第07讲 轴对称（5大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

第07讲 轴对称（1大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型四 台球桌面上的轴对称问题 题型五 折叠问题 题型六 线段垂直平分线的性质 题型七 线段垂直平分线的判定 题型八 作已知线段的垂直平分钱 题型九 作垂线(尺规作图) 知识点1.轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 要点归纳： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 知识点2.轴对称 两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 要点归纳： 若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 知识点3.线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点4.轴对称和轴对称图形的性质 在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 要点归纳： 轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点5.对称轴的画法 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点; (2)连接这对对应点; (3)画出对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 注意：画对称轴的依据是轴对称图形或两个图形成轴对称的性质，即对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 【典型例题一 轴对称图形的识别】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是同学们利用两条线段，两个圆，两个等腰三角形设计的图案，不是轴对称图形的是（　） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有 个． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示的四个图形中，从几何图形变换的角度考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由． 【典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（　　） A．点C B．点F C．点E D．点D 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（    ） A．对称轴上 B．对称轴的异侧 C．对称轴的同侧 D．对称轴上或对称轴的异侧 3．（22-23八年级上·江西鹰潭·期中）经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状 改变，大小 改变（填“有”或“没有”）． 4．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有 （选填正确的序号）．    5．（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 6．（22-23八年级上·山东济宁·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点，点和直线． （1）在直线上求作一点，使最短； （2）请在直线上任取一点（点与点不重合），连接和，试说明．    【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 3．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 4．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件则 ， ． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上． (1)指出与的对称点； (2)指出与中相等的线段和角； (3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数． 【典型例题四 台球桌面上的轴对称问题】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 2．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在一个规格为(即个小正方形)的球台上，有两个小球. 若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点 . 4．（2023·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 5．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 6．（22-23八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【典型例题五 折叠问题】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图 3中的（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3．（22-23七年级上·广西来宾·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为 ． 4．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，求的度数． 6．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知长方形纸片，点，，分别在边，，上，将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在处．    (1)点，，共线时，如图，求的度数； (2)点，，不共线时，如图，图，设，，请分别写出，满足的数量关系式，并说明理由． 【典型例题六 线段垂直平分线的性质】 1．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 3．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线是线段的垂直平分线，垂足为O，且，那么 ． 4．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 6．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，点是垂足，求的周长． 【典型例题七 线段垂直平分线的判定】 1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 3．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 5．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，请你用尺规作图的方法在边上求作一点P，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    6．（22-23八年级上·广东潮州·期中）已知：如图，，，点在上．求证：．    【典型例题八 作已知线段的垂直平分钱】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）联欢会上，三名同学分别站在锐角的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，凳子最适合摆放的位置是的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ）    A．三边中线的交点 B．三边上高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）MN是线段AB的垂直平分线，AB长为16cm，则点A到MN的距离是 cm． 4．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长是 cm． 5．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，连接AC，请用尺规作图法在线段AC上找一点F，连接BF，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    6．（22-23八年级上·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置． 【典型例题九 作垂线(尺规作图)】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 2．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 3．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么地方，能使两座城市到这所医院的路程一样长？（不用写做法，保留作图痕迹）    4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为 ． 5．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．    6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式训练1 轴对称图形的识别】 1．（2024·山西晋城·三模）数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·全国·单元测试）粗圆体的汉字“口，品，土”等多是轴对称图形．请再写出至少三个以上这样的汉字 ． 4．（2023·湖南株洲·一模）下列图形中，是轴对称图形的有 个． