及三角形内角和得到，故作即可得． 【详解】如图点D为所求． 【点睛】本题考查等边对等角，尺规作垂直平分线，需要在一定构图特殊性下的尺规作图，需要分析题中条件，得到长度角度关系，再考虑基础尺规作图的方法进行构造即可． 【典型例题二 根据等边对等角证明】 1．（22-23八年级下·广东深圳·期末）等腰中，，用尺规作图作出线段BD，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．的周长 【答案】C 【分析】根据作图痕迹发现BD平分∠ABC，然后根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， 由作图痕迹发现BD平分∠ABC， ∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°， ∴AD=BD，故A、B正确； ∵AD≠CD， ∴S△ABD=S△BCD错误，故C错误； △BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=BC+AB， 故D正确． 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，能够发现BD是角平分线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， 而不一定成立， 故选：B． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点D为的中点，如果点M在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段上由C点向A点运动，若使与全等，则点N的运动速度应为 厘米/秒． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，分当，时，，当时，，两种情况求出的值，再求出运动时间，即可求出点N的运动速度． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ①当，时，， ∴， ∴， ∴点N运动的速度为厘米/秒． ②当时，， ∴， ∴， ∴点N运动的速度为厘米/秒． 综上所述，点N的速度为2或3厘米/秒． 故答案为：2或3． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点．若长方形的周长为，则的周长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据等边等角可得，进而可得的周长为即可求解． 【详解】解：把一张长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点， ， 四边形为长方形， ， ， ， ， 长方形的周长为， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，D是内一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， 即． 6．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，，连接交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角求得，再利用等角的余角相等即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【典型例题三 根据三线合一证明】 1．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 故选：A． 2．（2024·河北唐山·二模）如图，将折叠，使点C边落在边上，展开得到折痕m，则m是的（    ）    A．中线 B．中位线 C．角平分线 D．高 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三线合一．根据折叠后使点边落在边上，，，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，    折叠后使点边落在边上点处， ，，三点共线，，， ， 即是的高线， 故选：D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，为顶角平分线，则 ．    【答案】 【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得答案． 【详解】解：∵，为顶角平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，，若AD平分，则AD与BC的位置关系是 ． 【答案】 【分析】根据，AD平分，等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC即可． 【详解】解：∵，AD平分， ∴AD⊥BC， ∴AD与BC的位置关系是AD⊥BC． 故答案为AD⊥BC． 【点睛】本题主要考查等腰三角形顶角平分线底边中线，底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）在中，，是中线，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】首先根据是中线得到，，然后利用的周长和的周长关系求解即可． 【详解】解：∵，是中线，且， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上． (1)若，则_______________． (2)若，则_______________． (3)若，则 _______________． 【答案】(1)垂直，且平分 (2)平分，且平分 (3)垂直，且平分 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解； （2）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解； （3）根据等腰三角形的“三线合一”的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴垂直，且平分； 故答案为：垂直，且平分； （2）解：∵，， ∴平分，且平分； 故答案为：平分，且平分； （3）解：∵，， ∴垂直，且平分． 故答案为：垂直，且平分 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质是解题的关键． 【典型例题四 格点图中画等腰三角形】 1．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为轴对称图形，则点C的个数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰． 【详解】 解：如图：分情况讨论 ①为等腰底边时，符合条件的C点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个， 故点C的个数是8个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、是两格点，如果点也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据以为等腰三角形的底边和腰进行分类求解即可 【详解】解：如图：分情况讨论， 为等腰直角底边时，符合条件的点有个； 为等腰直角其中的一条腰时，符合条件的点有个． 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】45° 【解析】略 4．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    【答案】4 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示， 分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置； 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键． 5．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)请在图中作出关于直线成轴对称的． (2)在线段上找一点（点在格点上），使得为等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）分别找到关于直线的对称点，然后顺次连接对称点即可； （2）与关于直线成轴对称，且，故的中点即为所求． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：如图， 【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点． 6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②是的正方形网格，、两点均在格点上.在图①、图②中各画一个顶点在格点、以为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等. 图①图② 【答案】见解析 【分析】分两种情况，以AB为腰，或以AB为底边，分别以点B、点A为等腰三角形顶角顶点作三角形即可． 【详解】如图，△ABC即为所求作三角形， 说明：由于后两个图中三角形全等，故不能同时画最后两个图. 【点睛】本题考查作图-应用设计作图，, 全等三角形的判定, 等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【典型例题五 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（22-23八年级下·宁夏中卫·开学考试）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． ， D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、， ， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、， ，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、 ，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，AD平分，，，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的中线， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质．熟记等角对等边判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有 角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【答案】两个 【分析】根据等角对等边，证明三角形是等腰三角形，进行作答即可． 【详解】解：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形． 故答案为：两个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．熟练掌握等角对等边，证明三角形是等腰三角形是解题的关键． 4．（22-23八年级上·吉林白城·期中）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有 个． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解． 【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A， ∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形， ∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C， ∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形， ∵∠C＝∠ABC＝72°， ∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形， 故图中共3个等腰三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键． 