2.1.1不等关系与比较大小课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不等关系与比较大小 安徽淮南第四中学 2024.6 教学目标 素养目标 1.通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握作差法比较大小. 数学运算逻辑推理 2.通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法. 3.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯. 重点:理解不等式(组)的实际背景,掌握作差法比较大小. 难点:理解不等式(组)的实际背景,掌握作差法比较大小. 本章,我们将在初中学习的基础上,通过具体的实例理解不等式,认识不等关系与不等式的意义与价值;在梳理等式性质的基础上,通过类比,研究不等式的性质,并利用这些性质研究一类重要不等式-基本不等式;通过从实际情景中抽象一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,理解一元二次不等式的概念,并利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式相关的问题,从而进一步体会函数观点统一方程和不等式的数学思想方法。 情 境 导 入 在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系 快与慢 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? 60≤v≤120 (1)某段高速公路限速 (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质含量p应不少于2.3%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 A B C a b c a+b>c a-b<c (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. CD<CE 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着,就可以用不等式研究相应问题了. C A B D E 知识点一 不等关系与不等式 在数学中,我们用不等式来表示不等关系. 文字语言 数学符号 文字语言 大于 > 大于,高于,超过 小于 < 小于,低于,少于 大于或等于 ≥ 至少,不少于,不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 不等式a≥b或a≤b的含义 (1)不等式a≥b含义是指“a>b,或者a=b”,等价于“a不小于b”,即若a>b或a=b中有一个正确,则a≥b正确. (2)不等式a≤b含义是指“a<b,或者a=b”,等价于“a不大于b”,即若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b正确. 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车, 且有9名驾驶员,此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型 卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足 上述所有不等关系的不等式. 设每天派出甲型卡车x辆, 乙型卡车y辆 知识点二 实数大小比较的基本事实 关于实数a,b的大小,有以下基本事实: 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么a<b. 基本事实也可以表示为: a-b>0 a>b; a-b=0 a=b; a-b<0 a<b.  提醒 (1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,至于差的值是多少无关紧要,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式;(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小;(3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小. 作差法 比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. (x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) 作差 =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) 整理 =2>0 判定符号 所以 (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 例2 已知方程x2+4x+m=0两个实根为x1,x2,将A=x12+x22,B= x1x2(x1+x2)表示为m的代数式,并比较A与B的大小 由题意得x1+x2=-4,x1x2=m,且 =16-4m≥0,即m≤4 A=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-2m, B=x1x2(x1+x2)=-4m, A-B=16+2m, 当-8<m≤4时,16+2m>0,A>B m=-8时,16+2m=0,A=B m<-8时,16+2m<0,A<B 知识点三 重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2ab a=b 题型一 用不等式(组)表示不等关系 1.(2023 全国 高一专题练习)完成一项装修工程,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,则请工人满足的关系式是( ) A. 5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C. 5x+4y=200 D.5x+4y≤200 依题意满足50x+40y≤2000 2.某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆,则 题型二 作差法比较两数(式)的大小 (2023 全国 高一专题练习)(1)已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小 (2)已知a>0,试比较a与 的大小 解析:(1) (x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1) 因为x<1,x2-x+1>0,所以x3-1<2x2-2x 又a>0,a+1>0, 若a>1,则a-1>0,a> 若a=1,则a-1=0,a= 若a<1,则a-1<0,a< 若a<0,b<0,则p A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0.若a=b,则p-q=0,此时p=q;若a≠b,则p-q<0,此时p<q.综上所述,p≤q. $$