立体几何中空间角（线线角、线面角、面面角）专题训练-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何中空间角（线线角、线面角、面面角）专题训练 题型一 异面直线所成的角 1.定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.范围：（0,]； 3.求法：平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角. 跟踪训练 1. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2．在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图已知A是所在平面外一点，，E､F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________. 6. 在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________． 7. 如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和BC所成角的余弦值. 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； 题型二 直线与平面所成的角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围[0,]： 3.求法：一作；二证；三求 跟踪训练 9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ） A．正方体的内切球的半径为 B．两条异面直线和所成的角为 C．直线BC与平面所成的角等于 D．点D到面的距离为 10. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥A−D1PC的体积不变 B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为 C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 D. 二面角P−AD1−C的大小不变 11. 如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是的中点，则下列结论成立的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与平面平行 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 12. 如图，在长方体中，， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正切值. 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的大小． 题型三 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角； 2.范围：[0,] 3.求法：作出（或找出）二面角的平面角，再求解。在作二面角的平面角时，一般有二面角的平面角定义法，三垂线法，垂面法等. 跟踪训练 13．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 15. 在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为___________ 16. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为___________. 17. 如图，四棱锥中，面和面均垂直于面． （1）求证：面面； （2）若底面是边长为2的正方形，直线与面所成的角为． （i）求直线与面所成角的正弦值； （ii）求二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中空间角（线线角、线面角、面面角）专题训练 （参考答案） 题型一 异面直线所成的角 1.定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). 2.范围：（0,]； 3.求法：平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角. 跟踪训练 1. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解： 如图连接，因为为正四棱柱， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角就是异面直线与所成的角， 设，则，，， 由余弦定理得：. 2．在正方体中，直线与平面所成角为（   ） A． B． C． D． 解：在正方体中，连接，连接，    由平面，平面，得，又， 平面，则平面， 于是是直线与平面所成的角， 在中，，，因此， 所以直线与平面所成角为. 3．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 解：连接，取的中点，连接,， 由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 4. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解：延长至使得，则与平行且相等，是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 正三棱柱中，平面，平面，，同理， 设，则， ，，， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值． 5. 如图已知A是所在平面外一点，，E､F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________. 解：如图所示：取的中点，连接，则， ， 所以为异面直线与所成角或其补角.因为，所以， 当时，为等边三角形，， 即与所成角的大小为； 当时，，为等腰三角形，， 即与所成角的大小为. 6. 在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的大小为___________． 解：∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴就是直线PA与平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等边三角形，AC＝PA＝2， 设BD与AC交于点O，连接OE，则OE是的中位线，即，且， ∴是异面直线PA与BE所成的角， 正四棱锥P－ABCD中易证平面PAC，∴， 中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°． ∴异面直线PA与BE所成的角是45°． 7. 如图所示，在正三棱柱中，，点D是AB的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线和BC所成角的余弦值. 解：（1） 如图，连接交于，易得为的中点，又点D是AB的中点，则， 又平面，平面，则平面； （2） 连接，易得，则或其补角即为异面直线和BC所成角， 又由正三棱柱可得， ，则， 则，即异面直线和BC所成角的余弦值为. 8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的正切值； 解：（1）∵平面，平面，∴， 又四边形是矩形，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴， 又是的中点，，∴， ∵，所以平面. （2）∵底面是矩形，∴， ∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角， 由（1）得平面，∴平面， ∵平面，∴，∴为直角三角形， 又是的中点，，∴， ∴在中，即为异面直线与所成角，故， ∴异面直线与所成角的正切值为. 题型二 直线与平面所成的角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围[0,]： 3.求法：一作；二证；三求 跟踪训练 9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（    ） A．正方体的内切球的半径为 B．两条异面直线和所成的角为 C．直线BC与平面所成的角等于 D．点D到面的距离为 解：对于A中，正方体的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，所以内切球的半径，所以A错误. 对于B中，如图所示，连接， 因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角的大小， 又因为，则为正三角形，即，所以B正确； 对于C中，如图所示，连接，在正方形中，. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为， 所以C正确； 对于D中，如图所示，设点D到面的距离为，因为为正三角形， 所以, 又因为，根据等体积转换可知：， 即，即，解得，所以D错误. 10. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（ ） A. 三棱锥A−D1PC的体积不变 B. 直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为 C. 直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 D. 二面角P−AD1−C的大小不变 解：对于选项A，因为，面，面，所以平面， 所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确； 对于选项B，因为，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确； 对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误； 对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确. 11. 如图，正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ，分别是的中点，则下列结论成立的是（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与平面平行 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的余弦值为 解： 直线与 在同一平面内，不异面直线，所以A选项错误； 取交点，连接， ， 所以四边形是平行四边形，， 平面，平面 ，所以直线与平面平行，B选项正确； 直线与直线 所成角就是与直线所成角， 正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，侧棱长为 ， 连接中， 由余弦定理可得 所以直线与直线所成角的余弦值为，所以C选项正确； 由题可得：平面平面，交线为 AC，， 平面，根据面面垂直的性质可得平面 ，， 所以平面， 线与平面所成角就是，在直角三角形 中， 直线与平面所成角的余弦值为 ，所以D选项正确. 12. 如图，在长方体中，， （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正切值. 解：（1）连接， 由题意可知：为正方体，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得. （2）由题意可知：平面，则即为直线与平面所成的角， 又因为，则， 所以所求角的正切值为 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的大小． 解：（1）连接．由已知可得， 又，易得四边形是正方形，则． 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． （2）连接，，如图所示． 因为，三棱柱是直三棱柱， 易知平面，又平面， 所以点到平面的距离即为． 设点到平面的距离为． 由，得， 即， 得，解得， 即点到平面的距离为． （3）如图，设与相交于点，连接． 由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角． 由勾股定理得，， 则，得， 故直线与平面所成的角为． 题型三 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角； 2.范围：[0,] 3.求法：作出（或找出）二面角的平面角，再求解。在作二面角的平面角时，一般有二面角的平面角定义法，三垂线法，垂面法等. 跟踪训练 13．在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 解：如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，    ，则；，则， 平面，平面， 故是二面角的平面角，故. 14．如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 解：设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 15. 在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，，则平面PAB与平面ABCD的夹角为___________ 解：分别取的中点，连接， 因为侧面PAB是等边三角形，，四边形ABCD是边长为2的正方形， 所以， ， 又，平面平面 所以是平面PAB与平面ABCD的平面角， 又， 所以， 所以， 所以平面PAB与平面ABCD的夹角为 16. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为___________. 解：取中点，连接 因为，三个侧面与底面全等，则， 所以，故是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，又 所以 由，所以 17. 如图，四棱锥中，面和面均垂直于面． （1）求证：面面； （2）若底面是边长为2的正方形，直线与面所成的角为． （i）求直线与面所成角的正弦值； （ii）求二面角的余弦值． 解：（1）在面内分别作于于F． 因为面面且面面，所以面， 因为面，故，即． 同理得，而，面，所以面， 而面，所以面面． （2）（i）由（1）知面，所以即为直线与面所成的角，故 从而，连接，设与交于点O，连接， 则，而面面，面面， 平面，所以面，故即为直线与面所成的角， 在中，； （ii）过B作于H，连接，注意到：与全等．所以， 故即为二面角的一个平面角， 因为平面是矩形，所以，由（1）可得， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以是， 由，得，所以， 在中，由余弦定理得， 故二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$