精品解析：湖南省怀化市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

怀化市2024年上学期期末八年级教学质量抽测试卷数学 温馨提示： （1）本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分，附加题10分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 如图，在中，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ）． A. 小文一共抽样调查了20人 B. 样本中当月使用“共享单车”次的人数最多 C. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有15人 D. 样本中当月使用次数不足30次的人数占36％ 5. 若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 7. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=14，S△ABD=14，则CD=（　　） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ） A. 25 B. 20 C. 12 D. 二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11. 点关于y轴的对称点的坐标是______． 12. 王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的有______人． 组别 A型 B型 AB型 O型 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 13. 在中，，点D是的中点，则_______． 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm． 15. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是______． 16. 如图，在中，已知平分交边于点E，则的长度为_____． 17. 如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 18. 如图，在四边形中，，，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 如图，中，，于E．． （1）求证：平分． （2）若, ．求长． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）求的面积； （2）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，请作出平移后的图形，并写出点的坐标． 21. 如图，在中，． （1）求证：四边形菱形； （2）若，求菱形面积． 22. 某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于 60 分）绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题． 表a: 分数段 60－70 70－80 80－90 90－100 频数 6 19 m 5 频率 15% n 25% 12．5% （1）参加决赛的学生有 名，请将图b补充完整； （2）表a中的m＝ ，n＝ ； （3）如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是 ． 23. 某商品的单价为50元时，销售量为6000件，由此开始，销售单价每提高1元，销售量就减少300件． （1）求出这种商品的需求量y（件）与单价x（元）之间的函数表达式，其中； （2）当价格为60元时，这种商品需求量是多少？ （3）当价格提高到多少元时，这种商品就卖不出去了？ 24. 已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形． （2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 26. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为______；②点的坐标为______（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 四、附加题（本小题10分） 27. 如图1，在中，，,，以OB为边，在外作等边，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH； （3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN： ①M点的坐标为 ． ②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 怀化市2024年上学期期末八年级教学质量抽测试卷数学 温馨提示： （1）本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分，附加题10分． （2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上． （3）请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上） 1. 如图，在中，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，先根据，，算出，结合30度所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴ 故选：C 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点所在的象限，熟练掌握每个象限内的点坐标的特征是解题关键．根据横坐标小于0，纵坐标大于0求解即可得． 【详解】解：∵点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点所在象限是第二象限， 故选：B． 4. “共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式，小文对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法正确的是（ ）． A. 小文一共抽样调查了20人 B. 样本中当月使用“共享单车”次的人数最多 C. 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有15人 D. 样本中当月使用次数不足30次的人数占36％ 【答案】D 【解析】 【分析】利用频数分布直方图中的信息一一判断即可． 【详解】解：小文一共抽样调查了4+8+15+20+16+12＝75（人），故A选项错误，不符合题意； 样本中当月使用“共享单车”30～40次的人数最多，有20人，故B选项错误，不符合题意； 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有27人，故C选项错误，不符合题意； 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有27人，，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布直方图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 5. 若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形，根据题意得， （n﹣2）•180°＝900°， 解得n＝7． 故选：C． 【点睛】本题考查多边形内角和，掌握多边形内角和公式是解答本题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后 得到的解析式为：， 化简得：， ∵平移后得到的是正比例函数的图像， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键． 7. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB=14，S△ABD=14，则CD=（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD， ∴S△ABD=AB•DE=×14•DE=14， 解得DE=2， ∴CD=2． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据这两个条件即可逐项判断． 【详解】根据题意可得， ∴ ∵ ∴ ∴，故A选项不符合题意； 根据题意无法得到， ∴不能判定，故B选项符合题意； 根据题意可得，是的角平分线， 又∵， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴是的角平分线， ∴，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键 9. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 10. 如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ） A. 25 B. 20 C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为5，对角线BD为8，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，a为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解． 【详解】 如图，连接AC交BD于O， 由图②可知，BC=CD=5，BD=18-10=8， ∴BO=BD=×8=4， 在Rt△BOC中，CO==3， AC=2CO=6， 所以，菱形的面积=AC•BD=×6×8=24， 当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为a， 所以，a=×24=12． 故选：C． 【点睛】考核知识点：动点与函数图象．理解菱形基本性质，从函数图象获取信息是解决问题关键． 二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11. 点关于y轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标．根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案； 【详解】由题意知：点关于y轴的对称点的坐标是， 故答案为：； 12. 王老师对本班40名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班A型血的有______人． 组别 A型 B型 AB型 O型 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 【答案】16 【解析】 【分析】根据频数、频率和总量的关系：频数=总量频率，即可求解． 【详解】解：本班A型血的人数是（人）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了频数和频率的知识，掌握频数和频率的关系是解题的关键． 13. 在中，，点D是的中点，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质以及斜边上的中线等于斜边的一半，根据证明是直角三角形，再结合点D是的中点，斜边上的中线等于斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵ ∴设 则 解得 ∴ 则是直角三角形，是斜边 ∵点D是的中点 ∴ 故答案为：5 14. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=___cm． 【答案】9 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=6cm，BC=8cm， ∴由勾股定理得： (cm)， ∴DO=5cm， ∵点E，F分别是AO、AD的中点， (cm)，,， △AEF的周长= 故答案为：9． 15. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，得出，再解不等式，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴ ∴ 故答案为： 16. 如图，在中，已知平分交边于点E，则的长度为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行线的性质和平分，得出，再结合线段的和差关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 则， ∴， 故答案为：2． 17. 如图，在平行四边形中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角__________°． 【答案】40 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：平行四边形全等于平行四边形，得出，由等腰三角形的性质得出，由旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 18. 如图，在四边形中，，，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定和的长为确定的值，得到四边形的周长最小时，即为最小时，过点F作得平行四边形，知作点E关于对称点Q，连接则连接当三点共线时，的值最小，为得到最小为在中由勾股定理可得从而可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，只要最小即可， 过点F作交于点P，则四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 延长到点，使连接则 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小，为 ∴的最小值为 在中， ∴四边形的周长为 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 如图，中，，于E．． （1）求证：平分． （2）若, ．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，即可证得结果； （2）由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 ，， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 20. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）求的面积； （2）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，请作出平移后的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）11.5 （2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标、平移作图，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用割补法列式计算，即可作答． （2）先得出平移规律是向右平移个单位，向下平移个单位，再作图，然后根据图形得出的各个点的坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，的面积； 【小问2详解】 解：∵中任意一点经平移后对应点为 ∴平移规律是向右平移个单位，向下平移个单位， 如图所示： ∴ 21. 如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形面积公式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 【小问2详解】 解：， 在中，，， ∴菱形的面积 22. 某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于 60 分）绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题． 表a: 分数段 60－70 70－80 80－90 90－100 频数 6 19 m 5 频率 15% n 25% 12．