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    6．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 【变式训练2 根据成轴对称图形的特征进行判断】 1．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，若与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北秦皇岛·三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·广东茂名·期末）已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是 ． 4．（22-23七年级下·山西·期末）如图，直线l是对称轴，点A的对应点是 点．    5．（22-23八年级上·全国·课后作业）作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 6．（22-23八年级上·广东云浮·期末）如图，与关于直线对称．与的交点F在直线上． ①指出两个三角形中的对称点； ②指出图中相等的线段和角； ③图中还有对称的三角形吗？    【变式训练3 根据成轴对称图形的特征进行求解】 1．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，和关于直线l对称，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图，内一点P，，分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为（　　）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·吉林松原·期末）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 ．    5．（23-24八年级下·河南焦作·期中）牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带，（如图）便想在公路边上找一点，安营扎寨，进行牧羊．使每天牧羊时到草地边上吃草，然后到小河边处喝水，再跑回出发地休息．为使所跑路程最短，请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置，并画出线路图． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表示） 【变式训练4 台球桌面上的轴对称问题】 1．（2023·浙江丽水·中考真题）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（   ） A．① B．② C．⑤ D．⑥ 2．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    4．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 5．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入哪一个球袋？说明理由．    6．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【变式训练5 折叠问题】 1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将沿折叠，使点与边中点重合，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2024·江苏无锡·一模）2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点B落在点的位置．与交于点E．若，，则图中阴影部分的周长 ． 4．（22-23七年级上·上海金山·期末）如图，在长方形中，点E在边上，连接，将沿折痕翻折，使点D落在边上的处，如果，那么 度 5．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一张长方形的纸片沿折叠，若，求的度数． 6．（22-23七年级下·山西·期末）图1是一张三角形纸片ABC．将BC对折使得点C与点B重合，如图2，折痕与BC的交点记为D． （1）请在图2中画出ΔABC的BC边上的中线． （2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD与ΔABD的周长差． 【变式训练6 线段垂直平分线的性质】 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某学校欲增设一个篮球场，为了方便学生活动，要求新建的篮球场到A点、B点和C点的距离均相等，则篮球场应该建设在（    ） A．两边垂直平分线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两内角平分线的交点处 D．在两边高线的交点处 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为 ．    4．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为 ． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．    6．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．    【变式训练7 线段垂直平分线的判定】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ． 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．             5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 6．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．    【变式训练8 作已知线段的垂直平分钱】 1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 2．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（      ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 3．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm． 4．（22-23八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，则△ABD的周长为 cm． 5．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图．A，B是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹） 6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等． 【变式训练9 作垂线(尺规作图)】 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，分别以B，C两点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点得到直线l，l分别交于E、F两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 3．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 P、Q，作直线交于点D，连接，若的周长为 15，，则的周长为 ． 4．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=3，CD=2，则AB= ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法在斜边上求作一点，连接，使得是斜边上的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知及上一点，求作直线，使经过点，且．    1．（23-24七年级下·福建宁德·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②； ③中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 ． 7．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线是三角形的对称轴，点，是线段上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）用平行四边形纸条沿对边、上的点、所在的直线折成字形图案，已知图中，则的度数是 °． 9．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为点A、B．下列结论中，一定成立的是 （填序号） ①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP 10．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，若的周长为，的周长为，则为 ． 11．（22-23八年级上·山东青岛·课后作业）如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 12．（22-23七年级上·山东淄博·期中）如图所示，已知O是内的一点，点M、N分别是O点关于的对称点，与分别相交于点E、F，已知，求的周长． 13．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到，则是多少度？ 14．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，．    (1)作出的垂直平分线； (2)证明作法是正确的． 15．