5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 【答案】见解析 【分析】根据∠1＝∠2，得出DB＝DC，再根据“斜边、直角边”证明Rt△ABD≌Rt△ACD即可． 【详解】证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC ∴∠ABD＝∠ACD＝90°． ∵∠1＝∠2， ∴DB＝DC， ∵AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD． ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的判定与全等三角形的判定进行推理证明． 6．（22-23八年级上·湖北黄石·期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分 ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB， ； ②， 平分 （2） 理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE， ，∠DBC=∠ABC， 又 又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC， ∴． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 【典型例题六 根据等角对等边证明边相等】 1．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等角对等边，即可得出结论． 【详解】解：在中，，则：； 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握同一个三角形中，等角对等边． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ． 【答案】（或） 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形， ∴可添加（或）． 故答案为：（或） 4．（23-24七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质． 【详解】解：， ， 垂直平分， ， ， 又， ． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF//BC交AB、AC于点E、F，试说明 BE+CF=EF的理由. 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的定义可得：∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，然后根据平行线的性质可得：∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，从而证出∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，再根据等角对等边证出：EB=ED，FD=FC，从而证出：BE+CF=EF. 【详解】解：∵BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD ∵EF//BC ∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD ∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC ∴EB=ED，FD=FC ∴BE+CF=DE+DF=EF 【点睛】此题考查的是角平分线的定义、平行线的性质和等腰三角形的性质，掌握角平分线、平行线和等腰三角形三者的关系是解决此题的关键. 6．（22-23七年级上·山东东营·阶段练习）如图所示，四边形的对角线、相交于点，已知，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明； （2）根据（1）中结论可得，再由等角对等边得出，运用等式的性质进行计算即可证明． 【详解】（1）解：在与中， ， ∴； （2）由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【典型例题七 根据等角对等边求边长】 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长等于（   ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】本题考查了等角对等边、垂直平分线的性质；熟练掌握垂直平分线的点到两边的距离相等是解题的关键．根据等角对等边可得；根据垂直平分线的性质上可得；可得；即可代入求出的周长． 【详解】解：∵， ∴； ∵的垂直平分线交于点， ∴； 则； ∴的周长为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西·期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点C），跷跷板的一头A着地时，当跷跷板的另一头B在处着地时，点A、C、在同一水平线上，，若，则的长度（    ） A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m 【答案】B 【分析】此题考查了等角对等边性质，首先根据等角对等边得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 3．（22-23八年级上·山东德州·期中）如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长为 ． 【答案】10cm 【分析】由角平分线和平行线的性质，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到OM=BM，同理ON=CN，从而求得结果． 【详解】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠CBO， 又OM∥AB， ∴∠ABO=∠MOB， ∴∠MBO=∠MOB， ∴OM=BM， 同理ON=CN， ∵BC=10cm， 则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm． 故答案为10cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·甘肃酒泉·期中）如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得，，那么从B处到灯塔C的距离是 海里．    【答案】40 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先求出海里，再利用三角形外角的性质证明，则海里． 【详解】解：由题意得，海里， ∵，， ∴， ∴， ∴海里， ∴从B处到灯塔C的距离是40海里， 故答案为：40． 5．（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，若，求的周长．    【答案】 【分析】根据可得，进而求出周长． 【详解】解：， ． 又， 的周长． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定，掌握等腰三角形判定：等角对等边是解题关键． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，上午8时，一条船从海港出发，以15海里/小时的速度向正北航行，11时到达海岛处，从海港，海岛处望灯塔，分别测得，．    (1)求海岛与灯塔之间的距离； (2)若该船每海里耗油0.5升，油箱容量为40升，求该船当天装满油箱从海港A出发到海岛B，再从海岛B去到灯塔C的过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)从海岛到灯塔的距离为45海里 (2)该船当天航行过程中至少还需补充5升油 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质是解决本题的关键． （1）先根据三角形的外角得到，然后根据等角对等边解题即可； （2）先计算出行驶的路程，然后乘以每海里耗油量解题即可． 【详解】（1）由题意得：（海里）， ， ， ， （海里）， 从海岛到灯塔的距离为45海里．    （2）这一天走的总路程：（海里）， 应耗油：（升）， （升）， 答：该船当天航行过程中至少还需补充5升油． 【典型例题八 直线上与已和两点组成等腰三角形的点】 1．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，在y轴上确定点B，使为等腰三角形，符合条件的点B共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论，并分别作图即可求解，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】如图， ①当时，以点A为圆心，以长为半径画圆，与y轴交于点； ②当时，以点O为圆心，以长为半径画圆，与y轴交于点； ③当时，作线段的垂直平分线，与y轴交于点； 综上，共有4个， 故选：A． 3．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要使钢索与的长度相等，需加条件 ，理由是 ． 【答案】 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．添加可得是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得． 【详解】解：添加， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 故答案为：，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 4．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 5．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（4，0），试在x轴上找点P使△ABP为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为：（9，0），（﹣1，0），（﹣4，0），（，0） 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵点A（0，3），B（4，0）， ∴AO＝3，BO＝4， ∴AB＝＝5， △ABP是等腰三角形，点P在x轴上，则有三种情况， ①若BA＝BP＝5， ∴点P的坐标为（9，0），（﹣1，0）， ②若AB＝AP＝5，且AO⊥BO， 可得OP＝OB＝4， ∴点P的坐标为（﹣4，0） ③若PA＝PB， ∵PA2＝AO2+OP2， ∴PB2＝9+（4﹣PB）2， ∴PB＝， ∴PO＝， 点P的坐标为（，0）； 综上所述：点P的坐标为：（9，0），（﹣1，0），（﹣4，0）；（，0）； 【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键根据分情况讨论. 6．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】（1）4；（2）2;想一想： 4；算一算：70°或40°或100°． 