辽宁省普通高中2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学模拟试题（2）

辽宁省普通高中2023-2024学年下学期7月期末考试模拟试题（2） 高二数学 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合，B＝，则集合A∩B的子集有(　 ) A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 2． “且”是“”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 若，则的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 4． 函数在区间的大致图像为（ ） A． B． C． D． 5． 质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是（ ） A. B. 事件和事件互为对立事件 C. D. 事件和事件相互独立 6． 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（ ） A．－ B． C．－ D． 7． 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8． 已知实数x，y满足，，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 下列命题中是真命题有（ ） A．若，则是函数的极值点 B．若是函数的极值点，则 C．函数的切线与函数图像可以有两个公共点 D．函数在处的切线方程．当时， 10． 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件C是独立事件 B. 事件A与事件B是互斥事件 C. D. 11． 已知数列满足：，其中．下列说法正确的有 A．当时， B．当时，数列是递增数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 设，当取得最小值时，函数的最小值为___________. 13． 设命题：已知，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是________． 14． 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分） 已知数列中，，（）. （1）求数列的通项公式； （2）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 16． （本小题满分15分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若时，证明：当时，恒成立． 17． （本小题满分15分） 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18． （本小题满分17分） 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，补充完整下面的 2×2列联表，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 10 女 45 合计 71 88 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在 乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐 厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率． 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 19． （本小题满分17分） 已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， （1）若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； （2）当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围. （3）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的 “笃志点”. （ⅰ）已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； （ⅱ）定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由. 高二数学试卷 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2023-2024学年下学期7月期末考试模拟试题（2） 高二数学 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合，B＝，则集合A∩B的子集有(　 ) A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 2． “且”是“”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 若，则的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 4． 函数在区间的大致图像为（ ） A． B． C． D． 5． 质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是（ ） A. B. 事件和事件互为对立事件 C. D. 事件和事件相互独立 6． 已知等差数列的前项和为，，为整数，且，则数列的前9项和为（ ） A．－ B． C．－ D． 7． 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8． 已知实数x，y满足，，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 下列命题中是真命题有（ ） A．若，则是函数的极值点 B．若是函数的极值点，则 C．函数的切线与函数图像可以有两个公共点 D．函数在处的切线方程．当时， 10． 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件C是独立事件 B. 事件A与事件B是互斥事件 C. D. 11． 已知数列满足：，其中．下列说法正确的有 A．当时， B．当时，数列是递增数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 设，当取得最小值时，函数的最小值为___________. 13． 设命题：已知，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是________． 14． 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分） 已知数列中，，（）. （1）求数列的通项公式； （2）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 16． （本小题满分15分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若时，证明：当时，恒成立． 17． （本小题满分15分） 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18． （本小题满分17分） 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据， 补充完整下面的2×2列联表，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与 学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 10 女 45 合计 71 88 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为； 如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙 餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐 厅的概率分别为，，． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率． 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 19． （本小题满分17分） 已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， （1）若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； （2）当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围. （3）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的 “笃志点”. （ⅰ）已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； （ⅱ）定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由. 