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，已知四边形，请用尺规作图法在四边形内求作一点，使点到点，，的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 轴对称（5大知识点+9大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 轴对称图形的识别 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型四 台球桌面上的轴对称问题 题型五 折叠问题 题型六 线段垂直平分线的性质 题型七 线段垂直平分线的判定 题型八 作已知线段的垂直平分钱 题型九 作垂线(尺规作图) 知识点1.轴对称图形 轴对称图形的定义 一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴. 要点归纳： 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定. 知识点2.轴对称 两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 要点归纳： 若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 知识点3.线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点4.轴对称和轴对称图形的性质 在轴对称图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 要点归纳： 轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点5.对称轴的画法 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤(1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点; (2)连接这对对应点; (3)画出对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 注意：画对称轴的依据是轴对称图形或两个图形成轴对称的性质，即对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 【典型例题一 轴对称图形的识别】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，将图形沿着一条直线翻折，直线两侧能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称的概念判断即可．熟记概念是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是同学们利用两条线段，两个圆，两个等腰三角形设计的图案，不是轴对称图形的是（　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查识别轴对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的特点逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，符合题意． 故选D． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有 个． 【答案】2 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的含义可知：在正方形、平行四边形、三角形、圆中， 正方形、圆这2个图形一定是轴对称图形； 故答案为：2 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】3 【解析】略 5．（23-24八年级上·全国·课堂例题）分别观察图（1）～（4）中的两个图形，判断它们是否分别关于某条直线成轴对称，并说明原因． 【答案】图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称；图（2）（3）不成轴对称，说明见解析 【分析】本题考查轴对称图形的判定，轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称；图（2）（3）不成轴对称， 原因如下： 图（1）（4）分别关于某条直线成轴对称，因为沿某一直线对折，每一组的两个图形都可以完全重合（这里的“完全重合”是指必须沿某直线折叠后完全重合，这就要求两个图形必须形状相同、大小相等，同时还对两个图形的位置作了限定）； 图（2）（3）不成轴对称，因为不能找到它们的对称轴． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）如图所示的四个图形中，从几何图形变换的角度考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由． 【答案】图(2)，仅它不是轴对称图形 【详解】试题分析：观察图形发现（1）（3）（4）都是轴对称图形，而（2）不是轴对称图形，由此即可得出结论． 试题解析：解：（1）（3）（4）都是轴对称图形，而（2）不是轴对称图形．故从几何图形变换的角度考虑，图（2）与其它三个不同． 【典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，和关于直线l对称，点A的对称点是（　　） A．点C B．点F C．点E D．点D 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可，此题考查了轴对称，准确找到对应点是解题的关键． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴点A的对称点是点D， 故选：D 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（    ） A．对称轴上 B．对称轴的异侧 C．对称轴的同侧 D．对称轴上或对称轴的异侧 【答案】D 【分析】本题考查成轴对称图形的性质，根据成轴对称的两个图形，它们的对称点在对称轴上或对称轴的异侧，判断即可． 【详解】解：关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在对称轴上或对称轴的异侧； 故选D． 3．（22-23八年级上·江西鹰潭·期中）经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状 改变，大小 改变（填“有”或“没有”）． 【答案】 没有 没有 【分析】该题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键； 直接利用轴对称图形的性质得出答案； 【详解】解：经过轴对称变换后得到的图形与原图形相比：形状没有改变，大小没有改变． 故答案为：没有，没有． 4．（22-23七年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和关于直线l对称，小明观察图形得出下列结论：①；②；③直线l垂直平分线段；④直线BC和直线的交点不一定在直线l上．其中正确的结论有 （选填正确的序号）．    【答案】①②③ 【分析】利用轴对称的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴，，直线垂直平分线段，直线BC和直线的交点一定在直线l上， 即正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上． 5．（22-23八年级上·江西宜春·期中）如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的概念与轴对称的概念；根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可作答．轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形； 图（2）（5）（7）（9）成轴对称． 6．（22-23八年级上·山东济宁·期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点，点和直线． （1）在直线上求作一点，使最短； （2）请在直线上任取一点（点与点不重合），连接和，试说明．    【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，做点A关于直线的对称点，连接交直线与点P即可； （2）根据两点之间线段最短，结合三角形两边之和大于第三边即可证得． 【详解】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于， 则点即为所求，作图如下：    （2）在直线上任取另一点，连接、、， ∵点与关于直线成轴对称，点在直线上， ∴，， ∵， ∴ 即， ∴， ∴最小．    【点睛】本题考查了点对称的性质，“将军饮马”模型求同侧线段之和最短，三角形三边关系的应用，掌握点的对称性和两点之间线段最短是解题的关键． 【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）与关于直线对称，如果的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，直接利用轴对称的性质可得的面积． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴与互相重合， ∵的面积是， ∴的面积是， 故选B 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，与关于直线对称，点、、的对应点分别为点、、，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的两个图形，对应线段相等即可解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，以虚线为对称轴，那么“甲”字的对称图形是 字． 【答案】由 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．根据轴对称的性质可得答案． 【详解】解：“甲”字的对称图形是“由”字， 故答案为：由 4．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件则 ， ． 