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点，即可得到结论； 想一想：分四种情况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD＝CD，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 算一算：如图3，当AD=CD，分三种情况：①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；如图4，当AC=AE，CE=BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点； 故这样的等腰三角形能画2个， 故答案为：2； 想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CG，④当AD＝CD时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， ∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 当AC=CE，CE=BE时， ∵∠A=20°， ∴∠AEC=∠A=20°， ∴∠B=10°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与作图；特别注意利用分类讨论的方法，避免漏解． 【典型例题九 作等腰三角形(尺规作园)】 1．（22-23八年级上·河南周口·期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是 A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B．作已知角的平分线 C．过直线外一点作已知直线的垂线 D．作一个角等于已知角 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断． 【详解】当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段， 然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线， 因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点， 最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题主要考查尺规作图作一个等腰三角形的原理，理解基本性质是解题关键． 2．（2023·河北保定·一模）如图，给出线段，，作等腰，使，边上的高.嘉嘉的作法是：①作线段；②作线段的垂线；③以点为圆心，为半径作弧，与分别交于点，；④连接，，为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】利用基本作图（过已知直线上一点作直线的垂线）可判断②错误． 【详解】有错误的一步是②，应该为过D点作MN⊥AD． 故选B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（2023九年级·北京·专题练习）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知．判断是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在、上分别取点，，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点．若，则．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据： ． 【答案】等腰三角形的三线合一 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】由作图可知， 是等腰三角形 是等腰斜边上的中线 （等腰三角形的三线合一） ，即 故答案为：等腰三角形的三线合一． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟记等腰三角形的三线合一是解题关键． 4．（22-23八年级上·福建宁德·期中）已知A（2，0），B（0，2），在x轴上确定点M，使三角形MAB是等腰三角形，则M点的坐标为 （任写一个）． 【答案】，（任写一个） 【分析】画AB的垂直平分线交x轴于一点，再以点A为圆心，AB为半径画弧交x轴于两点，最后以点B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于一点，分别写出点坐标即可． 【详解】如图所示， 是以A为圆心，AB为半径交x轴于两点， 故所有满足条件点M的坐标是：，（任写一个）． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、坐标与图形性质、分类讨论、数形结合等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，求作等腰三角形，使底边AB的长为，底上高的长为（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】图见解析 【分析】本题考查复杂作图—作等腰三角形，作射线，截取，作的中垂线，交于点，在中垂线上截取，连接，即为所求．掌握中垂线的作图方法，是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求； 6．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①在上截取， 即为含角的直角三角形，②延长，并在上截取， 即为含45°角的直角三角形． 【详解】解：①为含角的直角三角形， ①为含角的直角三角形． 【典型例题十 等腰三角形的性质和判定】 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，，且，则点C关于y轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，关于y轴对称的点的坐标的性质，关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数；根据等腰三角形的性质和判定，关于y轴对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】，， 为等腰直角三角形， 如图，过点作于点， 则， 点的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 故选：A． 2．（2024·浙江嘉兴·三模）在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查作图，作等腰三角形和垂直平分线，根据作图可知，结合垂直即可知射线垂直平分线段，其余选项均无法确定． 【详解】解：∵以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结， ∴， 由作图知，点E在线段的垂直平分线上，则射线垂直平分线段， 故D正确； ∵无法确定和的关系， ∴A和D无法确定； 只能确定和的关系，无法确定和的关系，则C无法确定； 故选D． 3．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：，， ， ， 平分的外角， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期中）如图，，，点在线段的垂直平分线上且点，，三点共线，连接，若，，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 故答案为：5． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，．请用尺规作图法在的延长线上找一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查基本作图，等腰直角三角形的判定与性质，过点A作的垂线，判断是等腰直角三角形即可得． 【详解】解：如图，点D即为所求： 6．（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，中，，点D是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点D作于点E，交于点F（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； (2)在（1）得到的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作垂线，等腰三角形的判定及性质． （1）根据尺规作图——作垂线的方法作图即可； （2）由可得，，，又由得到，从而，因此得证． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典型例题十一 等腰三角形的定义】 1．（22-23七年级下·重庆渝中·期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义分两种情况讨论，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：当边长为的边为腰时，则等腰三角形的三边分别为，，， ∵， ∴此时不能组成三角形，不符合题意； 当边长为的边为底时，则等腰三角形的三边分别为，，， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北保定·期中）等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是，则该等腰三角形顶角是（    ） （1）甲的结果是；（2）乙的结果是；（3）丙的结果是． A．甲、乙的结果合起来才对 B．乙、丙的结果合起来才对 C．甲、乙、丙的结果合起来才对 D．甲、乙、丙的结果合起来也不对 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题时考虑问题要全面，必要时可做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键．分情况先画出图形，再解答即可． 【详解】解：当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为时， 当等腰三角形为锐角三角形时如图1， 于点，∠， ∴； 当为钝角三角形时如图2， 于点，， ∴， ∴． 当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为时，如图3 于点，， ∴， ∴甲、乙、丙的结果合起来才对； 故选：C． 3．（23-24七年级下·江西九江·期末）等腰三角形的一边等于1，一边等于3，则它的周长等于 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和构成三角形的条件，根据等腰三角形的定义及构成三角形的条件即可求解． 【详解】解：当腰长为1时，，不能构成等腰三角形 当腰长3时，，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：， 故答案为：7． 4．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】8或5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：当腰为5时，另一腰也为5，则底为， ∵，符合题意， 当底为5时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为8或5． 故答案为：8或5． 5．（2024七年级下·全国·专题练习）已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【答案】(1)，， (2)，． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用. （1）设底边，则，根据三角形的周长是，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出答案． （2）设，，根据中线将的周长分为两部分，得出两部分的长度，然后列出关于a，b的二元一次方程并求解，然后分2种情况讨论，并根据三角形的三边关系得出正确的答案． 【详解】（1）解：如下图： 设底边，则， ∵三角形的周长是， ∴， ∴，， 答：等腰三角形的三边长是，，． （2）如下图： 设，， ∵中线将的周长分为两部分，，， ∴，或，， 解得：，或，， 当，时， ∴三角形三边长是，，， 因为，不符合三角形三边关系定理， ∴此种情况舍去， 当，，时， 三角形的三边长是，，， 符合三角形的三边关系定理， 综合上述：符合条件的三角形三边长是，，， 答：等腰三角形的边长是，．． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，求的周长． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，利用性质将线段进行等量代换是解题的关键．由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，所以的周长，根据根据题目条件求出即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 是的垂直平分线， ， 的周长． 【典型例题十二 等边三角形的判定和性质】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在中，，则的周长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意可知是等边三角形，进而求出周长即可． 【详解】解：， ∴是等边三角形， ， ∴的周长． 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，可得出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在中，，要使是等边三角形需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定条件是解题关键．由等边三角形的定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．据此即可获得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， 要使是等边三角形，只需添加、的夹角即可． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 6．（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答． （1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可． （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴，． ∴是等边三角形． （2）∵为等边三角形， ∴． ∵平分， ∴．                                 ∵是等边三角形， ∴． ∴． 【典型例题十三 含30度角的直角三角形】 1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）如图，在中，，，的平分线交于，于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”、含30度角的直角三角形的性质，根据角平分线的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合，求出的长即可，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的平分线交于，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离为40米，，则缆车从A点到B点的过程（的长）为（    ） A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米 【答案】A 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，， ∴（米）， 故选：A． 3．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是等边三角形，是延长线上一点，于点，交于点于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，利用“一锐角为的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得． 【详解】解： 与相交于，如图， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， ，， 在中，， 即，解得， ． 故答案为． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，以及含直角三角形的性质，由等腰三角形的性质可得出，由垂直平分线的性质可得出，由等边对等角得出，进一步求出，由含直角三角形的性质可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 故答案为：4． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元．    【答案】元 【分析】如图，过点作交的延长线于点，则，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则，    ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵这种草皮每平方米售价是元， ∴购买这种草皮需要元． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握构造辅助线，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，是边长为的等边三角形，，点Q为射线边上一点，当的长为多少时，是直角三角形.                  【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． 【详解】解：当时，如图1所示： ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴； 当时，如图2所示： 则， ∴， ∴； 综上所述，当或时，是直角三角形 【变式训练1 等边对等角】 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）等腰三角形底角为，则此等腰三角形的顶角度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形的两底角相等”，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形底角为， ∴此等腰三角形的顶角度数为． 故选：B 2．（22-23八年级上·云南昭通·期中）等腰三角形有一个内角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可分为顶角和底角进行求解． 【详解】解：分情况讨论，当等腰三角形的一个内角为顶角时，其顶角为； 当为底角时，则其顶角为； 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）若等腰三角形的底角为55°，则这个等腰三角形的顶角是 °． 【答案】70 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵等腰三角形的底角为55°， ∴等腰三角形的顶角为， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 4．（22-23八年级上·云南昭通·期中）等腰三角形一个角的度数为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据题意当底角为或顶角为时两种情况讨论，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形一个角的度数为， ∴①当底角为时， 顶角的度数为； ②当顶角为． 综上所述，顶角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的内角性质和三角形内角和定理，解题的关键是根据题意分底角为或顶角为两种情况讨论． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角． 【答案】其余各角为70°，70°或40°，100°． 【分析】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案． 【详解】解：（1）当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知： 两个底角的度数之和， 又由等腰三角形的性质可知：两底角相等， 故每个底角的度数； （2）当40°的角为底角时，另一个底角也为40°， 则顶角的度数， ∴其余各角为70°，70°或40°，100°． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质：等边对等角得出，再根据三角形的内角和定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， 答：的度数为． 【变式训练2 根据等边对等角证明】 1．（22-23八年级上·北京·期中）已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　）    A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 2．（2020·河北石家庄·模拟预测）老师在投影屏上展示了如下一道试题： 已知：如图，平分，．求证：． 证明：∵平分，∴（①角平分线定义）， ∵，∴（②等角对等边）， ∴③， ∴（④内错角相等，两直线平行）． 则以上证明过程中，结论或者依据错误的是一项是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据题目条件可直接判断② 错误，应该是“等边对等角”． 【详解】解：证明：∵平分，∴（①角平分线定义）， ∵，∴（②等边对等角）， ∴③， ∴（④内错角相等，两直线平行）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，理解掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，点都在边上，，若，则的长为 ． 【答案】7 【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得△BAD≌△CAE后即可求得CE的长. 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BAD和△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE=7. 故答案为：7. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等. 4．（22-23八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为 . 【答案】9 【分析】要求CE的长度，只需要求出AE的长度即可.通过，可知，通过等量代换可知，从而得出，则CE的长度可求. 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，能够通过等量代换找到是解题的关键. 5．（2023·北京丰台·一模）如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程． 【答案】当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE，证明见解析 【分析】若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，根据角之间的关系可求得∠1 =x+∠C=∠2，即AD=AE，所以当∠BAD=2∠CDE，AD=AE 【详解】当∠BAD=2∠CDE时，AD=AE， 证明：若∠BAD=2∠CDE，设∠CDE=x，则∠BAD=2x，   ∵AB=AC， ∴∠B=∠C       ∵∠2=∠CDE+∠C，∠ADC=∠BAD+∠B ∴∠2= x+∠C，∠1+ x=2 x+∠B=2x+∠C ∴∠1 =x+∠C=∠2    ∴ AD=AE 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）已知：如图，在中，，点D在上，且．    (1)求证：； (2)若，求∠C的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理， （1）根据等腰三角形的性质由得，由得，由三角形的内角和定理即可求解； （2）设，则，，由三角形的内角和定理可列出方程，解出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   ∴， ， ∴，   ， ∴； （2）解：设， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练3 根据三线合一证明】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）如图，在中，，是的平分线，若，则等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：为边上的中线，从而求解． 【详解】解：是的平分线，， 为边上的中线， ． 故选C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 2．（22-23八年级上·吉林白城·阶段练习）如图．在中，．若是的角平分线，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质解题． 【详解】∵，是的角平分线， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，熟记性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，等腰中，，是的平分线，，则的长为 ．    【答案】3 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可解答． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合． 4．（22-23八年级上·山东滨州·期末）如图，中，，，，、分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作BE⊥AC垂足为E，交AD于F，此时CF+EF最小，利用面积法即可求得答案． 【详解】作BE⊥AC垂足为E，交AD于F， ∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC， ∴FB=FC， ∴CF+EF=BF+EF， ∵线段BE是垂线段，根据垂线段最短， ∴点E、点F就是所找的点； ∵， ∴， ∴CF+EF的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、垂线段最短等知识，掌握应用面积法求高是解决这个问题的关键． 5．（23-24八年级上·湖南益阳·期中）如图，中，，是边上的高，的周长为，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查的是等腰三角形的三线合一：等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线重合，解决此题的关键是利用三线合一和周长求腰长． 根据三线合一可得，根据的周长求解即可． 【详解】∵，是边上的高，， ∴， ∵的周长为， ∴ ， ∴， 解得． 6．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，点在延长线上，且是的中线，平分，交于点．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由三线合一，得到平分，结合平分，和平角的定义，即可得证； （2）由三线合一，得到，结合（1）中的结论即可得证． 【详解】（1）证明：是的中线， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； （2）∵是的中线， ∴， 由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，是解题的关键． 【变式训练4 格点图中画等腰三角形】 1．（22-23八年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】分别寻找以为腰，以为底的等腰即可得到答案． 【详解】解；如图所示，一共有8个点C符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的判定是解题的关键． 2．（22-23七年级下·山东淄博·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图——与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），D在第一象限，且DO=DB，△DOA为等腰三角形，则∠OBD的度数为 ． 【答案】45°，60°，75°，15° 【分析】根据△DOA为等腰三角形，分三种情况：①OD=AD；②OD=OA③OA=OD分别求得各边的长度，再利用三角函数即可得出答案． 【详解】如图， ∵D在第一象限，且DO=DB，△DOA为等腰三角形， ∴点D分四种情况：①OD1=AD1；②OD2=OA；③OA=OD3；④AD4=OA ∴∠OBD1=45°， ∠OBD2=60°， ∠OBD3=15°+60°=75°， ∠OBD4=15° 故答案为45°，60°，75°，15° 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和坐标与图形性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和坐标与图形性质. 4．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有 个． 【答案】9 【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边． 【详解】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个； ②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个． 所以符合条件的点C共有9个． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想． 5．（23-24八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，找到的矩形的对角线即可完成作图． 【详解】解：如图所示：即为所求锐角三角形；即为所求直角三角形；即为所求钝角三角形    6．（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，分别在三幅图中的线段上画出格点P，使点P满足以下要求： (1)在图①中，连结，使最小； (2)在图②中，连结、，使； (3)在图③中，连结、，使为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线段最短，在线段上取格点P，使即可； （2）作线段的垂直平分线，与的交点即为点P； （3）在线段上取格点P，使即可． 【详解】（1）解：如图①，在线段上取格点P， 则点P即为所求； （2）解：如图②，作线段的垂直平分线， 则点P即为所求； （3）解：如图③，在线段上取格点P， 则点P即为所求． 【变式训练5 根据等角对等边证明等腰三角形】 1．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝55°，∠B＝70° D．∠A：∠B＝1：2 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和进行判断即可． 【详解】解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误； B、∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A+∠B＝∠C， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形，选项错误； C、∵∠A＝55°，∠B＝70°， ∴∠C＝55°， ∴∠A＝∠C ∴△ABC为等腰三角形，选项正确； D、∵∠A：∠B＝1：2， ∴∠A，∠B的度数不能确定，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定定理及三角形内角和定理，理解掌握定理是关键． 2．（22-23八年级上·福建厦门·阶段练习）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=4：5：6 C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C =1：1：2 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵a=3，b=3，c=4， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； B、∵a：b：c=4：5：6 ∴a≠b≠c， ∴△ABC不是等腰三角形； C、∵∠B=50°，∠C=80°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=50°， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形； D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2， ∵∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键． 3．（22-23八年级上·浙江台州·期中） 如图，已知∠AOD＝28°，点C是射线OD上的一个动点，在点C的运动过程中，恰好是等腰三角形，则此时∠A所有可能的度数为 ． 【答案】或或 【分析】由等腰三角形的性质，分三种情况讨论，当时，当时，当时，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：当时，是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 此时：， 当时，是等腰三角形， 综上：当是等腰三角形，为或或 故答案为：为或或 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质及分类讨论的思想是解题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）等有三角形的判定：如果一个三角形有 ，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 几何书写： ∵ ∴ AB＝AC （等角对等边）． 【答案】 两个角相等 ∠B=∠C 【解析】略 5．（22-23八年级上·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形． 【答案】见解析． 【分析】利用角平分线的性质及平行线的性质可得∠E＝∠ACE，根据等角对等边可得结论. 【详解】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EC∥AD， ∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE， ∴∠E＝∠ACE， ∴△ACE是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，即有两个角相等的三角形是等腰三角形，还涉及了两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，灵活利用角平分线的性质及平行线的性质证明角相等是解题的关键. 6．（22-23八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，点是的平分线和的外角平分线的交点，，则线段、、之间有何数量关系，并证明. 【答案】DE+EC=BD，证明见解析． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，求出△BDF与△ECF是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论． 【详解】解：DE+EC=BD． 证明：∵BF分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC． ∵， ∴∠DFB=∠FBC． ∴∠ABF=∠DFB， ∴BD=DF． ∵CF平分∠ACG， ∴∠ACF=∠FCG． ∵DF∥BC， ∴∠DFC=∠FCG． ∴∠ACF=∠DFC， ∴CE=EF． ∴EF+DE=DF，即DE+EC=BD． 