2.2基本不等式（第1课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式(第1课时) 安徽淮南第四中学 2024.6 教学目标 素养目标 1.理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力. 数学运算 逻辑推理 直观想象 数学建模 2.通过创设具体情景,启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动,培养学生的思维能力,体会数学概念的学习方法,通过运用多媒体的教学手段,引领学生主动探索基本不等式性质,体验成功的乐趣. 3.通过问题情境的设置,使学生认识到数学是从实际中来,培养学生用数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界,从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质. 重点: 1.理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求 最值问题; 2.理解算数平均数与几何平均数的概念,学会构造条件使用基本不等式; 难点: 理解掌握基本不等式,并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题 在不等关系与不等式一节,我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式: a2+b2≥2ab ① 不难发现,公式①中,a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立. 求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R) 提示:a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ca 当且仅当a =b时,等号成立. 我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 叫做正数a,b的几何平均数; 代数意义:两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数. 知识点一 基本不等式 证法二: 探究几何意义 A B D O a b C 如图,AB是圆的直径,C是AB上与A、B不重合的一点,AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连AD,BD, 则OD=_,CD=_ Rt ACD∽Rt DCB, 几何意义:半径不小于 弦长的一半 提醒 基本不等式的常见变形: ② ① 和 积 基本不等式的功能:和积转化 知识点二 基本不等式与最值 已知x,y都是正数,则 (1)如果积xy等于定值P,那么当 x=y 时,和x+y有最小值 2 ; (2)如果和x+y等于定值S,那么当 x=y 时,积xy有最大值 . x=y x=y 提醒 利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”:①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备. 因为0<x<1,所以1-x>0, 题型一 对基本不等式的理解 例1 给出下面三个推导过程: 其中正确的推导为( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ ① ② ③ 题型二 直接应用基本不等式求最值 ∵x>0,∴由基本不等式得 例2 (1)若x>0,求y=4x+ 的最小值; 变式 若x<0,求y=4x+ 的最大值; ∵x<0,∴-x>0, (2)设0<x< ,求函数y=4x(3-2x)的最大值. 题型三 变形应用基本不等式求最值 角度一:构造法求最值 还有其他方法吗? 因为x>3,所以2x-6>0,所以 构造法求最值的策略 将已知数学表达式变形,构造出符合基本不等式条件的形式(和或积为定值).解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 角度二:巧用“1”的代换求最值 例4 已知a>0,b>0,且 ,求a+b的最小值. 故当a=5,b=20时,a+b取得最小值25. 已知a>0,b>0,且2a+b=1,求 的最小值. $$