第三章 概率的进一步认识单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（北师大版）

第三章 概率的进一步认识重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）随机抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 4．（2024·山东聊城·三模）山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·山东青岛·期末）某商场搞促销活动，让顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域，顾客就能获得一份纪念品，如果有两个转盘（如下图，转盘大小不一样，相同颜色区域所占比例一样）供你选择，你认为转动两个转盘中的哪个转盘获奖的可能性大（    ） A．小转盘 B．大转盘 C．都相同 D．不确定 6．（2024·浙江宁波·三模）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（　　） A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 8．（2024·河南郑州·二模）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷的次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的； ②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动； ③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为． 其中正确的推断有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（22-23九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·河南南阳·期末）小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为 ． 12．（2024·山东泰安·一模）如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 ． 13．（2023·四川成都·一模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ． 14．（2024·山东滨州·三模）历史上，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是 ． 15．（2023·河南南阳·三模）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字，2；转盘B被三等分，分别标有数字3，0，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系第二象限的概率是 ．    16．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩． （1）甲去A公园游玩的概率是 ； （2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程） 18．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 19．（22-23七年级下·山东淄博·期中）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 20．（23-24九年级上·山西太原·期中）2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办．哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观．规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 21．（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 22．（22-23九年级上·福建厦门·期末）某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 23．（22-23七年级下·山东烟台·期中）某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下： 抽检件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 18 24 30 抽到次品的频率 (1)将上表补充完整； (2)结合表格数据直接写出这批衬衣中任抽1件是次品的概率是______． 24．（23-24八年级下·江苏常州·期中）气象部门统计了某地130年冬季的平均气温，结果如下： 平均气温/℃ 年数 1 1 1 2 2 2 2 3 8 6 平均气温/℃ 0 1 2 3 4 年数 14 21 15 12 15 10 9 2 2 2 (1)该地区冬季的平均气温为多少摄氏度的年数最多？ (2)该地区冬季的平均气温在的频数是多少？频率是多少（精确到0.1）？ (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是多少？ 25．（23-24七年级下·河南郑州·期末）数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 (1)上表中 ， ； (2)根据上表，完成图2的折线统计图； (3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法求概率，概率=所求情况数与总情况数之比，列举出所有可能出现的情况，看正面都朝上情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：列举连续投掷两枚质地均匀的硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正背，背正，背背，可能的结果共有4种， 所以满足硬币恰好都是正面朝上的概率为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建宁德·阶段练习）随机抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的求法．列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：根据题意，画出树状图，如下： 共4种情况，正面都朝上的情况数有1种， 所以两次都是正面朝上的概率是． 故选C． 3．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 4．（2024·山东聊城·三模）山东博物馆在2024年5月份举办“走近考古”展览，为公众揭开考古学神秘面纱．现小张同学参观博物馆，由于参观人数较多，准备从3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览4个中随机选择2个进行参观，则正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出所有可能结果，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：记3楼展厅的“走进考古”展览、“山东龙——穿越白垩纪”展览、“考古成果”展览、“非洲野生动物大迁徙”展览分别为，，，，则随机选择2个进行参观，有，，，，，共6种情况其中正好选择“走近考古”展览和“山东龙——穿越白垩纪”展览的概率是． 故选：A． 5．（22-23七年级上·山东青岛·期末）某商场搞促销活动，让顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向蓝色区域，顾客就能获得一份纪念品，如果有两个转盘（如下图，转盘大小不一样，相同颜色区域所占比例一样）供你选择，你认为转动两个转盘中的哪个转盘获奖的可能性大（    ） A．小转盘 B．大转盘 C．都相同 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，根据两个转盘相同颜色区域所占的比例一样，得到转到相同颜色区域的概率相同，据此可得答案． 【详解】解：∵两个转盘相同颜色区域所占的比例一样， ∴两个转盘转到蓝色区域的概率相同， ∴两个转盘中获奖的概率相同， 故选C． 6．（2024·浙江宁波·三模）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（　　） A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率． 【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.50， 故选：C 7．