辽宁省普通高中2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学模拟试题（1）

辽宁省普通高中2023-2024学年下学期7月期末考试模拟试题（1） 高二数学 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：中档 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 集合，则（ ） A． B． C． D． 2． 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D． 3． 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A．0.484 B．0.628 C．0.936 D．0.968 4． 已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 5． “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ） A． B． C． D． 6． 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7． 已知数列为等差数列，其前n项和为，，且，也是等差数列，则（ ） A．n B． C． D． 8． 直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 10． 下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 D．已如随机变量的分布列为，则 11． 记函数与的定义域的交集为，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（ ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 若不等式的一个充分条件为，则实数的最小值是______． 13． 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为___________． 14． 设为中最大的数．已知正实数，记，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分） 已知函数，a∈R． （1）讨论的单调性； （2）若只有一个零点，求的取值范围． 16． （本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数 的取值范围． 17． （本小题满分15分） 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，经一段时间后测量这200只小白鼠的某项指标值，并将此指标值按照分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （1）填写下面的列联表，判断能否有的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有 关； （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫 苗，结果又有20只小自鼠产生抗体． （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记2个人注 射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求X的概率分布． 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 18． （本小题满分17分） 已知函数，设的极值点为． （1）讨论的极值点的个数； （2）求证：； （3）若恒成立，求实数a的最大值． 19． （本小题满分17分） 设正整数，，，，． 若，，则称具有性质． （1）当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； （2）若具有性质， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 高二数学试卷 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期7月期末考试模拟试题（1） 高二数学 参考答案 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D A D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13． 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）见解析； （2）a≤0或a＝1或a＝e． 16．（1）； （2）． 17．（1）列联表见解析，有； （2）（i）； （ii）分布列见解析； 18．（1）答案见解析； （2）答案见解析； （3） 19．（1）27或32 （2）（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 高二数学试卷答案 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中2023-2024学年下学期7月期末考试模拟试题（1） 高二数学（教师版） 试题考查范围：选择性必修2第四章，选择性必修3，必修1第一、二章 试卷难度：中档 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． （2024·全国甲卷(理)）集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解． 【详解】因为，所以， 则，． 故选：D 2． 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个根，且， 因此，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以不等式为. 故选：A 3． 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A． 0.484 B． 0.628 C． 0.936 D． 0.968 【答案】C 【解析】由正态分布的对称性可知,所以， 故选：C 4． 已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 即曲线在处的切线斜率为， 且直线的斜率为， 由题意可得：，解得. 故选：B. 5． “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则， ， 故， 故. 故选：D 6． 设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为满足，令， 则，所以在上单调递减， 所以，即，所以. 所以. 故选：A 7． 已知数列为等差数列，其前n项和为，，且，也是等差数列，则（ ） A．n B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为d，由推出，由是等差数列，推出为完全平方式，结合判别式求得d的值，即可求得答案. 【详解】由得，而， 由于是等差数列，故为完全平方式， 故，解得或0（舍）， 故，则， 故选：D 8． 直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围. 【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：； 设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：， 构造函数, 当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，，当，，函数的图象大致如下图所示： 要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为>>0，所以0<a<b． A选项，a2(1＋b)－ab(1＋a)＝a2＋a2b－ab－a2b＝a(a－b)<0，故A正确； B选项，若a＝2，b＝3，则a3＋b3－2ab2＝8＋27－36＝－1<0，故B错误； C选项，因为(－)2－()2＝2a－2<0，－>0，>0，所以－<，故C正确； D选项，若a＝2，b＝3，则loga＋23－logb＋13＝log43－log43＝0，故D错误． 故选：AC 10． 下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中任选4人，选出的女生个数服从超几何分布 D．已如随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，根据正态分布的性质，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，可取，则，所以选出的女生个数X服从超几何分布，故C正确； 对于D，由题意可得，得，可得，解得， 所以，故D正确； 故选：ACD 11． 记函数与的定义域的交集为，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解析】根据函数的新定义，可得两个函数的图象有一个交点，且交点的两侧图象一侧满足，另一侧满足，对于A中，令，可得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数 取得最小值，最小值为，即，所以恒成立，不符合题意； 对于B中，令，可得，所以函数单调递增，又由，设满足，且，则对任意，不等式恒成立，符合题意；对于C中，函数，，根据一次函数和二次函数的性质，可得函数的图象由两个交点，此时不满足题意；对于D中，令，可得，所以在定义域单调递增，又由，所以方程只有一个实数根，设为，则满足对任意，不等式恒成立，符合题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 若不等式的一个充分条件为，则实数的最小值是______． 