3.1.1 函数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1 函数的概念 安徽淮南第四中学 2024.6 教学目标 素养目标 1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则，明确函数的三种表示方法 数学抽象 数学运算 逻辑推理 直观想象 2.掌握判定函数和函数相等的方法，学会求函数的定义域与函数值。 3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 重点： 1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则，明确函数的三种表示方法 2.掌握判定函数和函数相等的方法，学会求函数的定义域与函数值 难点： 掌握判定函数和函数相等的方法，学会求函数的定义域与函数值 情 境 导 入 事物都是运动变化着的,我们可以感受到它们的变化.早晨,太阳从东方冉冉升起;气温随时间在悄悄地改变;小树随着时间的变化不断长高,……,在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化. 问题　(1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系? 1.我们在初中学过哪些函数？ 1 -1 x y o 2 3 -3 1 2 3 -2 -1 -2 (1).y =kx＋b (k≠0) (3).y =ax2+bx+c (a≠0) 2.函数的传统定义： 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量. y=1是函数吗？ 知识点一 函数的概念 1.阅读以下例子: ①集合A={1,2,3,4},B={3,5,7,9} , x∈A, y∈B, y=2x+1 ②集合A={x|-3≤ x ≤0}, B={y|0≤ y ≤10}, x∈A, y∈B, y=x2; ③集合A={2 018, 2 019, 2 020},B={0.07,0.08,0.06},x与y的对应关系如下表: x 2 018 2 019 2 020 y 0.07 0.08 0.06 (1)以上3个例子中,集合A,B中的元素有什么特点? ①都包含两个非空数集A和B (2)按照给出的x与y的对应关系,对于集合A中的任意一个实数,在集合B中是否都有与之对应的实数?与之对应的实数是否唯一? x=1 y=3 x=2 y=5 x=3 y=7 x=4 y=9 y=2x+1 (3)集合B中的每一个实数都有集合A中的某一实数与之对应吗? ②都有一个对应关系,与之对应的实数是唯一 ③不一定，如第(2)集合B中元素10就没有对应 如图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（简称AQI）变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的空气质量指数I和它对应．故I是t的函数. {t|0≤t≤24} {I|0<I<150} 事实上，除了解析式、图像、表格外，还有其他表示对应关系(函数关系) 的方法，在高中，我们引进符号 f 统一表示对应关系(函数关系) 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，就称f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作: y=f(x) , x∈A A a b c … B e f g h … f: A→B 其中, x叫做自变量, x的取值 范围A叫做函数的定义域. 与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域. 对函数概念的五点说明 (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性． (3)对符号“f ”,它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． (4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值． (5)函数三要素：定义域、对应关系和值域 例1.结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数 A B f 1 2 2 4 3 6 A B f 1 2 2 4 3 6 4 A B f 1 2 2 4 3 B A f 1 2 2 4 3 6 8 例2、下列图象具有函数关系的是____. o x y x y o y o x x y o (多选)下列两个集合间的对应中,是A到B的函数的有(　　) A.A＝{-1,0,1},B＝{-1,0,1},f:A中的数的平方 B.A＝{0,1},B＝{-1,0,1},f:A中的数的开方 C.A＝Z,B＝Q,f:A中的数的倒数 D.A＝{1,2,3,4},B＝{2,4,6,8},f:A中的数的2倍 AD　A中,可构成函数关系;B中,对于集合A中元素1,在集合B中有两个元素与之对应,因此不是函数关系;C中,A中元素0的倒数没有意义,在集合B中没有元素与之对应,因此不是函数关系;D中,可构成函数关系. 判断一个对应关系是否为函数的方法 (1)定义法: ①非空性:判断A,B是否为非空的数集; ②任意性、存在性:判断A中任一元素在B中是否有元素与之对应; ③唯一性:判断B中的对应元素是否唯一确定. 满足上述三条,则可确定对应关系为函数. (2)交点法: ①任取一条垂直于横轴的直线l; ②在定义域内移动直线l; ③若l与图形在集合B中有且只有一个交点,则是函数,否则不是函数. 