【点睛】本题考查等腰三角形判定及平行线的性质与角平分线的性质，利用等腰三角形的判定得出相等的边，进而得出结论是解题的关键． 【变式训练6 根据等角对等边证明边相等】 1．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）在△ABC中，∠B=∠C，AB=5．则AC=（       ） A．12 B．9 C．5 D．2 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理，等角对等边即可求解． 【详解】解：∵∠B=∠C， ∴AC=AB=5． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定定理：在同一个三角形中，等角对等边，理解定理是关键． 2．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定三角形为等腰三角形是解本题的关键． 3．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）如图所示，在中，，分别是和的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】根据分别是和的平分线，可得∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠BCP，再由PD∥AB，PE∥AC，可得∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，从而得到∠CBP=∠BPD，∠BCP=∠CPE，进而得到PD=BD，PE=CE，即可求解． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ∴∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠BCP， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠CBP=∠BPD，∠BCP=∠CPE， ∴PD=BD，PE=CE， ∴PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC=8cm． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 4．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于 ． 【答案】10 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键． 5．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的判定，角平分的定义，掌握角平分线的尺规作图基本步骤及角平分线的定义性质是解决的关键； （1）根据角平分线的尺规作图步骤，以为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画圆弧使其交于点，连接并延长与交于点，则即为所求； （2）根据角平分线的定义可以得到，即可证明； 【详解】（1）解：作图如图所示， 则为所求作的角平分线 （2）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 6．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，交BC于点E，DE∥AB交AC于点D． (1)求证AD=ED； (2)若AC=AB，DE=3，求AC的长．    【答案】(1)证明见解析；(2)6. 【分析】（1）由AE是∠BAC的角平分线可得∠DAE=∠BAE，由DE∥AB，可得∠DEA=∠EAB，则∠DEA=∠DAE，可得结论． （2）根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，可证∠C=∠CED则CD=DE，即可求AC的长． 【详解】证明：(1)∵AE是∠BAC的角平分线 ∴∠DAE=∠BAE， ∵DE∥AB ∴∠DEA=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴AD=DE-； (2)∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线 ∴AE⊥BC ∴∠C+∠CAE=90°，∠CED+∠DEA=90°， ∵∠CAE=∠DEA， ∴∠C=∠CED， ∴DE=CD， ∴AD=DE=CD=3， ∴AC=6. 故答案为(1)证明见解析；(2)6. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，关键是利用这些性质解决问题． 【变式训练7 根据等角对等边求边长】 1．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识．由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：C． 2．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）在中，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“等角对等边”即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交 于，交 于，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质可得出和 ，进而得到 ，，从而得出结果． 【详解】解：平分 同理：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质；理解掌握平分线的定义和平行线的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为 cm． 【答案】4 【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得． 【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角， ∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG， ∵DE∥BC， ∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG， ∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC， ∴BD=FD，EF=CE， ∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4， ∴CE=4cm． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）如图，在和中，为斜边，，、相交于点． （1）请说明的理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）CE=1. 【分析】（1）利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由直角三角形的两锐角互余求出，根据等腰直角三角形的性质即可求得． 【详解】（1）证明：在和中， ∵与是对顶角， ∴． ∵，， ∴≌（AAS）． ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 6．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【答案】海岛到灯塔的距离为海里 【分析】根据题意可得：海里，，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边即可解答． 【详解】解：由题意得： 海里，， ， ， 海里， 海岛到灯塔的距离为海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练8 直线上与已和两点组成等腰三角形的点】 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，顶点，，，的坐标分别为，，，，点在轴上，点在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的点有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，分别以、为圆心，以的长为半径作圆与相交，再作的垂直平分线与相交，交点即为所求的点． 【详解】解：如图，满足条件的点有3个． 故选：A． 2．（22-23八年级上·北京房山·期末）如图，，点P为直线上的一个动点，若使得是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：作垂直平分线与的交点，可得， 以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，， 以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答． 3．（22-23八年级上·全国·期中）直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有 个． 【答案】6 【分析】分别以点A和点B为圆心，以AB长为半径作圆，交坐标轴于点C、D、E、F、G，分别以坐标原点以及以上交点为顶点的三角形为等腰三角形． 【详解】解：分别以点A和点B为圆心，以AB长为半径作圆，交坐标轴于点C、D、E、F、G， 作AB的中垂线交坐标轴于点O，如下图所示： 所以，加上原点满足条件的点C最多有6个． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，熟知等腰三角形的定义是解本题的关键． 4．（22-23八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，B是直线l上的一点，线段与l的夹角为，点C在l上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有 个． 【答案】2或4 【分析】分别根据当α=90°，当α为锐角与钝角时，得出即可． 【详解】解：如图1，当α=90°， ∴只有两个点符合要求， 如图2，当α为锐角与钝角时， 符合条件的点有4个， 分别是AC3=AB，AB=BC2，AC1=BC，AB=BC． ∴满足条件的点C共有：2或4个． 故答案为：2或4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键． 5．（22-23七年级下·上海奉贤·期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 【答案】（1）见解析；（2）70°或20° 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意有两种情形）． （2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求． （2）在△ABC中，∵∠CAB=40°，AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=（180°-40°）=70°． 在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′， ∴∠AC′B=∠ABC′=（180°-140°）=20°． 综上所述，∠ACB=70°或20°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 6．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图，以O为圆心，为半径作，与坐标轴有4个交点；以P为圆心，为半径作，与坐标轴有2个交点（点O除外）；作线段的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 观察图象可知，满足条件的点A有8个． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会把复杂作图拆解成基本作图，会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考内容． 