福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题

【新结构】福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足，则（ ） A. B.1 C. D. 2.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，则（ ） A. B.4 C. D.1 3.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 5.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6.棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7.若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.双曲线：的左、右焦点分别为，，且的两条渐近线的夹角为，若（为的离心率），则（ ） A. B. C. D.的一条渐近线的斜率为 10.定义在上的函数的值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量.记表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ） A.和互为对立事件 B.事件和不互斥 C.事件和相互独立 D.事件和相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的常数项为______. 13.某圆锥的体积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为______. 14.设为数列的前项积，若，其中常数，则______（结果用表示）；若数列为等差数列，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分） 中，角，，的对边分别是，，，且，. （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长. 16.（本小题15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，，. （1）设为中点，证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17.（本小题15分） 从一副扑克牌中挑出4张和4张，将其中2张和2张装在一个不透明的袋中，剩余的2张和2张放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出，则把它放回袋中；若抽出，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的全部置换为. （1）在操作2次后，袋中的张数记为随机变量，求的分布列及数学期望； （2）记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部置换为”为，记. （i）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率； （ii）试探究与的递推关系，并说明理由. 18.（本小题17分） 在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点，且当的斜率为1时，. （1）求的方程； （2）设与的准线交于点，直线与交于点（异于原点），线段的中点为，若，求面积的取值范围. 19.（本小题17分） 若实数集，对，，均有，则称具有Bernoulli型关系. （1）若集合，，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由； （2）设集合，，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围； （3）当时，证明：. 答案和解析 1.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查复数乘法，属于基础题. 设，由条件列方程组得，，从而求出. 【解答】 解：设， 为虚数单位，复数满足， ， 解得，， . 故选：C 2.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 利用任意角的三角函数的定义列出方程，求解即可. 【解答】 解：角的终边经过点， ， 故选：D. 3.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查函数的图象的选择，涉及到函数的定义域和奇偶性，属于基础题. 利用函数定义域和奇偶性，用排除法可得结果. 【解答】 解：函数的定义域为，排除C，D， ， 函数为偶函数，图像关于轴对称，排除B， 故选：A 4.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了投影向量，是基础题. 先由该菱形中，再由向作垂线，可得的值. 【解答】 解：由已知知该菱形中， 由向作垂线，垂足即为中点，， 故选B. 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查利用指、对数函数的性质比较大小，属于基础题. 直接根据指对数函数的性质比较大小即可. 【解答】 解：， ，， ， 故选B. 6.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定及空间线段长，属于中档题. 在正方体中，易知，，可得平面，易知当平面，且时，的长度最小，计算即可. 【解答】 解：在正方体中，易知，，且，、平面， 平面， 易知当平面，且时，的长度最小， 在中，不难求得， 故选C. 7.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题.设切点坐标，由直线是曲线的一条切线，把与用含有的代数式表示，求得，令，再由导数求其最小值得答案. 【解答】 解：设切点为， 由，得，，， . 令，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又，所以有最大值， 取值范围是. 8.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了利用三角函数的单调性求参的问题，属中档题. 化简解析式，得到的形式，进一步结合题干条件求出的范围. 【解答】 解， 在上单调递增，，， 对任意的实数，在区间上不单调，的周期， ，，，故选D. 9.【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查了双曲线的几何性质的应用，是基础题，结合双曲线：和双曲线的简单几何性质分析各选项可得答案 【解答】 解：易知该双曲线实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 离心率，焦距为，即，选项A正确，选项C错误； 易知的两条渐近线的斜率为，这两条渐近线的倾斜角分别为和， 的两条渐近线的夹角为，选项B，D正确； 综上所述，应选ABD. 10.【答案】ACD 【解析】【分析】 本题考查抽象函数的性质，考查函数的值域，属于中档题. 取特殊值代入计算，结合各选项判断即可. 【解答】 解：令，则， 函数的值域为，选项A正确； 令，，则， 令，，则，选项B错误； 令，则， ，即，选项C正确； ，， ，故选项D正确； 综上所述，应选ACD. 11.【答案】BC 【解析】【分析】 本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念判断.