高二数学试卷 第 5 页 （共 6 页） 高二数学试卷 第 6 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期7月期末考试模拟试题（2） 高二数学 参考答案 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B B A D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BCD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．10 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）； （2）． 16．（1）见解析； （2）见解析． 17．（1）； （2） 18．（1）没有关联； （2）； （3） 19．（1）单调区间，略； （2） （3）（ⅰ） （ⅱ）见解析 高二数学试卷答案 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中2023-2024学年下学期7月期末考试模拟试题（2） 高二数学（教师版） 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：偏难 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 已知集合，B＝，则集合A∩B的子集有(　 ) A．2个 B．4个 C．8个 D．16个 【答案】B 【解析】由x2＋x－6<0，解得－3<x<2，又因为x∈Z，所以A＝{－2，－1,0,1}，因为ln >ln ＝－1，且ln <ln 1＝0，所以A∩B＝{0,1}，故A∩B的子集有22＝4个． 故选：B 2． “且”是“”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当0≤a<1且0<b<1时，logab>0不成立，因为a＝0时，logab>0无意义，所以充分性不成立．当logab>0时，有可能得到a>1且b>1，所以不是必要条件．因此“0≤a<1且0<b<1”是“logab>0”的既不充分也不必要条件． 故选：D 3． 若，则的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】∵n>0，∴n＋＝＋＋≥3＝6，当且仅当＝，即n＝4时取等号，∴n＋的最小值为6. 故选：C. 4． 函数在区间的大致图像为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5． 质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是（ ） A. B. 事件和事件互为对立事件 C. D. 事件和事件相互独立 【答案】B 【解析】选项A：，故A正确； 选项B：事件A和事件B可以同时发生，如事件A和事件B均为：第一次向下的数字为偶数, 第二次向下的数字为奇数，则事件A和事件B不是对立事件，故B错误； 选项C：，则，故C正确； 选项D：，又，， 则有成立，则事件A和事件B相互独立，故D正确. 故选：B. 6． 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列的前9项和为（ ） A．－ B． C．－ D． 【答案】A 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由Sn≤S5得a5≥0，a6≤0，∴解得－≤d≤－，a1＝9，a2为整数，∴d＝－2，∴an＝11－2n，∴＝＝－，∴数列的前9项和为T9＝－＋－＋－＋…＋－＝－. 故选：A. 7． 在概率论中，马尔可夫不等式给出了随机变量的函数不小于某正数的概率的上界，它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由马尔可夫不等式知，若是只取非负值的随机变量，则对，都有.某市去年的人均年收入为10万元，记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名市民去年的年收入超过100万元”为事件A，其概率为.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】记该市去年人均收入为万元，从该市任意选取3名市民，年收入超过100万元的人数为. 设从该市任选1名市民，年收入超过100万元的概率为， 则根据马尔可夫不等式可得， ， 因为， 所以， 令，则， ，即， 在上单调递增. ，即. 故选：D 8． 已知实数x，y满足，，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，由于，，所以，则故，则，故A错误， 令，则，当时，，所以在上单调递增，故，所以，故， 由于，所以，又，则， 令,当时，，所以在上单调递增，由于，，且，即，所以，故C正确， 令，故当当故，因此，又，所以，结合的单调性可得，故B错误， 由得故，所以 则，由于且均为单调递增，所以在单调递增，故，故当时，，故D错误， 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 下列命题中是真命题有（ ） A．若，则是函数的极值点 B．若是函数的极值点，则 C．函数的切线与函数图像可以有两个公共点 D．函数在处的切线方程．当时， 【答案】BCD 【分析】举反例判断选项A、B；给出符合要求的函数以判断选项B；利用导数定义求得否定选项C；求得的单调递增区间判断选项D. 【详解】选项A：令，则， 则为R上的单调递增函数，无极值点. 故不能由得到0是函数的极值点.判断错误； 由极值点定义可知选项B正确； 选项C：令，则是的切线， 切线与有两个公共点.判断正确； 选项D：函数在处的切线方程. 则当时，， 则当时，.判断错误； 故选：BCD 10． 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件C是独立事件 B. 事件A与事件B是互斥事件 C. D. 【答案】BD 【解析】根据题意，A事件两瓶均为红色颜料，C事件为一瓶红色，一瓶蓝色颜料，则A发生C必定不能发生， ∴,故A、C不为独立事件，为互斥事件，即A错误； ∴，即C错误； 若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A、B为互斥事件，即B正确； 则，若C事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色；甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色；甲取1瓶红色，1瓶蓝色，则，即D正确. 故选：BD 11． 已知数列满足：，其中．下列说法正确的有 A．当时， B．当时，数列是递增数列 C．当时，数列是递增数列 D．当时， 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A，当时，， 又因为，所以，所以，故A正确； 对于选项B，因为，且，所以， 当时，，即， 所以数列是常数列，故B不正确； 对于选项C，因为数列是递增数列，所以当时，， 即 所以，所以，且， 即，且，解得或，故C正确； 对于选项D，当时，， 结合可知：， 结合可知数列是递增数列， 所以，所以，即， 所以， 即，所以， 当时，，所以， 于是可得：，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 设，当取得最小值时，函数的最小值为___________. 【答案】10 【分析】表示点与点距离的平方，而点是直线上任一点，点（）是反比例函数在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得，从而得，再利用绝对值三角不等式可求出函数的最小值 【详解】解：表示点与点距离的平方， 而点是直线上任一点， 点是反比例函数在第四象限上的点， 当是斜率为的直线与相切的切点时， 点到直线的距离即为的最小值， 由， ， 所以， 当且仅当取等号， 所以函数的最小值为10， 故答案为：10 13． 设命题：已知，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(2,6] 【解析】对于p：因为a＋b＝ab≤2，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以m2－5m－2≤a＋b恒成立，则m2－5m－2≤4，即－1≤m≤6.对于q：存在x∈[－1,1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，只需(x2－2x＋m－1)min≤0，而(x2－2x＋m－1)min＝－2＋m，所以－2＋m≤0，所以m≤2.