第一章 空间向量与立体几何自我检测卷-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 第一章 空间向量与立体几何自我检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四棱柱中，，，则的长为（   ）    A． B．2 C． D．3 5．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 7．如图，在长方体中，，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（　　） A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 8．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当，时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当，时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 11．已知空间直角坐标系中的四个点分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 13．正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 . 14．如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 17．（15分）如图1，在四边形ABCD中，，现将沿着AC进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图2. (1)若与平面所成的角为，证明：; (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）在圆锥PO中，AC为底面直径，为底面圆O的内接边长为的正三角形，点E为PC中点，且母线PC与底面圆O夹角为． (1)求证：平面平面． (2)求二面角的平面角的正弦值． (3)在PO上是否存在点M，使得DM与平面所成角为，若存在，请求出所在位置；若不存在，请说明理由． 19．（17分）如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 第一章 空间向量与立体几何自我检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 2．已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设两条异面直线所成的角为， 且这两条异面直线的方向向量分别是，， 则，且， 所以，即异面直线与所成角的正弦值为. 故选：D 3．如图，四棱柱中，，，则的长为（   ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由向量加法的几何意义可得，再应用向量数量积的运算律有，即可求的长. 【详解】由已知可得，， 则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为． 故选：D. 5．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 6．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过和分别作，， 在矩形，， ， ， 则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ,， ， ，， 则， 即与之间距离为， 故选：C． 7．如图，在长方体中，，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（　　） A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为 B．当时，若平面的法向量记为，则 C．当时，二面角的余弦值为 D．若，则 【答案】C 【详解】A选项，如图所示，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．由，可知， ， 则,设，则. 当时，，即解得， 所以，所以， 平面ABCD的一个法向量为， 所以直线BP与平面ABCD所成角的正弦值，故A错误． B选项，当时，，解得， 所以，所以. 设平面的法向量为， 因为， 由， 令，则，则， 所以，故B错误． C选项，当时，解得， 所以，平面的一个法向量为. 设平面APD1的法向量为， 因为，， 由， 令，则，，则， 所以二面角的余弦值为 ，故C正确； D选项，设，因为， 所以，解得，所以， 所以， 若，则， 解得，所以，即，故D错误． 故选：C. 8．棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示：    则，设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则．于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 函数开口向上，对称轴为，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、、， 对A：，，故，故A正确； 对B：，，则，故B错误； 对C：，，则，故C错误； 对D：，，则，故D正确. 故选：AD. 10．正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当，时，与平面所成角为 B．当时，有且仅有一个点，使得 C．当，时，平面平面 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】当，时，与重合， 由已知得，平面， 所以就是与平面所成的角， 因为， 所以， 所以， 即与平面所成角为，A正确；    当时，取线段中点分别为， 连接， 因为，即， 所以， 则点在线段上， 设，则， 则， ，， 若，则， 则， 则，所以或， 则点与、重合时，， 即当时，存在两个点使得，故B错；    当，时，， 则，所以是中点， 取中点，中点， 建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，， ，， 设平面和平面的一法向量分别为， 则，， 解得，， 令，， 可得，， 因为， 所以， 即平面平面，C正确；    若，因为，，， 所以点在侧面上， 又平面，， 所以点的轨迹是以Q为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D准确. 故选：ACD 11．已知空间直角坐标系中的四个点分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【详解】空间中四个点， 所以，，，，， 对于，因为，所以，所以，设平面法向量为，则，取，则，所以， 则点到平面的距离为：，所以，故A正确； 对于，因为，所以，又，所以，所以外接球球心为中点，设中点球心，则，所以外接球表面积为，故B正确； 对于C，分别为线段上的动点，所以的最小值为异面直线之间的距离，设为垂直于的向量，，取，则，所以，则在上投影长为，故C正确； 对于D，的最小值即为直线与平面所成角的最小值，设平面法向量为，取，则所以则，所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【详解】，又， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13．正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知正四面体的棱长为， 设P在底面上的射影为O，则O为正三角形的中心， 设D为的中点，连接，则O在上，， 且， 则，而， 故，故点M轨迹为平面内以O为圆心半径为1的圆， 以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，为z轴，建立平面直角坐标系， 设，， ， 故，， 设直线PM与直线AB的所成角为， 则， 故答案为： 14．如图，在正四棱柱中，，点分别在棱，上，，若点在棱上，当二面角为时，则 ． 【答案】1 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，得，所以可得， 设平面的法向量，则， 令 ，得，即， 因此， 化简可得，解得或， 即或， 可得. 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），， ， 又，，． （2）设，由，，得，， 解得或， 或． 16．（15分）如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱AB，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1） 如图，连接，因为，为中点，所以．          因为为直三棱柱的侧棱，所以平面．     因为平面，所以．                     因为平面，所以平面．          因为平面，所以． （2） 以点为坐标原点，，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图. 则，，，.        所以，，． 设平面的一个法向量为， 由可得，， 取，可得，，即可取．           设点到平面的距离为，则．        所以点到平面的距离为． 17．（15分）如图1，在四边形ABCD中，，现将沿着AC进行翻折，得到三棱锥，且平面平面，如图2. (1)若与平面所成的角为，证明：; (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：过作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以为与平面所成的角， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以，所以, 因为，所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）过作于，由（1）可知平面， 所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，取的中点，连接, 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，所以，得， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分）在圆锥PO中，AC为底面直径，为底面圆O的内接边长为的正三角形，点E为PC中点，且母线PC与底面圆O夹角为． (1)求证：平面平面． (2)求二面角的平面角的正弦值． (3)在PO上是否存在点M，使得DM与平面所成角为，若存在，请求出所在位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在；M点是最靠近O点的9等分点. 【详解】（1）令，连接，由为底面圆O的内接边长为的正三角形， 得，，而，则是中点，又E为PC中点， 因此，在圆锥中，平面，则平面，而平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直， 由母线PC与底面圆O夹角为，得，， 以点为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设二面角的平面角大小为，则， 所以二面角的平面角的正弦值. （3）假定在PO上存在点M，使得DM与平面所成角为， 由（2）设，则，而平面的法向量， 因此， 整理得，而，解得， 所以在PO上存在点M，使得DM与平面所成角为，M点是最靠近O点的9等分点. 19．（17分）如图，在水平放置的直角梯形中，.以所在直线为轴，将向上旋转角得到，其中. (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角余弦值不超过，求的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意，，且平面， 平面； 又，平面， 而平面，所以平面平面； （2）根据题意，旋转角即， 以A为原点，在平面ADF内，作AD的垂线为z轴， AD，AB所在直线分别作为x，y轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设为平面BCE的一个法向量， 则，， 取， 平面ADF的一个法向量为， 记平面ADF与平面BCE的夹角为， 则， 化简得，， 所以，即， 又，得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$