【答案】2 【解析】由不等式|x|<a，当a≤0时，不等式|x|<a的解集为空集，显然不成立；当a>0时，不等式|x|<a，可得－a<x<a，要使得不等式|x|<a的一个充分条件为－2<x<0，则满足{x|－2<x<0}⊆{x|－a<x<a}，所以－2≥－a，即a≥2，故实数a的最小值是2. 13． 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 14． 设为中最大的数．已知正实数，记，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】根据函数定义可知，，，再由基本不等式可得当时，取得最小值2. 【详解】由，得，，， 所以，即，因为，所以； 由基本不等式可得，所以， 所以，， 当，即时，取得最小值2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出，，，再结合基本不等式求得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分13分） 已知函数，a∈R． （1）讨论的单调性； （2）当a＞0时，若只有一个零点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)a＝1或a＝e 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋－＝， ①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ②若a>0，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 综上，a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． (2)若a>0，因为函数在上单调递减， 在上单调递增，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得a＝1或a＝e. 16． （本小题满分15分） 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 17． （本小题满分15分） 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，经一段时间后测量这200只小白鼠的某项指标值，并将此指标值按照分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （1）填写下面的列联表，判断能否有的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有 关； （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫 苗，结果又有20只小自鼠产生抗体． （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记2个人注 射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X，求X的概率分布． 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析，有 （2）（i）；（ii）分布列见解析 【解析】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为： 在内有（只）；在内有（只）； 在内有（只）；在内有（只）， 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 在内有（只）. 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只； 而指标值小于60的小白鼠共有只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如下： 假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联. 根据列联表中数据，得， 根据独立性检验，推断不成立， 即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关 （2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”， 事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A，B，C发生的概率分别为， 则，， ， 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率， （ii）由题意，X的取值集合为， 所以X的概率分布为 X 0 1 2 P 18． （本小题满分17分） 已知函数，设的极值点为． （1）讨论的极值点的个数； （2）求证：； （3）若恒成立，求实数a的最大值． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】（1）由题意可得：的定义域为，且， ①当时，恒成立，在上单调递减，无极值点； ②当时，， 设， 因为对恒成立，所以在上递增， 又因为，且， 所以存在，使得，即， x 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以在上恰有1个极小值点； 综上所述：当时，极小值点个数为0； 当时，极小值点个数为1． （2）由题意，因为为的极值点，所以， 则，两边取对数，得，命题得证． （3）由（1）可知：在上单调递减，在上单调递增， 则， 由（2）可知：其中，且， 于是不等式恒成立， 整理得， 设， 则， 则在上单调递增，且，所以可得， 又因为在定义域内单调递减，可得， 所以，即a的最大值为4． 19． （本小题满分17分） 设正整数，，，，． 若，，则称具有性质． （1）当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； （2）若具有性质， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 【答案】（1）27或32 （2）（ⅰ）证明见解析 （ⅱ） 【分析】（1）对题目中所给的，我们先通过分析集合中的元素，证明，，以及，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果； （2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可. 【详解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理. 引理1：若具有性质，则. 引理1的证明：假设结论不成立. 不妨设，则正整数，但， 故一定属于某个，不妨设为. 则由知存在正整数，使得. 这意味着对正整数，有， ，但，矛盾. 所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证. 引理2：若具有性质，则，且. 证明：取集合. 注意到关于正整数的不等式等价于， 而由引理1有，即. 结合是正整数，知对于正整数，当且仅当， 这意味着数列恰有项落入集合，即. 而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数， 故中的元素属于且仅属于某一个，故. 所以， 从而，这就证明了引理2的第一个结论； 再考虑集合中全体元素的和. 一方面，直接由知中全体元素的和为，即. 另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列. 所以的所有元素之和为. 最后，再将这个集合的全部元素之和相加， 得到中全体元素的和为. 这就得到，所以有 . 即，从而，这就证明了引理2的第二个结论. 综上，引理2获证. 回到原题. 将从小到大排列为，则， 由引理2的第一个结论，有. 若，则， 所以每个不等号都取等，从而，故； 情况1：若，则，矛盾； 情况2：若，则，所以，得. 此时如果，则，矛盾； 如果，则，从而，故； 如果，由于，设，，则，. 故对于正整数对，有， 从而，这与矛盾. 综上，的取值只可能是或. 当时，；当时，. 所以的所有可能取值是和. （2）①由引理1的结论，即知； ②由引理2的第二个结论，即知. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理. 高二数学试卷解析 第 1 页 （共 10 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$导管通中024学年下学期7月期末考拟试题《) ■ ■ ■ ■ ■ 高二数学显卡 请在各题日的名提区城内为作著，目出边糖的著案光镜 请在客想日的苦是区城内件差、植出边相能诺离无签 性名 西。解著题《共7分》 16.(本小是满分5分》 海顶家集 5惠小题满种口分】 条形码粘贴处 四团 中书中弹物行 年神海非中节年有有向单单卡运 为时钟年中布：48特一84一钟的中年中5，转线 时条球+华B有4ea与线 第一园分遗择里（其58分） 接用鞋铺某值块 ■■■=■■■==■■■■■ 13411海话1 手快111[目#1 表1肉1Li6山8 e 144411614b1 年快1116e001 141e40101 314411e4401 A1111L3101 444g451 年料华P ■■■■■ 第二都分非透掉围 请用得和男售字连答字笔书写 三.填空复《小赠5分，共5分》 12 此区域内禁止答题 适在各起日的蕾整区速内作花。越出有的首真无拔 请在各日的溶区城内准著，星出边机的馨案无效 库在备题甘的答题区域内件苦越出道框活黄无线 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 清在各鞋甘的苦髓色城内作若，植出边和的苦桌龙效 清在老最日的苦差区城内作苦，超出造座的苦束无效 满在备强且的香瑟区城内作答。柱出造日的若果无签 1?(本小题端分5分 保本个量满分17分) 1从（本小里满分17分） 份移黄 抗体 合计 小于0 不小干6 有放体 壹有找格 合日 ■ 讲在券是日的养超区城内作落、婚出边划始害数无鸳 清在各酒日的苦爱区城内作苦，相出边是的苦案无道 通在各题日的苦超区铺内件若，娃台意朝粉活黄无蛟 ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■