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．（2024·河南郑州·二模）中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了画树状图或列表求概率，正确画出树状图或列表是解题关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为，，，， 画树状图如下： 共有种等可能的结果， 其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：，，共种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为， 故选：C． 9．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理的实验数据如下表： 累计抛掷的次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的； ②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动； ③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为． 其中正确的推断有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】题目主要考查频率估计概率，根据表中数据及频率估计概率依次判断即可． 【详解】①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大可能性不是质地均匀的，故①正确； ②如果再做此实验，仍按上表抛掷的次数统计，那么数据表中，“正面朝上”的频率有更大的可能仍会在左右摆动，故②正确； ③根据表格中的信息，估计抛掷这样一枚纪念币，落地后正面朝上的概率约为，故③正确． 故选：D． 10．（22-23九年级上·全国·课后作业）在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点）．开始时，骰子如图（1）所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图（2）所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意模拟骰子的翻动过程，可以得到最后骰子朝上的点数所有的可能性和点数为2的基本事件的个数，代入概率公式即可． 【详解】设三行三列的方格棋盘的格子坐标为，其中开始时骰子所处的位置为，则图题（2）所示的位置为，则从到且次数翻动最少，共有6种走法，最后骰子朝上的点数分别为2，5，1，5，3，2，故最后骰子朝上的点数为2的概率为，故选C． 【点睛】本题主要考查概率，根据已知条件计算出骰子朝上的点数所有的基本事件和满足条件的基本事件个数是关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共16分） 11．（22-23八年级上·河南南阳·期末）小明投掷一枚硬币100次，出现“正面朝上”51次，则“正面朝上”的频率为 ． 【答案】 【分析】根据频率=频数÷总数即可求解． 【详解】解：“正面朝上”的频率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数和频率，解答本题的关键是掌握频率=频数÷总数． 12．（2024·山东泰安·一模）如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．熟记几何概率，掌握计算方法是长度比，面积比，体积比等是解决问题的关键． 【详解】解：三角形面积为；正方形面积为， 该棋子落在三角形内的概率是， 故答案为：． 13．（2023·四川成都·一模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能够点亮灯泡的概率为 ． 【答案】 【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出能够“点亮灯泡”的情况数，进而求出概率． 【详解】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下： 共有12种可能出现的情况，其中能够点亮灯泡的有8种， ∴P（点亮灯泡）＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是求事件的概率，利用列表法或画树状图法比较容易得出答案． 14．（2024·山东滨州·三模）历史上，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是 ． 【答案】0.5 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可． 【详解】当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右， ∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5． 故答案为：0.5． 15．（2023·河南南阳·三模）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字，2；转盘B被三等分，分别标有数字3，0，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系第二象限的概率是 ．    【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 3 0 由表可知，共有6种等可能，其中点落在直角坐标系第二象限的有1种， 所以点落在直角坐标系第二象限的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 16．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）二维码具有储存量大，保密性高，追踪性高，抗损性强，备援性大，成本便宜等特性，手机二维码已经被各大手机厂商使用开发．如图是一张边长为的正方形二维码的示意图，在正方形区域内随机掷点，通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右，由此可以估计该二维码黑色部分的总面积为 ． 【答案】 【分析】先根据通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右估计点落在黑色部分的概率为，再乘以正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：通过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在左右， 估计点落在黑色部分的概率为， 估计该二维码黑色部分的总面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 三、解答题（9小题，共64分） 17．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩． （1）甲去A公园游玩的概率是 ； （2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用列举方法找出所有的可能情况，再找两位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率． 【详解】解：（1）甲去A公园游玩的概率为； 故答案为：. （2）列树状图如下： 共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种， ∴其概率为. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率． 18．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）为感受华夏五千年的文明脉络，某校组织学生开展“璀璨历史，古都魅力”的研学之旅，策划了三条研学路线让学生选择：A．秦文化，走进秦始皇兵马俑；B．唐文化，走在丝路上的传奇；C．汉文化，走进汉长安城未央宫遗址．每人只能选择一条线路，小明和小红两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了三张不透明的卡片，正面分别写上字母，代表线路，卡片除了正面的字母以外其余完全相同，将三张卡片正面向下洗匀，小明先随机抽取一张卡片，记下字母后放回、洗匀，小红再随机抽取一张卡片．请用画树状图或者列表法，求两人抽到同一路线的概率． 【答案】 【分析】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人抽到同一路线的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：依题意，画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中小明和小红两人都抽到相同字母的结果有3种，即两人抽到同一路线的结果有3种， ∴两人抽到同一路线的结果的概率是． 