精品解析：天津市河北区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

河北区2023-2024学年度第二学期七年级期末样卷 数学 本试卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 16的平方根是（ ） A 4 B. C. D. 2. 下面统计调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解全市初中生的每周体育锻炼时间 C. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况 3. 关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 6. 在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第二象限，则x的取值范围是（　　） A. 3＜x＜5 B. x＞5 C. x＜3 D. ﹣3＜x＜5 7. 二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　） A. 一组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 8. 如图，于，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下面图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13 计算：______． 14. 把方程写成用含x的式子表示y的形式_______． 15. 不等式的解集是___________． 16. 在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，和相交于点O，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（______）． 17. 已知关于的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围__________． 18. 在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为_______． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 20. 解方程组： 21. 某校准备开展形式多样的“阳光体育”活动，围绕着“最喜欢的体育活动项目” （只写一项）的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完的整统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次抽样调查中的样本容量为 ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“足球”所对应的圆心角的度数是 ； （3）若该校共有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“其他”活动的人数约为多少？ 22. 已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）求证：BE∥CD． 23. 为庆祝建党100周年，某银行发行了、两种纪念币，已知3枚型纪念币和2枚型纪念币面值共需55元，6枚型纪念币和5枚型纪念币共需130元． （1）求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元金额购买两种纪念币共50枚，求型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． （1）判断点A在第几象限，说明理由． （2）求点B坐标． （3）有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2023-2024学年度第二学期七年级期末样卷 数学 本试卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根，解题关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数． 2. 下面统计调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解全市初中生的每周体育锻炼时间 C. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，掌握其概念及操作注意事项是解题的关键．选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A．了解某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，故A不符合题意； B．了解全市初中生的每周体育锻炼时间适合抽样调查，故B不符合题意； C．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准适合抽样调查，故C不符合题意； D．调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况适合全面调查，故D符合题意． 故选：D． 3. 关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，不等式的解集为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 4. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质，两边同时加上或者减去相同数，或者两边同时乘以相同正数，不等号不变，不等式两边同时乘以相同负数，不等号要发生改变逐项进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式基本性质，掌握不等式基本性质是解题关键． 5. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一个正方形的面积是15 ∴该正方形的边长为 ∵9＜15＜16 ∴3＜＜4 故选：B． 6. 在直角坐标系中，点P（6﹣2x，x﹣5）在第二象限，则x的取值范围是（　　） A. 3＜x＜5 B. x＞5 C. x＜3 D. ﹣3＜x＜5 【答案】B 【解析】 【分析】根据第二象限内点的坐标符号可得不等式组：，再解不等式组，找出公共解集即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＞5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，以及解一元一次不等式组，关键是掌握各象限内点的坐标符号：第一象限：（+，+）；第二象限：（﹣，+）；第三象限：（﹣，﹣）；第四象限：（+，﹣）． 7. 二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　） A. 一组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 【答案】B 【解析】 【分析】由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解． 【详解】解：当x=1，则2+y=5，解得y=3， 当x=2，则4+y=5，解得y=1， 当x=3，则6+y=5，解得y=-1， 所以原二元一次方程的正整数解为，． 故选B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊解． 8. 如图，于，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直定义可知，由角平分线定义可知，结合即可求解． 【详解】解：∵于， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查垂直的定义及角平分线的定义，掌握垂直的定义及角平分线的定义是解决问题的关键． 9. 下面图1是某同学“抖空竹”时一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．延长交于点F，直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：如图所示：延长交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移问题点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB=4， ∵DB=1， ∴OD=3， ∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度， ∴点C的坐标为：（1+3，2）即（4，2）． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 11. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 12. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴≥， 解得：a≥-， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ∴， 解得-2≤a＜1， ∴≤a＜1， ∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式法则是解本题的关键． 