【答案】 5 70°/度 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等可得出答案． 【详解】解：根据轴对称的性质可得：，，，， ，． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，与关于直线对称．与的交点在直线上． (1)指出与的对称点； (2)指出与中相等的线段和角； (3)图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？ 【答案】(1) (2)， (3)与与也都关于直线成轴对称 【分析】本题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据互相重合的点是对应点可得答案； （2）根据互相重合的角与边可得答案； （3）根据能够互相重合的三角形可得答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称． ∴对称点分别是：； （2）解：∵与关于直线对称． ∴， （3）解：图中与与也都关于直线成轴对称． 6．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)你认为点A与点D有何关系？连接，则线段与直线有何关系？ (2)求的度数． 【答案】(1)点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分 (2) 【分析】本题考查成轴对称的性质． （1）根据成轴对称的性质：对应点连线被对称轴垂直平分，作答即可； （2）根据对应角相等，作答即可． 【详解】（1）解：点与点关于直线成轴对称，线段被直线垂直平分． （2）解：因为与关于直线对称， 所以， 所以， 因为， 所以． 【典型例题四 台球桌面上的轴对称问题】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 2．（22-23八年级上·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6=337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在一个规格为(即个小正方形)的球台上，有两个小球. 若击打小球，经过球台边的反弹后，恰好击中小球，那么小球击出时，应瞄准球台边上的点 . 【答案】P2 【分析】认真读题，作出点A关于P1P2所在直线的对称点A′，连接A′B与P1P2的交点即为应瞄准的点． 【详解】如图，应瞄准球台边上的点P2． 故答案为：P2. 【点睛】本题考查了生活中的轴对称现象问题；解决本题的关键是理解击球问题属于求最短路线问题． 4．（2023·广东佛山·一模）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】673 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为673． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 5．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 【答案】见解析． 【分析】直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置． 【详解】如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置． ． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 6．（22-23八年级上·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 【典型例题五 折叠问题】 1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．证明，再结合三角形的周长可得答案． 【详解】解：根据折叠可得， ∵的周长为，， ∴， ∴． 故选A． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图 3中的（   ） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的应用，动手实践是解此类题的关键. 由剪去的三角形与展开后的平面图形中的三角形是相同的三角形，观察形成的图案是否符合要求判断即可． 【详解】解：图中，图③不符合题意，图④中的4个三角形与图2中剪去的三角形不全等． 故选C． 3．（22-23七年级上·广西来宾·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查折叠的性质，由折叠得出是解题关键．由折叠求出，进而由求解即可． 【详解】解：由折叠可知， 所以． 故答案为：110°． 4．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图的三角形纸片中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△ADE的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．根据折叠的性质，可得，从而，再由的周长，即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使得点落在边上的点处， ， ， ， 的周长． 故答案为： 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握折叠前和折叠后对应角相等是解题的关键，由平行的性质可得，由折叠的性质可得，再进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠性质知，， ∴． 6．（23-24七年级上·山东德州·期末）已知长方形纸片，点，，分别在边，，上，将三角形沿翻折，点落在点处，将三角形沿翻折，点落在处．    (1)点，，共线时，如图，求的度数； (2)点，，不共线时，如图，图，设，，请分别写出，满足的数量关系式，并说明理由． 【答案】(1) (2)图：，图：，理由见解析 【分析】本题主要考查图形折叠的性质： （1）根据，，结合即可求得答案； （2）在图中，，则，图同理． 【详解】（1）根据图形折叠的性质，得 ，， ． ． （2）如图，结论：．理由如下： 根据图形折叠的性质，得 ，． ，， ． ． ． 如图，结论：．理由如下： 根据图形折叠的性质，得 ，． ，， ． ． ． 【典型例题六 线段垂直平分线的性质】 1．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D．若，则点D到点B的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴； 故选B． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A．三边中垂线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 所以凳子应放在的三条垂直平分线（即三边中垂线）的交点最适当． 故选：A． 3．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，如果直线是线段的垂直平分线，垂足为O，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的定义，由定义可得，． 【详解】解：∵直线是线段的垂直平分线，垂足为O，且， ∴，， 故答案为： 4．（23-24八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，连接，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，根据，即可． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，的周长为，，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，AD=CD，根据的周长为，根据中点的性质以及，可得的长，进而即可求得周长 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴， ∴的周长． 6．（22-23八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，点是垂足，求的周长． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长和线段间的关系求解即可． 【详解】的垂直平分线交于点，，， ， 的周长． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握该性质是解题关键． 【典型例题七 线段垂直平分线的判定】 1．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质可确定三角形中到各顶点距离相等的点满足的条件． 【详解】解：三角形三条边垂直平分线交点到各顶点距离相等． 故选：A． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 3．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）经过定点的圆的圆心的轨迹是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，由于该圆圆心到点P和到点Q的距离相等，则到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，据此可得经过定点的圆的圆心的轨迹是直线． 【详解】解：∵一个圆经过定点， ∴该圆圆心到点P和到点Q的距离相等， ∴该圆圆心在线段的垂直平分线上， ∴经过定点的圆的圆心的轨迹是直线， 故答案为：直线． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果，，则点 、 在线段 的垂直平分线上． 【答案】 M N 【分析】根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可得点M、N都在AB的垂直平分线上． 