【变式训练9 作等腰三角形(尺规作园)】 1．（22-23八年级上·广东广州·阶段练习）等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（  ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【详解】如图， 由题，底边的高，角平分线，中线三线合一，加上腰上的高，角平分线，中线共7条. 试题分析：等腰三角形中，底边的高，角平分线，中线三线合一，由题，底边的高，角平分线，中线三线合一，加上腰上的高，角平分线，中线共7条. 考点：等腰三角形的性质. 2．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形． ⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形． 故选D． 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE= ． 【答案】67.5° 【分析】根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度数． 【详解】∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠A=30°, ∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°, ∵以B为圆心,BC长为半径画弧, ∴BE=BD=BC, ∴∠BDC=∠ACB=75°, ∴∠CBD=180°-75°-75°=30°, ∴∠DBE=75°-30°=45°, ∴∠BED=∠BDE=（180°-45°）=67.5°,故答案为67.5°． 【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求得答案． 4．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期中）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】4 【分析】分别以B、C为圆心，以AB、AC为半径画弧，作AB、AC的垂直平分线，即可得到答案. 【详解】解：如图所示： 当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角的性质.正确作图是解决本题的关键. 5．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知线段a，b，求作以3a为底边、以b为高的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】先作然后作的垂直平分线，在垂直平分线上截取b为高即可． 【详解】解：如图，即为所作：    【点睛】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 6．（22-23八年级上·湖北恩施·期中）（1）已知．请过点A作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法即可作出边上的高； （2）根据等腰三角形的性质即可作出底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形． 【详解】解：（1）如图， 即为中边上的高； （2）如图， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【变式训练10 等腰三角形的性质和判定】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为16，，则为（　　） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算即可；本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵周长为16， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知的面积为24，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（    ） A．6 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积计算，等腰三角形，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 连接，根据三角形的面积公式即可得到，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， 故选：C． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知等腰的周长是，，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，分三种情况讨论，当为底边时，；当为腰时，；当为腰时，，分别计算每种情况对应的的长，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 如图，当为底边时，， 等腰的周长是，， ； 如图，当为腰时，， 等腰的周长是，， ， ； 如图，当为腰时，， 等腰的周长是，， ， 综上，或或， 故答案为：或或． 4．（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在中，，，于点，若，且的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．由的周长为，，，可得，由，，利用等腰三角形的性质得到． 【详解】解：的周长为， ， ， , ， ， ， ，， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．） 请从以下两个问题中任选一题作答． A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由． B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由． 【答案】画图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理： A题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求； B题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求． 【详解】解：A题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴都是等腰三角形； B题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求； 同理可得， ∴都是等腰三角形． 6．（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交于点M，N． (1)证明：是等腰三角形； (2)与相等吗？对你的结论说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据等边对等角得到，再由角平分线的定义可得，进而推出，由此即可证明结论； （2）根据等边对等角和平行线的性质推出，得到，据此可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式训练11 等腰三角形的定义】 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是（    ） A．2 B．2或10 C．4 D．2或4 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系及等腰三角形的定义是解题的关键．分分两种情况：①若腰长为2，②若底边长为2，利用三角形的三边关系依次验证即可． 【详解】解：分两种情况： ①若腰长为2，则底边长为， ，不能构成三角形，故舍去； ②若底边长为2，则腰长为，，能构成三角形， 故腰长为4， 故选C． 2．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知等腰三角形的底边和腰的长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．根据等腰三角形的定义可知三边长为6，6，5可． 【详解】解：根据题意可知等腰三角形的三边长为6，6，5， 所以这个三角形的周长为． 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是 ． 【答案】6或8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，根据已知的等腰三角形的周长和一边的长，先分清三角形的底和腰，再计算腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为20， 当腰长时，底边， 当底边时，腰长，且， 故答案为：6或8． 4．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，的三边长为4，7，x． (1)求x的取值范围； (2)当为等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1) (2)4或7 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系的应用： （1）根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可； （2）分腰长为4，腰长为7两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长为4，7，x， ∴， ∴； （2）解：当腰长为4时，则，此时符合； 当腰长为7时，则，此时符合； 综上所述，x的值为4或7． 6．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，为的中线，，的周长为24，求的周长． 【答案】40 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，根据等腰三角形三线合一的性质得到，由即可得到结论． 【详解】解：∵，为的中线， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴的周长． 【变式训练12 等边三角形的判定和性质】 1．（2024八年级·全国·竞赛）点M是正六边形内任一点，正六边形面积为18，若，则（    ）． A．6 B．3 C．18 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 分别两边延长得等边，设高为h，则点M到三边的距离之和为h，可得，进一步得到即可． 【详解】解：如图，分别两边延长得等边，设高为h，则点M到三边的距离之和为h． 则，， ∵ ∴． 故选：B 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧交两边于点A、B，再以点A为圆心，长为半径画弧，交弧于点C，作射线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．根据题意得出为等边三角形，从而得出的度数，再利用角度和差即可求解． 【详解】解：∵用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点， ∴， ∵以A为圆心，以为半径画弧，与弧交于点C， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南常德·期中）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形.    【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当点P在点O左侧时， 是等腰三角形， ，即：， 解得：； 当点P在点O右侧时， ， 为等边三角形， ，即：， 解得：， 综上所述，当或时，是等腰三角形， 故答案为：或． 5．