7.5正态分布教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5正态分布 晋江市首峰中学 李一惠 一、内容分析 （一）课程标准要求（教学目标） 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 2.了解正态分布的均值、方差及其含义. (二）核心素养要求 通过了解正态分布的特征，提升数学抽象及数据分析素养. （三）知识联系：学生已经学过全概率事件，本节课的内容就是在此基础上的发展。由于它数学中的一个重要考点,所以在本学科中的作用是承上启下. 二、学情分析 在必修二的学习中,学生已经掌握了统计等知识,这为学生理解利用频率分布直方图来研究误差分布规律奠定了基础.但正态分布是高中学习的唯一的连续性随机变量,正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,抽象性强、性质比较多,学生理解比较困难, 关键是通过图形引导学生总结理解记忆. 三、重点难点 教学重点是正态分布的特征，概率的表示正态分布的均值、方差及其含义.解决重点的关键是通过图形引导学生寻找特征. 教学难点是描述正态分布随机变量的概率分布，解决难点的关键是小组合作，教师引导. 四、教学设计 复习回顾频率分布直方图的知识点 一、问题引入 教师活动：高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”． 问题 1：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为 400g.由于各种不可控制 的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）.用随机变量 X 表示这种误差，X 是离散型随机变量吗？如果不是，请说明理由. 生活中还有许多随机变量不是离散型的随机变量，例如： ①公交车15分钟发车一辆，小明上学途中等公交车的时间X； ②实验中测量某零件尺寸的误差Y； ③某电器的使用寿命 ； ... 你还能举出几个这样的例子吗？ 如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量。 二、新课教学 （一）新旧衔接，引出正态分布概念 问题 2： 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了 100 袋食盐，获得误差 X （单位：g）的观测值如下. 追问 1：如何研究这 100 个样本误差数据的分布? 追问2：如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？ 追问3：钟形曲线是函数图象吗？如果是，这个函数是否存在解析式呢？ 我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布. 如图 3 所示，X 取值不超过 x 的概率 P(X≤x)为区域 A 的面积，而 P(a≤X≤b)为区域 B 的面积. 例1. 如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度 函数的解析式 ，求出总体随机变量的 均值和方差 ． 探究：一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征? （1） 当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 变式：(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是( 　　 ) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小， 比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 例：李明上学有时坐公交车, 有时骑单车, 他各记录了50次坐公交车和骑单车所花的时间, 经数据分析得到: 坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑单车平均用时34min, 样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布. (1)估计X，Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线 (3)如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具? 如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具?请说明理由. 假设，可以证明：对给定的是一个只与有关的定值.特别地， 上述结果也可以用图7.3-12表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则. 例3 变式.若X～N(5,1),求P(6<X<7） 小结： 作业布置：书本第87页练习1，2（交） 练习册基础1，2，5，6，9能力1，4 学科网（北京）股份有限公司 $$