【详解】解：∵ ∴点M在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点N在线段的垂直平分线上，即点M、N在线段的垂直平分线上． 故填M、N、AB． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线定理，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解答本题的关键． 5．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，请你用尺规作图的方法在边上求作一点P，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的作法．作线段的垂直平分线交于点P，连接即可．解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定． 【详解】解：如图，点P即为所求作．    6．（22-23八年级上·广东潮州·期中）已知：如图，，，点在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】先根据线段垂直平分线的判定定理说明是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质定理得出答案． 【详解】证明：如图，连接，    ∵， ∴点A是线段垂直平分线上的点． ∵， ∴点D是线段垂直平分线上的点， ∴是线段垂直平分线， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理和逆定理，灵活的应用定理是解题的关键． 【典型例题八 作已知线段的垂直平分钱】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）联欢会上，三名同学分别站在锐角的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，凳子最适合摆放的位置是的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 所以凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 2．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（   ）    A．三边中线的交点 B．三边上高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等．根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：D． 3．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）MN是线段AB的垂直平分线，AB长为16cm，则点A到MN的距离是 cm． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线得出AD=BD,AD⊥MN,求出AD长即可 【详解】如下图 ∵MN是线段AB的垂直平分线,AB=16 ∴AD=BD=AB=8cm. AD⊥MN，即点A到MN的距离是8cm, 故答案为:8 【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质和点到直线的距离的理解和运用，熟悉垂直平分线概念是解题关键． 4．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，若，的周长是，则的周长是 cm． 【答案】 【分析】的周长是，，所以求的周长其实就是求，由此即可求出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，且， ∴，，即， ∵的周长是，即， ∴， ∵的周长是，， ∴的周长是， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质将所求线段转化为已知线段的关系． 5．（22-23八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，连接AC，请用尺规作图法在线段AC上找一点F，连接BF，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线交于点F即可 【详解】解：要使，则F为垂直平分线上一点，即作的垂直平分线与的交点即为所求， 分别以为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与的交点F，则点F为所作．    【点睛】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线；解题的关键是熟练掌握作图方法． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置． 【答案】连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置；图见解析 【分析】连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置； 【详解】解：连接赤石与杉树，形成一条线段，作线段的垂直平分线，交唐伽山所在位置一点，该点即为洞穴的位置，如图所示： 【点睛】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键． 【典型例题九 作垂线(尺规作图)】 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【答案】B 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键． 【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线， 故选B． 2．（2024·河北邯郸·三模）如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作直线的垂线，熟练掌握做法和原理是解题的关键．利用尺规作直线的垂线的方法解答即可． 【详解】解：由画图痕迹可得：于点O， 点P在点O处． 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在某条公路的同旁有两座城市A、B，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么地方，能使两座城市到这所医院的路程一样长？（不用写做法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】由题意可知医院要满足两个条件：一是在公路上；二是到两个城市的距离相等；进而可以想到：到线段两端点的距离的点在线段的垂直平分线上，进而求解即可． 【详解】解：如图：    作的垂直平分线，交公路为点，则点为医院． 理由：垂直平分线的点到线段两端点的距离相等． 【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质会尺规作图是解题的关键． 4．（22-23七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出△ACD的周长. 【详解】解：∵在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD； ∴MN为AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴△ACD的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=11+7=18. 故答案为：18. 【点睛】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键. 5．（23-24八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．    【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图，作垂线．作的中垂线，交于点，连接，即为所求．掌握垂线的作图方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，直线即为所求；    6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线l交于点C，点C即为所求． 【详解】解：如图，点C即为所求．    【点睛】本题考查作图，复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题． 【变式训练1 轴对称图形的识别】 1．（2024·山西晋城·三模）数学符号能使数学语言在形式上一目了然，简明准确，它为表述和论证数学理论带来了极大的方便．下列数学符号中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、B、C均找不到一条直线，使A、B、C沿该直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，故A、B、C不是轴对称图形，不符合题意； D能找到一条直线，使D沿该直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，故D是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）下列图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形及旋转图形的判断问题，掌握“如果沿某一条直线对折，左右两边能完全重合，则这个图形就是轴对称图形”是解题的关键． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23七年级下·全国·单元测试）粗圆体的汉字“口，品，土”等多是轴对称图形．请再写出至少三个以上这样的汉字 ． 【答案】十，中，日（答案不唯一） 【分析】根据轴对称的定义写出三个即可． 【详解】解：根据轴对称的定义， 轴对称图形的汉字：十，中，日． 故答案为：十，中，日（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 4．