（23-24八年级上·福建南平·阶段练习）如图，点E在上，和都是等边三角形．求证： (1) (2)猜想：三条线段之间的关系是________，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)；理由见解析. 【分析】题目主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形的性质得出，，，确定，再由全等三角形的判定证明即可； （2）利用（1）中全等三角形的性质进行等量代换即可证明； 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，在中，，E是上一点，垂足为D，交于点F．若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”性质、等边三角形的判定与性质等知识点，根据“三线合一”可得，设，由可求出；进一步可推出为等边三角形，即可求解． 【详解】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴是直角三角形 【变式训练13 含30度角的直角三角形】 1．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．先求出，再得，进而得出结论． 【详解】解：∵的平分线交于D，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键． 过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么． 【详解】解：如图，过点作于， 又，， ， 在直角中，，， ， ， ． 故选：B． 3．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，点在直线上，过点作直线，垂足为点，若，则线段的长为 ． 【答案】6或2/2或6 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形．通过利用含30度角的直角三角形的性质求得线段的长度，再求得，分两种情况求解即可． 【详解】 解：当点在线段上时，如图所示． 在中，，，， ，． 在中，，，， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图所示． 同理，． 在中，，，， ∴， ∴； 故答案为：6或2． 4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则 中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故答案为：76． 5．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征，余角的性质、对顶角的性质等知识点． （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再根据（1）是等腰三角形结合，设的长为x，则，由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，，， ， 设的长为x，则， ∵，，， ，即， ， ， ． 6．（2023·重庆渝北·一模）在学习了特殊角的三角函数后，同学们熟练掌握了，，的三角函数值，老师又提出一个问题：中，，如何用所学知识求的正切值？聪明的小周很快有了思路：利用作垂直平分线构造等腰三角形，得到角与特殊角角的关系，从而解决问题，请根据她的思路完成下面的作图与填空如图． 解：用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹） 垂直平分 ① 中 ② 中 ③ ④ 【答案】作图见详解，①，②，③，④ 【分析】本题考查垂直平分线的性质，尺规作图．根据题意先用尺规作图作出线段的垂直平分线，再根据题中的过程填空，连接，①由线段垂直平分线的性质，可得,②由三角形外角性质，可得,③由所对的直角边等于斜边的一半，可得,④由正切的定义，可得． 【详解】解：作图如下 垂直平分 中 中 ． 1．（23-24八年级上·北京东城·期末）如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角的和差等知识点，根据等腰三角形的性质求得是解题的关键． 先根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再运用角的和差即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴, ∴． 故选A． 2．（2023·山东淄博·二模）如图，，点E在上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，，则，由于，则，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的等腰三角形的个数最多为(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形． 【详解】解：如图：可以画出7个等腰三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，需要分情况讨论，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 4．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以A为圆心，以长为半径画弧，与前弧交于点C，作射线，则度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可得：，，从而可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， 是等边三角形， ， 故选：C． 5．（2024·云南昭通·一模）如图所示，在中，，，是斜边上的高，，那么等于（   ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了含有角的直角三角形，由题意可知和均是含有的直角三角形，根据“在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”得，． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 故选：C． 6．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，的周长为150，则 ． 【答案】69 【分析】求出AD＝BD，求出AC＋BC＝150，即可求出BC． 【详解】解：∵∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD， ∵△DBC的周长是150，AC＝81， ∴CD＋BD＋BC＝CD＋AD＋BC＝AC＋BC＝150， ∴BC＝69， 故答案为：69． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能求出AC＋BC＝150是解此题的关键． 7．（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 8．（23-24八年级上·山东日照·期中）如图，已知，在边上顺次取点，，，在边上顺次取点，使得，得到等腰，若得到的最后一个等腰三角形就是，则的度数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是，需要满足：且，解不等式即可解决问题．解题关键是理解某个三角形为最后一个等腰三角形的条件． 【详解】由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是， 需要满足：且， ． 故答案为：． 9．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，在等边中，于D，点P、Q分别为、上的两个定点，且，，在上有一动点E使最短，则的最小值为 ．    【答案】10 【分析】根据等边三角形的性质证得，求出，在上截取，连接，，得到，当点P、E、F三点共线时，最短，即最短，证明是等边三角形，求出即可． 【详解】解：在等边中， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在上截取，连接，， ∴点Q与点F关于对称，    ∴， 当点P、E、F三点共线时，最短，即最短， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，正确掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，,，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，利用含角的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 11．（22-23七年级下·山东济南·期中）如图，DC是AB的垂直平分线，交AB于点C，∠A=40°，求∠B的度数． 【答案】∠B的度数为40°． 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵DC是AB的垂直平分线， ∴DA=DB， ∴∠B=∠A=40°， 故∠B的度数为40°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． (1)在图1中，画以为腰的三角形； (2)在图2中，画以为底的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形， （1）根据题意画出以为腰的三角形； （2）根据题意画出以为底的三角形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 13．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，，求证：直线垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】证明点A在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可证明直线垂直平分线段． 【详解】证明：∵， ∴，点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定、等角对等边，熟练掌握“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”是解决本题的关键. 14．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下面为的网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画图．要求：所画图形的顶点均在网格的格点上． （1）在图1中画一个面积为6的锐角三角形； （2）在图2中画一个面积为5，且有一个内角为45°的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）在网格中构造底为4高为3，面积为6的锐角三角形； （2）构造底为5，高为2，且有一个内角为45°的三角形． 【详解】解：（1）如图中的三角形即为所求作的锐角三角形； （2）如图中的三角形即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查作图—应用与设计，掌握三角形的性质，利用数学结合的方法解决问题是关键． 15．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在等腰中，，腰的垂直平分线交底于点，垂足为点．    (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形判定与性质、中垂线性质及含的直角三角形性质，数形结合，求出各个角度是解决问题的关键． （1）由等腰三角形性质得到，再由中垂线的性质得到，最后再由等腰三角形性质即可得到答案； （2）由（1）中所求各个角度，利用含的直角三角形性质结合条件即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， 是的垂直平分线， ， 在中，，，则， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$