因为p，q有一真一假，所以若q为假命题，p为真命题，则所以2<m≤6；若p为假命题，q为真命题，则所以m<－1. 综上，m<－1或2<m≤6. 14． 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案. 【详解】由， 当时，， 两式相减可得：， ∴，由，显然成立， 设， ∴当时，，当时，， 因此，，数列单调递增，当时，数列单调递减， 由，，故当或时，数列取最大值，且最大值为， 对任意，所有的正整数n都有成立，可得， 因此，，即对任意恒成立， 由，当且仅当，即时取最小值，则， ∴实数k的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分） 已知数列中，，（）. （1）求数列的通项公式； （2）若对于，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得，从而得出数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出结果； （2）将问题转化成，当时，，当时，通过构造，利用数列的单调性，得出，进而可求出结果. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②得，整理得到， 又由，当时，得到，即， 故数列从第二项起，是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 又时，，所以. （2）因为，等价于，当时，， 由（1）知，当时，， 设， 则对恒成立， 所以，故当时，， 又，所以. 【点睛】关键点点睛：第（2）问，利用分离参数法得，从而构造，从而研究函数的单调性求出的范围. 16． （本小题满分15分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 17． （本小题满分15分） 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得； （2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，， 所以； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以． 18． （本小题满分17分） 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求． （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，补充完整下面的2×2列联表，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 10 女 45 合计 71 88 （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，． （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第天他去甲餐厅用餐的概率． 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）没有关联； （2）（ⅰ）； （ⅱ） 【分析】（1）补充完整2×2列联表后，根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解；（2）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解（ⅰ），根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解（ⅱ）. 【解析】（1） 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 依据表中数据，， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联． （2）设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”， 则两两独立，． 根据题意得， ． （ⅰ）由，结合全概率公式，得 ， 因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为． （ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为， 则，由全概率公式，得 故    ① 同理    ②     ③     ④ 由①②，， 由④，，代入②，得：，即， 故是首项为，公比为的等比数列， 即，所以 于是，当时， 综上所述： 19． （本小题满分17分） 已知函数，，其中为自然对数的底数，设函数， （1）若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的 取值范围； （2）当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式 对任意恒成立，求实数的取值范围. （3）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称 为函数的“笃志点”. （ⅰ） 已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； （ⅱ）定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）单调区间，略；； （2）； （3）（ⅰ）； （ⅱ）见解析 【解析】（1）， ， 当时，，，故，函数单调递增； 当时，，，故，函数单调递减； 当时，，，故，函数单调递增； 综上所述：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ，，画出函数图像，如图所示： 根据图像知. （2），， 取，得到或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故是极大值点，是极小值点， 恒成立， ，，故， 设，， ， 设，则恒成立， 故在上单调递减，， 当时，，函数单调递减，； 当时，存在，使得， 时，，函数单调递减；时，，函数单调递增； 故，不成立； 综上所述：. （3）①有三个不等的实数根， 当时，，故，解得，不符合； 当时，，故，即， 令，则在上恒成立，故在上单调递增，故， 故当时，在有1个“笃志点”； 当时，，故， 则，由于至多有两个根， 结合前面分析的取值范围为的子集， 令，其中， ，当时，， 的图象的对称轴为， 故在上有两个不相等的实数根， 综上所述： 函数有且只有3 个“笃志点”，则实数的取值范围为； ② 定义在上的函数满足： 存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立， 故，， 因为，所以， 即， 比较与的大小关系， 若存在，使得，即， 则有成立， 故对于有序实数对，函数“笃志点” 个数为奇数个， 同理，对于定义在上的函数满足： 存在唯一实数，对任意的实数，使得恒成立， 故，， 因为，所以， 即，可得到同样的结论；综上所述：若存在，使得， 则函数“笃志点”个数为奇数个， 否则，函数“笃志点”个数为偶数个. 高二数学试卷解析 第 1 页 （共 12 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$导通喜中024学年下学期7月期末考换拟题《2) ■ ■ ■ ■ ■ 高二数学显卡 请在各题日的名提区城内为作著，目出边糖的著案光镜 请在客想日的苦是区城内件差、植出边相能诺离无签 性名 西。解著题《共7分》 16.(本小是满分5分》 海顶家集 5惠小题满种口分】 条形码粘贴处 四团 中书中弹物行 年神海非中节年有有向单单卡运 为时钟年中布：48特一84一钟的中年中5，转线 时条球+华B有4ea与线 第一园分遗择里（其58分） 接用鞋铺某值块 ■■■=■■■==■■■■■ 13411年话1 手快111[目#1 表1肉1Li6山8 e 144411614b1 年快11s0 141e40101 31441e4401 11*1i41tt4e 444g451 年料华P ■■■■■ 第二都分非透掉围 请用得和男售字连答字笔书写 三.填空复《小赠5分，共5分》 12 此区域内禁止答题 适在各起日的蕾整区速内作花。越出有的首真无拔 请在各日的溶区城内准著，星出边机的馨案无效 库在备题甘的答题区域内件苦越出道框活黄无线 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 清在各鞋甘的苦髓色城内作若，植出边和的苦桌龙效 清在老最日的苦差区城内作苦，超出造座的苦束无效 满在备强且的香瑟区城内作答。柱出造日的若果无签 17(小本题端分5分 1信本个里满分17分) 1从（本小里满分17分） 减智区域 性制 金计 南区 北风 男 10 女 45 合计 71 R& 讲在券是日的馨题区城内作落、婚出边知行落数无数 清在各酒日的苦爱区城内作苦，相出边是的苦案无道 通在各题日的苦超区铺内件若，娃台意朝粉活黄无蛟 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■