（2023·湖南株洲·一模）下列图形中，是轴对称图形的有 个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，是轴对称图形的有： ∴是轴对称图形的有2个 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图（1）～（10）所示的图案都是对称图形（其中（2）（5）（7）（9）表示两个图形），请观察并指出，哪些图案是轴对称图形？哪些图案成轴对称？    【答案】轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9） 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，轴对称图形有（1）（3）（4）（6）（8）（10）；两个图形成轴对称的有（2）（5）（7）（9）． 6．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【分析】（1）在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可； 【详解】（1）如图，△ABC为所求； （2）如图，△A'B'C'为所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 【变式训练2 根据成轴对称图形的特征进行判断】 1．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，若与关于直线MN对称，交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质解答． 【详解】解：∵与关于直线MN对称，交MN于点O， ∴，，，但不一定相等， 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称的性质：轴对称两个图形的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键． 2．（2023·河北秦皇岛·三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是选项． 故选：A． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，剪纸问题，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型． 3．（22-23七年级下·广东茂名·期末）已知点P与点关于直线m成轴对称，则与直线m的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】点P与点关于直线m成轴对称，即线段关于直线m成轴对称；根据轴对称的性质，有直线m垂直平分． 【详解】解：点P和点关于直线m成轴对称，则直线m和线段的位置关系是：直线m垂直平分． 故答案为：垂直． 【点睛】此题考查了对称轴的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 4．（22-23七年级下·山西·期末）如图，直线l是对称轴，点A的对应点是 点．    【答案】D 【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，其中互相重合的点叫做对应点． 【详解】由图可得点A的对应点是点D． 故答案为：D． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，本题属于基础应用题，关键是熟练掌握轴对称图形的定义． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 【答案】见解析 【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下： ． 【点睛】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的特征，作一个图形的对称轴时，可连结两个对称点，对称轴就是对称点连线的垂直平分线． 6．（22-23八年级上·广东云浮·期末）如图，与关于直线对称．与的交点F在直线上． ①指出两个三角形中的对称点； ②指出图中相等的线段和角； ③图中还有对称的三角形吗？    【答案】①；②；，；③与，与 【分析】根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形． 【详解】解：①对称点是：， ②相等的线段：， 相等的角：， ． ③与，与，也都关于直线成轴对称． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是了解轴对称的图形的性质． 【变式训练3 根据成轴对称图形的特征进行求解】 1．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图，和关于直线l对称，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是：根据轴对称的性质得到图形全等，再根据全等的性质解答． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴， ∴， 故选B． 2．（23-24八年级上·四川德阳·期中）如图，内一点P，，分别是P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得到，是解题的关键． 【详解】∵点关于的对称点分别为、， ∴，， ∴的周长等于， 故选A． 3．（22-23八年级上·吉林松原·期末）已知点P（a，3）、Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝ ． 【答案】-5 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】解：∵点P（a，3）与点Q（﹣2，b）关于x轴对称， ∴a＝﹣2，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，难度适中． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 ．    【答案】8 【分析】由折叠可得：再求解 利用从而可得答案. 【详解】解：由折叠可得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，掌握“成轴对称的两个图形的对应边相等”是解本题的关键. 5．（23-24八年级下·河南焦作·期中）牧羊人在某天发现了一个有水有草的神秘三角地带，（如图）便想在公路边上找一点，安营扎寨，进行牧羊．使每天牧羊时到草地边上吃草，然后到小河边处喝水，再跑回出发地休息．为使所跑路程最短，请你为牧羊人在公路上找一个合适的位置，并画出线路图． 【答案】P点为安营扎寨处，图见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质．过点C作于P，过点P分别作和的对称点，连接分别交和于点，此时P点为安营扎寨处．路线图为． 【详解】解：如图，P点为安营扎寨处． 路线图为． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 【变式训练4 台球桌面上的轴对称问题】 1．（2023·浙江丽水·中考真题）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（   ） A．① B．② C．⑤ D．⑥ 【答案】A 【详解】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞． 故选A． 2．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】如下图 【详解】如图， 由图可知可以瞄准的点为点D．故选D． 3．（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 4．（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入哪一个球袋？说明理由．    【答案】该球最后将落入2号球袋．理由见解析． 【分析】由已知条件，由轴对称的性质画图即可得出结论． 【详解】该球最后将落入2号球袋．   理由：球击到边框上一点，过这点和边框垂直的直线就是球击中边框前后路径的对称轴，如图所示，球击中边框反弹后的路径为虚线，最后指向2号袋． 【点睛】本题考查了轴对称的知识；按要求画出图形是正确解答本题的关键． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【答案】见解析 【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线． 【详解】如图所示：运动路线：． 【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 【变式训练5 折叠问题】 1．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将沿折叠，使点与边中点重合，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质可得出，再求出，最后根据周长公式求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点与边中点重合， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 2．（2024·江苏无锡·一模）2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何变换的类型，翻折， 根据翻折的定义可得答案． 掌握翻折的定义是解答本题的关键． 【详解】解：通过一次翻折这个标志得到的图形是： 故选：． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点B落在点的位置．与交于点E．若，，则图中阴影部分的周长 ． 【答案】26 【分析】本题考查了图形的折叠问题及长方形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题． 【详解】证明：∵四边形为长方形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·上海金山·期末）如图，在长方形中，点E在边上，连接，将沿折痕翻折，使点D落在边上的处，如果，那么 度 【答案】28 【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据平角的概念求解即可． 