14. 把方程写成用含x的式子表示y的形式_______． 【答案】 【解析】 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】方程， 解得． 故答案为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 15. 不等式解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【详解】解：， ， ， 即， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式解法，属于基础题目，注意不等式的两边同时除以或乘以同一个负数时，不等号的方向要改变． 16. 在下面的括号内，填上推理的依据． 如图，和相交于点O，． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（______）． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行进行求解即可． 【详解】解：证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 17. 已知关于的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围__________． 【答案】a＜1． 【解析】 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示x、y，再根据x＋y＜3，解不等式即可． 【详解】解： ①＋②得，3x＝6a＋3， 解得：x＝2a＋1， 将x＝2a＋1代入①得，y＝2a−2， ∵x＋y＜3， ∴2a＋1＋2a−2＜3，即4a＜4， a＜1． 故答案是：a＜1． 【点睛】本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用含a的代数式表示x、y是解题的关键． 18. 在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出第一次操作后的两边分别为和，第二次操作后的两边长分别为和，再根据和的大小分两种情况，根据剩下的纸片恰为正方形，列出方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后的两边分别为和， 第二次操作后的两边长分别为和即和， 当，即时，第三次操作后一边长为，另一条边长为即， ， ， 当，即时，第三次操作后一边长为，另一条边长为即， ， ， 则的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式，第二次操作后的边长不知道哪个长，哪个宽需要分两种情况求解是解答本题的关键． 三、解答题：本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，然后表示在数轴上，得到不等式组的解集． 【详解】解： （Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解是． 21. 某校准备开展形式多样的“阳光体育”活动，围绕着“最喜欢的体育活动项目” （只写一项）的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完的整统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次抽样调查中的样本容量为 ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“足球”所对应的圆心角的度数是 ； （3）若该校共有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“其他”活动的人数约为多少？ 【答案】（1）50，见解析 （2） （3）估计该校最喜爱“其他”活动的学生约有600人． 【解析】 【分析】（1）用最喜欢篮球的人数除以它占的百分比得到样本容量的值，再计算出最喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用最喜欢足球的人数所占的百分比乘以得到“足球”所对应扇形的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体，用2000乘以样本中最喜爱“其他”活动的学生数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意：本次抽样调查中的样本容量为． 最喜欢乒乓球的人数为：． 补全图形如下： ； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：“足球”所对应扇形的圆心角的度数为： ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计该校最喜爱“其他”活动的学生约有： 人． 答：估计该校最喜爱“其他”活动的学生约有600人． 【点睛】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体． 22. 已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E． （1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； （2）求证：BE∥CD． 【答案】（1）45° （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数； （2）根据AC∥DE，∠C=∠E，即可得出∠C=∠ABE，进而判定BE∥CD． 【小问1详解】 ∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝3∠C， ∴4∠C＝180°，即∠C＝45°； 【小问2详解】 ∵ACDE， ∴∠E＝∠ABE， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE， ∴BECD． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 23. 为庆祝建党100周年，某银行发行了、两种纪念币，已知3枚型纪念币和2枚型纪念币面值共需55元，6枚型纪念币和5枚型纪念币共需130元． （1）求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 【答案】（1）每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元；（2）10枚；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）设每枚A、B两种型号纪念币面值各x元，y元，根据3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元列出方程组，解之即可； （2）设A型纪念币采购a枚，根据用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，列出不等式，解之即可； （3）得到a的范围，可得共有三种方案，分别计算各方案所需价格，比较可得结果． 【详解】解：（1）设每枚A、B两种型号的纪念币面值各x元，y元， 依题意，得：， 解得：， ∴每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元； （2）设A型纪念币采购a枚， 依题意，得：5a+20（50-a）≥850， 解得：a≤10， ∴A型纪念币最多能采购10枚； （3）∵至少要购买A型纪念币8枚， ∴8≤a≤10， ∴a可以取8，9，10， ∴方案一：购买A型纪念币8枚，购买B型纪念币42枚，需要8×5+42×20=880元， 方案二：购买A型纪念币9枚，购买B型纪念币41枚，需要9×5+41×20=865元， 方案三：购买A型纪念币10枚，购买B型纪念币40枚，需要10×5+40×20=850元， ∴方案三最划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和不等式． 24. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． （1）判断点A在第几象限，说明理由． （2）求点B的坐标． （3）有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A在第二象限，理由见解析 （2） （3），或， 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式，方程组，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握解不等式和解方程组的一般方法，求出 （1）先求出不等式的解集，然后根据a为不等式的最大整数解，得出，最后进行判断即可； （2）解关于b、c的不等式组，得出b、c的值，即可得出答案； （3）根据，点， 得出轴，，根据，，列出关于k、h的方程组，然后解方程组，得出答案即可． 【小问1详解】 解：点A在第二象限，理由如下： ∵， ∴， ∵a为不等式的最大整数解， ∴， ∴点， ∴点A在第二象限； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴点； 【小问3详解】 解：∵点，点， ∴轴，， ∵，， ∴， 解得或， ∴，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$