属于中档题. 根据选项要求的事件依次判断即可. 【解答】 选项A，事件和均会出现“反，正，反”的情况，故选项A错误； 选项B，事件和均会出现“反，正，反”的情况，故选项B正确； 选项C，易知，， 事件为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则， ，故选项C正确； 选项D，由选项可知， 在事件中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则， ，故选项D错误； 综上所述，应选BC. 12.【答案】160 【解析】【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题. 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项. 【解答】 解：在的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为 故答案为：160. 13.【答案】2 【解析】【分析】 本题考查了圆锥的结构特征、体积公式应用问题，是基础题. 设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线为，根据侧面展开图得到，再利用圆锥的体积公式求得圆锥的母线长. 【解答】 解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线为， 则由得， 则圆锥高， 又圆锥的体积为， 解得， . 故答案为2. 14.【答案】；1或2 【解析】【分析】 本题主要考查递推关系，等差数列定义，属于中档题. 由，求得； 解法一，由为常数，讨论，，可得的值； 解法二，由等差数列定义得，恒成立，讨论可得的值. 【解答】 解：易知，，解得，故应填； （方法一）. 若数列为等差数列，则为常数， ①若，则恒成立，即恒成立，； ②若，则，解得 综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或2. （方法二）为等差数列，，易知，且， 当时，，， 由，可得， 对于任意恒成立， 或解得或 综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或2. 15.【答案】解：（1），由正弦定理，得， ，，， 又，，， ，且，. （2）依题意， ，， ，解得， 设边的中点为，，， 在中，由余弦定理知 ， 边上中线的长为. 【解析】本题主要考查了正余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题. （1）由正弦定理可得，再结合三角形的内角和，可解； （2）由三角形的面积可得的值，在中，由余弦定理可求结果. 16.【答案】解：（1）为中点，且， 在中，有，且， 平面平面，且平面平面， 平面， 平面，， ，，， ，，， 由勾股定理，有， ，，、平面， 平面. （2）如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 可得，，， ，， 设平面的法向量为， 则由得 令，则，，， 由（1）可知，平面， 平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为， ， 平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】本题考查了线面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题. （1）由勾股定理可得，由得，由线面垂直的判定即可； （2）建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可. 17.【答案】解：（1）由题意的取值可能为0，1，2， 当时，即第一次取出，第二次也取出. ， 当时，即第一次取出，第二次取出，或第一次取出，第二次取出， ， 当时，即第一次取出，第二次也取出. ， 的概率分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）（i）记事件“第1次取到”为，事件“总共4次操作恰好完成置换”为，则， 依题意，若第1次取出，则剩余的3次操作，须将袋中全部置换为， ①若第2次亦取出，则第3次和第4次均须取出. 其概率为， ①若第2次取出，则第3次须取出，第4次须取出， 其概率为， ，即在第1次取到的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为 （ii）（方法一）由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的全部置换为， ①当第1次取出，则剩余的次操作，须将袋中全部置换为， 概率为； ②当第1次取出，则从第2次起，直到第次均须取出，且第次取出， 概率为， ， （方法二）由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的全部置换为， 则一定有第次（最后一次）取出， ①当第次（倒数第二次）取出，则须在之前的次操作中的某一次取出， 概率为； ②当第次（倒数第二次）取出，则从第1次起，直到第次均须取出， 概率为， . 【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查概率的计算，属于难题. （1）由题意的取值可能为0，1，2，求出相应的概率，可得的分布列与期望； （2）（i）利用条件概率计算得出结论； （ii）利用递推方法得出结论. 18.【答案】解：（1）不妨设的方程为，，， 联立与的方程，得， ，， 则， 由题可知当时，，， 的方程为. （2）由（1）知， 将的纵坐标代入，得， 易知的准线方程为， 又与的准线交于点，， 则直线的方程为， 联立与的方程，得，， ，的纵坐标相等，直线轴， ， ， 点（异于原点），， ， ，即. 【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线和抛物线的位置关系，考查了抛物线中三角形的面积问题，属于较难题. （1）不妨设的方程为，，，联立与的方程，得， 则，由题可知当时，求得，从而可得的方程； （2）由（1）知，结合条件计算可得，则 ，结合可得面积的取值范围. 19.【答案】解：（1）依题意，是否具有Bernoulli型关系，等价于判定以下两个不等式对于 是否均成立：①，②， ，， 具有Bernoulli型关系. （2）（方法一）令，，， 则， ①当时，显然有，成立； ②当时， 若，则，即，在区间上单调递减， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递增， 的最小值为，，， 成立； ③当时， 若，则，即，在区间上单调递增， 若，则，即， 若，则，即，在区间上单调递减， 的最大值为，， ，即， 当，且时，不能恒成立， 综上所述，可知若具有Bemouli型关系，则， 非负实数的取值范围为. （方法二）当，或时，与方法一相同； 当时， 若，，， 若，则，又，， 由方法一的结论，可知， 即， ，且， ，即，即； 若集合，具有Bernoulli型关系，则， 非负实数的取值范围为. （3）， 显然，且， 由（2）中的结论：当时，，可知， 当时，， ， 当时，显然成立； 当时， ， 综上所述，当时，. 【解析】本题主要考查新定义问题，属于难题. （1）由Bernoulli型关系判断即可； （2）令，，，利用导数研究函数，单调性，利用单调性求的非负实数的取值范围； （3）由，，放缩法证明不等式即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$