5% （1）参加决赛的学生有 名，请将图b补充完整； （2）表a中的m＝ ，n＝ ； （3）如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是 ． 【答案】（1）40，图见解析 （2）10，47.5% （3）37.5% 【解析】 【分析】（1）根据表a中60-70分段的频数除以频率即为参加决赛的学生总人数，再利用80-90分段的频率求出m的值，即可补充表b； （2）在（1）问中已求出m，根据频率=频数/总数即可求出n; （3）先统计出80分以上人数之和，再除以总人数即可． 【小问1详解】 根据图a可知，分数60-70之间的人数有6人，频率为15%， 所以参加决赛的学生总数为人， ∵80-90分段的频率为25%， ∴80-90分段的频数为人， 故答案为：40． 补充图b如下： 【小问2详解】 根据（1）问中已求出的80-90分段的频数10即为m， 从表a可知，70-80分段人数为19， 所以， 故答案为：10；47.5%． 【小问3详解】 由表a可知，80分以上人数有10+5=15人， 所以优秀率=， 故答案为：37.5%． 【点睛】本题考查直方图，熟练掌握频数、频率的算法及直方图的作法是解题的关键． 23. 某商品的单价为50元时，销售量为6000件，由此开始，销售单价每提高1元，销售量就减少300件． （1）求出这种商品的需求量y（件）与单价x（元）之间的函数表达式，其中； （2）当价格为60元时，这种商品的需求量是多少？ （3）当价格提高到多少元时，这种商品就卖不出去了？ 【答案】（1） （2）件 （3）70元 【解析】 【分析】（1）根据题意，销售单价每提高元，销售量就减少件，可以写出这种商品的需求量（件与单价（元之间的函数关系； （2）将代入（1）中的函数关系式，即可求得相应的的值，从而可以求得当价格为60元时，这种商品的需求量是多少； （3）将代入（1）中的函数关系式，从而可以得到当价格提高到多少元时，这种商品就卖不出去了． 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：由题意得 ∴ 【小问2详解】 解：当元时，把代入 得出 ∴当价格为60元时，这种商品的需求量是件； 【小问3详解】 解：由题意得出， ∴当价格提高到70元时，这种商品就卖不出去了． 24. 已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形． （2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，四边形是一个正方形，证明见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用． （1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知，，所以求证，可以证明四边形为矩形． （2）根据正方形的判定，我们可以假设当，由已知可得，，由（1）的结论可知四边形为矩形，所以证得，四边形为正方形． 【小问1详解】 证明：， ． 是外角的平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【小问2详解】 解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形． 证明：， ， ， ， ， 四边形为矩形， 矩形是正方形． 故当时，四边形是一个正方形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积； （3）若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 【答案】（1）直线解析式为 （2） （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先求出点Q的坐标为：，得出，求出，分两种情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q， ∴点Q的坐标为：， ， ∴， 当点Q在点C的上方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 当点Q在点C的下方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 26. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则①的长为______；②点的坐标为______（直接写结果） （2）感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰直角如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． （3）拓展研究：如图3，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点是线段上的一个动点，点是直线上一动点．问是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得OA长，由对应边相等可得B点坐标； （2）通过证明得出点B坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； （3）设点Q坐标为，可通过证三角形全等的性质可得a的值，由Q点坐标可间接求出P点坐标. 【详解】解：（1）如图1，作轴于F，轴于E. 由A点坐标可知 在中，根据勾股定理可得； 为等腰直角三角形 轴于F，轴于E 又 所以B点坐标为： （2）如图，过点作轴． 为等腰直角三角形 轴 又 ∴， ∴， ∴． 设直线的表达式为 将和代入，得 ， 解得， ∴直线的函数表达式． （3）如图3，分两种情况，点Q可在x轴下方和点Q在x轴上方 设点Q坐标为，点P坐标为 当点Q在x轴下方时，连接，过点作 交其延长线于M，则M点坐标为 为等腰直角三角形 又 由题意得 ， 解得 ，所以 当点Q在x轴上方时，连接，过点作 交其延长线于N，则N点坐标 同理可得, 由题意得 ， 解得 ，所以 综上的坐标为：． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键. 四、附加题（本小题10分） 27. 如图1，在中，，,，以OB为边，在外作等边，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH； （3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN： ①M点的坐标为 ． ②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60°，进一步得出BC∥AE，CO∥AB，可得结论； （2）先计算出OA=，推出PB=，利用勾股定理求出AP=，再利用面积法计算BH即可； （3）①求出直线PM的解析式为y=x-3，再利用两点间的距离公式计算即可； ②易得直线BC的解析式为y=x+4，联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点， ∴AD=OB，OD=BD=OB， ∴DO=DA， ∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°， ∴∠AEO=60°， 又∵△OBC为等边三角形， ∴∠BCO=∠AEO=60°， ∴BC∥AE， ∵∠BAO=∠COA=90°， ∴CO∥AB， ∴四边形ABCE是平行四边形； （2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8， ∴AB=4， ∴OA=， ∵四边形ABCE是平行四边形， ∴PB=PE，PC=PA， ∴PB=， ∴ ∴， 即 ∴； （3）①∵C（0，4）， 设直线AC的解析式为y=kx+4， ∵P（，0）， ∴0=k+4， 解得，k=， ∴y=x+4， ∵∠APM=90°， ∴直线PM的解析式为y=x+m， ∵P（，0）， ∴0=×+m， 解得，m=-3， ∴直线PM的解析式为y=x-3， 设M（x，x-3）， ∵AP=， ∴（x-）2+（x-3）2=（）2， 化简得，x2-4x-4=0， 解得，x1=，x2=（不合题意舍去）， 当x=时，y=×（）-3=， ∴M（，）， 故答案：（，）； ②∵ ∴直线BC的解析式为：， 联立，解得， ∴， 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$