2.3二次函数与一元二次方程、不等式（1）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次 方程、不等式① 安徽淮南第四中学 2023.6 课程目标 学科素养 1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方法;2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 a.数学抽象: 一元二次不等式的定义及解法; b.逻辑推理:理解三个二次的关系;c.数学运算:按步骤解决一元二次不等式; d.直观想象:运用二次函数图像解一元二次不等式; e.数学建模:将生中的不等关系转化为一元二次不等式解决; 从一次函数的角度看一元一次方程,一元一次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以让我们更简便的解决问题: ax+b=0的解 函数y=ax+b与x轴交点的横坐标 ax+b>0的解 函数y=ax+b的位于x轴的上方,对应x的取值范围的集合 ax+b<0的解 函数y=ax+b的位于x轴的下方,对应x的取值范围的集合 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式, 他们的联系又是怎样的呢? 观察二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及性质 x y O x y O x y O ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) 知识点1 一元二次不等式的概念 园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种 植花卉,若栅栏的长度是24 m,围成的矩形区域的面积要大于20 m 2,则这个矩形的长和宽应该是多少? 设这个矩形的一条边长为xcm,则另一条边长为(12-x)m,由题意,得 (12-x)x>20,其中x∈{x|0<x<12} x2-12x+20<0, x∈{x|0<x<12} (1)类比一元一次不等式,这个不等式有什么特点? (2)能否给这个不等式取个名字,并写出它的一般形式? 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的 不等式,称为一元二次不等式 一元二次不等式的一般形式是 ax2+bx+c>0(a≠0) 或 ax2+bx+c<0(a≠0) 其中a,b,c为常数,且a≠0. 1.“一元”指的是只有一个未知数,不代表只有一个字母,如a,b,c等; 2.“二次”指的是未知数的最高次必需存在且是2,并且最高次系数不为0 探究 一元二次不等式 x2-12x+20<0 与二次函数 y=x2-12x+20 之间的关系. x y O 方程x2-12x+20=0的两个实根 x1=2,x2=10 二次函数y=x2-12x+20与x轴的两个交点 (2,0), (10,0) 不等式x2-12x+20<0的解集,即为二次函数y<0对应的x的集合 知识点2 二次函数的零点 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数 x叫做二次函数的零点. 【注意】零点不是点,是交点的横坐标,是数 零点就是函数对应方程的根. 解析:由x2-3x+2=0得x1=1,x2=2,故函数y=x2-3x+2与x轴交点的横坐标为1或2. 知识点3 一元二次不等式的解法 二次函数y=x2-12x+20 的两个零点x1=2,x2=10 将x轴分成三段. x y o 2 10 当x<2 或x>10时,图像在x轴上方,y>0, 即x2-12x+20>0;当2<x<10时,y<0,即x2-12x+20<0; 故一元二次不等式x2-12x+20<0的解集是{x|2<x<10}. 求解一元二次不等式x2-12x+20<0解集的方法,是否可以推广到一般的一元二次不等式? 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系: =b2-4ac >0 =0 <0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 x1 x2 x y x x1(x2) y x y 方程ax2+bx+c=0 的根 有两相异实根x1x2(x1<x2) x1=x2 没有实数根 y=ax2+bx+c>0 (a>0) 的解集 {x|x>x2 或x<x1} {x| } R ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集 {x|x2>x>x1} 提醒 三个“二次”关系的实质:①ax2+bx+c=0的解 y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标(即二次函数的零点);②ax2+bx+c>0的解集 y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴上方时,对应x的取值集合;③ax2+bx+c<0的解集 y=ax2+bx+c的图象上的点(x,y)在x轴下方时,对应x的取值集合. 将原不等式化成 ax2+bx+c>0(a>0) 的形式 方程 ax2+bx+c=0 有 两个不相等的实数根, 解得 x1,x2 (x1<x2) 方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 原不等式的解集为{ x | x<x1 或 x>x2 } 原不等式的解集为 R 1.化标准 2.计算判别式 3.求根(因式分解、求根公式) 4.口诀(大于取两边,小于取中间) 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式: (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; =49>0,方程2x2+5x-3=0的两根分别为x1=-3,x2= x y o -3 原不等式等价于3x2-6x+2≥0. =12>0,解方程3x2-6x+2=0, 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于x的不等式ax2- (a+1)x+1<0(a<1). 解①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1. ②当a<0时,原不等式化为 >0,解得x< 或x>1. ③当0<a<1时,原不等式化为 <0.解得1<x< 综上可知,当a<0时,原不等式的解集为{x|x< 或x>1}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1}; 当0<a<1时,原不等式的解集为 解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0. 解:方程x2+(1-a)x-a=0的两根分别为x1=-1,x2=a.又函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上, 则当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1}; 当a=-1时,原不等式的解集为 ; 当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 题型三 简单的分式不等式 例3 解下列不等式: 原不等式等价于 ∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}. (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 由题意知m<0,∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为{x| <x<2}, ∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为 和2, 答案:{m|m<0} 2.解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为 ; ③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,不等式的解集为 ; 当a<0时,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 解析:原不等式可等价为(x-a)(x-1)<0,不等式解集中恰有3个整数,当a>1时,4<a≤5;当a=1时,不等式无解,不符合题意;当a<1时,-3≤a<-2.所以实数a的取值范围是{a|-3≤a<-2或4<a≤5}. 答案:{a|-3≤a<-2或4<a≤5} $$