【详解】∵沿折痕翻折，使点D落在边上的处，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 5．（22-23七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，把一张长方形的纸片沿折叠，若，求的度数． 【答案】70° 【分析】先根据平角的定义得到，再由折叠的性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得 ． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟知折叠的性质是解题的关键． 6．（22-23七年级下·山西·期末）图1是一张三角形纸片ABC．将BC对折使得点C与点B重合，如图2，折痕与BC的交点记为D． （1）请在图2中画出ΔABC的BC边上的中线． （2）若AB=11cm、AC=16cm，求ΔACD与ΔABD的周长差． 【答案】（1）见解析；（2）5厘米 【分析】（1）由翻折的性质可知BD=DC，然后连接AD即可； （2）由BD=DC可知△ABD与△ACD的周长差等于AB与AC的差． 【详解】解：（1）连接AD， ∵由翻折的性质可知：BD=DC， ∴AD是△ABC的中线． 如图所示： （2）∵BD=DC， ∴△ADC的周长-△ADB的周长=AC+DC+AD-（AD+AB+DC）=AC-AB=16-11=5cm． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到BD=DC是解题的关键． 【变式训练6 线段垂直平分线的性质】 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， ， ， ， 的长为； 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某学校欲增设一个篮球场，为了方便学生活动，要求新建的篮球场到A点、B点和C点的距离均相等，则篮球场应该建设在（    ） A．两边垂直平分线的交点处 B．在两边中线的交点处 C．在两内角平分线的交点处 D．在两边高线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【详解】作两边的垂直平分线，它们的交点是P， 由线段的垂直平分线的性质，， 故选：A． 3．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，垂直平分，垂直平分．若，，则的周长为 ．    【答案】7 【分析】由垂直平分线的性质得到，，即可得到的周长． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵垂直平分．， ∴， ∴的周长为． 故答案为：7 【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质和三角形的周长，熟练掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等是解题的关键． 4．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为 ． 【答案】2 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再计算即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质并灵活运用计算周长是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，，求的长．    【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，再做差即可． 【详解】垂直平分线， ， ， 又，， ． 【点睛】本题考查利用垂直平分线性质进行边长计算，须注意线段位置，正确的计算是解题的关键． 6．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC、AB于点D、E，若△BCE的周长为8，BC＝3，求AB的长．    【答案】5 【分析】先利用三角形周长得到CE＋BE＝5，再根据线段垂直平分线的性质得到EC＝EA，然后利用等线段代换得到AB的长． 【详解】解：∵△BCE的周长为8， ∴CE＋BE＋BC＝8， 又∵BC＝3， ∴CE＋BE＝5， 又∵DE是AC的中垂线， ∴EC＝EA， ∴AB＝AE＋BE＝CE＋BE＝5． 即AB的长为5． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式训练7 线段垂直平分线的判定】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理，解题的关键是掌握：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意 根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）经过线段 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 ． 【答案】 中点 垂直平分线 【解析】略 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积） cm2．             【答案】3360 【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解． 【详解】∵， cm ∴是的垂直平分线． ∴ ∴ cm2 故答案是3360． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上成为解题的关键． 如图所示，连接，由垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可证明结论． 【详解】解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 6．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，点D是的中点，连接，垂直平分，垂足为E，F是的中点，连接，求证：是的垂直平分线．    【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定和性质，利用条件证得是解题的关键． 由垂直平分，可得，由D为中点，则可得，且F为的中点，则可证得结论． 【详解】证明：垂直平分， ， ∵D为的中点， ， ， ∵F为的中点， 即, 垂直平分． 【变式训练8 作已知线段的垂直平分钱】 1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）某市为了进一步完善城市功能，提升城市形象，加强体育事业的发展，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心（图中以P，Q，R表示）的距离相等，则体育中心的位置应选在（    ） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条高线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的应用，根据线段垂直平分线的性质即可求解，熟练掌握线段垂直平分线到两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：三角形三边的垂直平分线到三个顶点的距离相等， 体育中心的位置应选在三边的垂直平分线的交点处， 故选A． 2．（23-24八年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（      ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 所以凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南信阳·期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为 cm． 【答案】12 【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质． 【详解】解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E， ∴，， ∵， ∴的周长 ＝12， 故答案为：12． 4．（22-23八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，则△ABD的周长为 cm． 【答案】16 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=16（cm）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 5．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图．A，B是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质的应用，连接，的垂直平分线与公路的交点即是公共汽车站的位置，据此即可作答． 【详解】作图如下： 的垂直平分线与公路的交点P即是公共汽车站的位置． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等． 【答案】详见解析 【分析】到M、N距离相等的点在线段的垂直平分线上，故其位置为线段的垂直平分线与公路的交点处． 【详解】解：（1）连接； （2）作线段的垂直平分线l，交直线于C点，则C点即为所求． 由作图可知：点C在的垂直平分线l上， ∴． ∴当汽车行驶到哪点C时，与村庄M，N的距离相等． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，属基本作图题． 【变式训练9 作垂线(尺规作图)】 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列关于过点A作直线l的垂线的尺规作图中，作法不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查尺规作图—基本作图，掌握五种基本作图是解题的关键． 