19．（22-23七年级下·山东淄博·期中）向如图所示的等边三角形区域内扔沙包（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），沙包随机落在某个等边三角形内． (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是________； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，还要涂黑几个小等边三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)2个，理由见解析 【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得； (2)要使沙包落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得． 【详解】（1）解：图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个， ∴扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率是， 故答案为：； （2）解：涂黑2个； ∵图形中有16个小等边三角形，要使沙包落在图中阴影区域的概率为， ∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个， ∴还需要涂黑2个； 如图所示： 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率． 20．（23-24九年级上·山西太原·期中）2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办．哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观．规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】游戏公平，理由见解析． 【分析】本题考察的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的情况数，算出指针两次所指数字和都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平． 【详解】解：该游戏公平．理由： 列表如下：        第一次 结果 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同， 其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种， 所以，P（哥哥去），P（弟弟去）， 即P（哥哥去）（弟弟去）． 所以游戏公平． 21．（22-23九年级上·陕西西安·期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在“手工”区域的次数 落在“手工”区域的频率 (1)求出的值； (2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到） 【答案】(1)， (2)， 【分析】(1)根据频率频数总数求解即可； (2)根据表格中的数据可以估计频率是多少以及转动该转盘一次，获得“手工”的概率． 【详解】（1）解：∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， ∵转动转盘的次数为，落在“手工”区域的频率为， ∴， （2）解：∵根据表格信息可知：落在“手工”区域的频率的平均数大约为：, ∴当n很大时，频率将会接近， ∴假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确题意，利用数形结合的思想是解题的关键． 22．（22-23九年级上·福建厦门·期末）某批发商从某节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数如表： 每盒中混入的节能灯数 0 1 2 3 4 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，记事件为：该盒中没有混入的节能灯，求事件的概率． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）根据图表，直接用混入的的节能灯的个数除以50，求平均数即可； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14,14除以50即为事件A的概率． 【详解】解：（1）， 答：平均每盒混入的节能灯的个数为1； （2）已知没有混入的节能灯的盒数为14， 则， 答：事件的概率为． 【点睛】本题考查平均数以及概率的求解，属于基础题，掌握平均数以及概率的求解方法是解决本题的关键． 23．（22-23七年级下·山东烟台·期中）某公司的一批某品牌衬衣的质量抽检结果如下： 抽检件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 18 24 30 抽到次品的频率 (1)将上表补充完整； (2)结合表格数据直接写出这批衬衣中任抽1件是次品的概率是______． 【答案】(1)表格中从左到右依次填：0，0.04，0.08，0.06，0.06，0.06 (2)0.06 【分析】（1）根据频率=频数÷数据总数进行计算即可； （2）由（1）的结果根据频率估计概率可得答案． 【详解】（1）解：0÷50=0，4÷100=0.04，16÷200=0.08，18÷300=0.06，24÷400=0.06，30÷500=0.06， 故答案为：表格中从左到右依次填：0，0.04，0.08，0.06，0.06，0.06； （2）由（1）可知，随着抽检件数的增加，频率逐渐稳定在0.06左右， 所以根据频率估计概率可得这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为0.06． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 24．（23-24八年级下·江苏常州·期中）气象部门统计了某地130年冬季的平均气温，结果如下： 平均气温/℃ 年数 1 1 1 2 2 2 2 3 8 6 平均气温/℃ 0 1 2 3 4 年数 14 21 15 12 15 10 9 2 2 2 (1)该地区冬季的平均气温为多少摄氏度的年数最多？ (2)该地区冬季的平均气温在的频数是多少？频率是多少（精确到0.1）？ (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是多少？ 【答案】(1)该地区冬季的平均气温为摄氏度的年数最多 (2)该地区冬季的平均气温在的频数是91，频率是0.7 (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是0.7 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据统计表即可得出答案； （2）根据统计表即可得出频数，再计算频率即可； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）根据表中数据可得，该地区冬季的平均气温为摄氏度的年数最多； （2）该地区冬季的平均气温在的频数是， 频率是； （3）该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是0.7． 25．（23-24七年级下·河南郑州·期末）数学兴趣小组为探究事件 A 发生的概率，进行试验并将数据汇总填入下表 试验总次数 n 100 200 300 400 500 600 事件A出现的次数m 24 48 b 104 125 150 事件A发生的频率 a 0.24 0.25 0.26 0.25 0.25 (1)上表中 ， ； (2)根据上表，完成图2的折线统计图； (3)请你举出一个事件，使它发生的概率符合事件A发生的概率． 【答案】(1)；75 (2)见解析 (3)有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率（答案不唯一） 【分析】本题考查了频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，得，，解答即可． （2）根据题意，画出图即可； （3）答案不唯一，只要事件的概率为即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得， 故答案为：；75． （2）根据题意，折线图画图如下： （3）有四张扑克牌，分别写有1、2、3、4四个数据，随意拿出一张，正好是1的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$