第四章 图形的相似单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第四章 图形的相似重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（   ） A． B．1 C． D．35 2．（2024·山东聊城·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列图标中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（2024·云南红河·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏泰州·二模）若，则 ． 12．（2024·四川成都·一模）如图，，，则BC的长为 ． 13．（23-24九年级上·山西临汾·期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．    14．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 ． 15．（23-24九年级上·北京顺义·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 16．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点的坐标为，，则点的坐标为 ． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若，求的值． 18．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 19．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 20．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB． 22．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 23．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 24．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D都在格点上． （1）在图1中画一个格点，使与相似； （2）在图2中画一个格点，使，且与不相似． 25．（2024·陕西宝鸡·三模）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2024·甘肃陇南·二模）若，则（   ） A． B．1 C． D．35 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质“若，则”，即得答案． 【详解】， ． 故选D． 2．（2024·山东聊城·一模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列图标中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 4．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段乘比例，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴； 故选B． 5．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 正确的个数3个， 故选：C． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 7．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据，则，则，求出，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（2024·云南红河·二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，为的周长，为的周长，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A 9．（2024·陕西渭南·二模）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴且相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积是6，， ∴的面积为24， 故选：C 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（2024·江苏泰州·二模）若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查的是比例的基本性质，把条件化为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12．（2024·四川成都·一模）如图，，，则BC的长为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18 13．（23-24九年级上·山西临汾·期末）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．    【答案】6 【分析】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【详解】解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得， 即的值为6． 故答案为：6． 14．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件 ，还需添加的条件是 ，或 ． 【答案】 ∠A=∠A， ∠ACD=∠B（答案不唯一）， ∠ADC=∠ACB（答案不唯一）． 【分析】直接根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】∵∠A是公共角， ∴若∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，则△ACD∽△ABC． 故答案为∠A=∠A，∠ACD=∠B（答案不唯一），∠ADC=∠ACB（答案不唯一）． 【点睛】考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 15．（23-24九年级上·北京顺义·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为 ． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 16．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点的坐标为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，掌握关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，， ∴五边形五边形的位似比为， ∵, ∴点的坐标为：． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是直接利用已知设，，，进而代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴． 18．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题． 【详解】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 19．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（22-23九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，可证△ADE∽△ABC；再证△ADE≌△A′B′C′即可． 【详解】证明：在△ABC的边AB上截取AD=A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，△ADE∽△ABC． ∵∠A=∠A′，∠ADE=∠B=∠B′，AD=A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明． 21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点C、F、A在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB． 【答案】该塔的高为38米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，过D作于P，交于N，求出，，，证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过D作于P，交于N， 则，， ，， 由题意得，，， ， ， 即， ， ， 答：该塔的高为38米． 22．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E． （1）证明：△ADF∽△DCE； （2）当CF＝1时，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）四边形是矩形， ，． 又， ，， ； （2）， ， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键． 23．（2024·河南洛阳·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段上画出点M，使； (2)在图②中，在线段上画出点N，使； (3)在图③中，在线段上画出点Q，使．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点D，C，，，连接交于M即可； （2）利用网格的特点，由相似三角形的性质，取格点F，E，，，连接，交于N即可； （3）利用网格的特点，根据相似三角形的性质，取格点G，，连接交于Q即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求； ； （2）解：如图，点N即为所求； ； （3）解：如图，点Q即为所求． ． 24．（22-23九年级上·浙江温州·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D都在格点上． （1）在图1中画一个格点，使与相似； （2）在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例，求出CE和DE，利用格点画出即可； （2）根据网格画出，使不是直角三角形即可． 【详解】（1）如图1，格点如图所示（其中任意一个均可）， （2）如图2，格点如图所示（其中任意一个均可）． 【点睛】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角． 25．（2024·陕西宝鸡·三模）赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】28米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，， 解得． 凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 学科网（北京）股份有限公司 $$