【详解】由基本作图可知，选项A、C、D中所作直线均满足题意，只有B选项不确定， 故选B． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，在中，分别以B，C两点为圆心，大于长为半径作弧，连接两弧交点得到直线l，l分别交于E、F两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图-中垂线及三角形的周长，熟练掌握中垂线的尺规作图方法和中垂线性质是解决问题的关键．根据题中尺规作图可知是线段的中垂线，从而，则的周长为即可得到答案． 【详解】解：由作法知是线段的中垂线， ， ， ，， 的周长为． 故选：C． 3．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 P、Q，作直线交于点D，连接，若的周长为 15，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】根据题意得出是线段的垂直平分线，故可得出，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：根据题意得出是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为15，， ∴， ∴的周长． 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 4．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=3，CD=2，则AB= ． 【答案】5 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用已知条件即可求得AB的长． 【详解】解：由题意可得：MN垂直平分BC， 则CD=BD， ∵AD=3，CD=2， ∴AB=AD+BD=AD+CD =5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出CD=BD是解题关键． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，请用尺规作图法在斜边上求作一点，连接，使得是斜边上的中线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线，作线段的垂直平分线，交于点O，则点O即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点O，连接，则是斜边上的中线，则点O即为所求． 6．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知及上一点，求作直线，使经过点，且．    【答案】作图见解析 【分析】此题主要考查了利用尺规作图—基本作图，过点P作，再过点P作，根据垂直于同一直线的两直线平行，即可得直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求．    1．（23-24七年级下·福建宁德·期末）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有选项B符合轴对称图形的定义， 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②； ③中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质与运用等知识点，根据轴对称的性质对各选项分析判断后求解即可，熟记轴对称的性质是解题的关键． 【详解】∵与关于直线对称， ∴ ，，故②③正确， ∴，故①正确， ∴正确的一共有3个， 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，先由平角的定义求出，在图2中，由翻折的性质可知，，在图3中，由折叠的性质可得，． 【详解】解：在图1中，由平角的定义可得 在图2中，由翻折的性质可知，．   在图3中，由折叠的性质可得，， 故选：B． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·期中）如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 6．（22-23七年级上·山东青岛·期中）如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 ． 【答案】丁 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知与甲成轴对称的图形是丁， 故答案为：丁． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 7．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，直线是三角形的对称轴，点，是线段上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】根据轴对称的性质，由AD是三角形ABC的对称轴得到AD垂直平分BC，则AD⊥BC，BD＝DC，根据三角形的面积公式得到，得到，代入计算即可． 【详解】∵直线是三角形的对称轴，∴垂直平分，即，， ∴， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被对轴轴垂直平分．也考查了三角形的面积公式． 8．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）用平行四边形纸条沿对边、上的点、所在的直线折成字形图案，已知图中，则的度数是 °． 【答案】 【分析】此题考查折叠的性质，解题的关键是准确作出辅助线．首先延长，由折叠的性质可得，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长， 根据题意得：，且， ． 故答案为：． 9．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为点A、B．下列结论中，一定成立的是 （填序号） ①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP 【答案】①②③ 【分析】直接根据角平分线的性质定理及垂直平分线的性质定理求解即可． 【详解】解： OP平分∠AOB，PAOA，PBOB， AP=PB，故①正确； OP=OP， ， OA=OB，故②正确； OP垂直平分AB，故③正确； 则AB垂直平分OP不一定成立，故错误； 所以正确的有①②③． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、垂直平分线的判定及直角三角形的全等，关键是根据角平分线的性质定理得到线段的等量关系． 10．（22-23八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，若的周长为，的周长为，则为 ． 【答案】5 【分析】由题意可得垂直平分，则，，即可求解． 【详解】解：由题意可得垂直平分， 则，， 的周长为， 的周长为， 则，即， 故答案为：5 【点睛】此题考查了尺规作图－线段垂直平分线，以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的基础知识． 11．（22-23八年级上·山东青岛·课后作业）如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【答案】长方形是轴对称图形，其余不是 【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 【详解】第一幅图，是个矩形，它是轴对称图形，有两条对称轴，均为边的垂直平分线： ； 第二幅图，是个普通三角形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形； 第三幅图，是个平行四边形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形. 【点睛】理解对称轴的含义是解答此类问题的关键. 12．（22-23七年级上·山东淄博·期中）如图所示，已知O是内的一点，点M、N分别是O点关于的对称点，与分别相交于点E、F，已知，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】根据轴对称的性质把的转化为MN的长度，根据题意即能得出的周长． 【详解】根据轴对称的性质得：，， ∴的周长为， ∴的周长为． 【点睛】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意数形结合的运用． 13．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到，则是多少度？ 【答案】 【分析】先由折叠的性质得到，再根据平角的定义求出，则． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，熟知折叠的性质是解题的关键． 14．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，，．    (1)作出的垂直平分线； (2)证明作法是正确的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的基本作法是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可； （2）分别证明点A、D在的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）， ∴点A在的垂直平分线上， ． ∴点D在的垂直平分线上， 垂直平分． 15．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，已知四边形，请用尺规作图法在四边形内求作一点，使点到点，，的距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质；根据题意作出的中垂线交于点，即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求；    学科网（北京）股份有限公司 $$