知识点二　区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b，规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为 　[a,b]　⁠; [a,b]　 a b (2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间,表示为 　(a,b)　⁠; (a,b)　 (3)满足不等式a≤x＜b或0＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 　[a,b),(a,b]　⁠. [a,b),(a,b]　 a b a b 注：这里的实数a与b都叫做相应区间的端点 区间的左端点一定要小于右端点，即a<b 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 [a,b]　 (a,b)　 [a,b)　 (a,b]　 区间的本质——集合 知识点三　同一个函数 前提条件  　定义域　⁠相同  　对应关系　⁠完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 定义域　 对应关系　 　定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗? 提示:不一定,如果对应关系不同,这两个函数一定不是同一个函数. f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，而g(x)的定义域是R 定义域相同但对应关系不同 f(x)的定义域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，而g(x)的定义域是[2，＋∞)， 练习：下列各组函数中是不是同一个函数？ 已学函数的定义域和值域 反比例函数 一次函数 二次函数 a > 0 a < 0 图像 定义域 值域 x y o x y o x y o x y o 知识点四 常见函数的定义域求法： 分母不为0，{x|x≠2} (-∞,2)∪(2,+∞) 偶次方根非负，{x|x≥ } {x|x≤－2或x≥2} 0次幂底数不为0， {x|x≠－1且x≠0} 函数的的定义域通常用集合、区间、不等式表示 知识点五　函数值域的求法 1.求下列函数的值域 一个非负数+一个数，则这个函数的值域为大于或等于这个数 分离常数法(拆项法) (1)y＝x2-4x＋6,x∈[1,5); 3.求下列函数的值域 解　(配方法、图象法)y＝x2-4x＋6＝(x-2)2＋2,如图所示,∵x∈[1,5),∴函数y的值域为[2,11). x y o 1 2 5 11 2 B A 1 0 2 4 3 1 1.(多选)下列对应关系或关系式中是A到B的函数的是(　　) A.A＝R,B＝R,x2＋y＝1 B.A＝{1,2,3,4},B＝{0,1},对应关系如图: C.A＝R,B＝R, D.A＝Z,B＝Z, 题型一 函数的概念 2.(多选)下列说法中正确的有(　　) A.函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应 B.函数的定义域和值域一定是无限集合 C.定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了 D.若函数的定义域中只含有一个元素,则值域中也只含有一个元素 3.(多选)设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B＝{1},那么集合A可能是(　) A.{1} B.{-1} C.{-1,1} D.{-1,0} 题型二 区间的应用 题型三 同一个函数的判定 题型四 求已知函数的定义域 1.　求下列函数的定义域: 解析:由题意得x2-x-12≥0,解得x≤-3或x≥4. 定义域为{x｜x≤-3或x≥4} 3．若函数f(x)＝ 的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2] 4．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为(　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D.{x| ＜ x＜5} x x y 10－2x＜2x，10－2x+x＞x， ＜ x＜5 要考虑两边之和大于第三边 定义域的本质是自变量的取值范围，作为函数f(x)的自变量取值 必须在区间[0,2024]上，因此，0≤x+1≤2024, -1≤ x ≤2023,同时 x≠1，g(x)的定义域是[-1,1)∪(1,2023]. 题型五 求函数的值域 求下列函数的值域: ∴函数的值域是 {y｜y∈R且y≠5}. 2.若函数f(x)＝ax2-1,a为一个正数,且f(f(-1))＝-1,那么a＝(　　) 解析:　∵f(x)＝ax2-1,∴f(-1)＝a-1,f(f(-1))＝f(a-1)＝a·(a-1)2-1＝-1. ∴a(a-1)2＝0.又∵a为正数,∴a＝1. A.1 B.0 C.-1 D.2 例：已知f(x)＝eq \f(x,1＋x)，x∈R. (1)求f(2)，f(eq \f(1,2))，f(3)，f(eq \f(1,3))的值； (2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＋f(eq \f(1,2))＋f(eq \f(1,3))＋…＋f( eq \f(1,2 023))的值． $$