第02讲【整式】初中数学暑假同步专题提升复习讲义（人教版）

第02讲【整式】初中数学暑假同步专题提升复习讲义（人教版） 【核心考点】 一、代数式及相关概念 1.代数式：用运算符号把数与字母连结而成的式子叫做代数式．要按照代数式的书写规则写代数式． 2.单项式：数与字母的乘积的代数式叫单项式．单独的一个数或字母与是单项式．单项式里面的数字因数叫估单项式的系数，单项式里面所有字母因数的指数和叫做单项式的次数． 3.多项式：几个单项式的和叫多项式．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．没有字母的项叫常数项． 4.整式：单项式和多项式统称整式．可以按要求对整式进行升幂排列或降幂排列． 二、整式的运算 1.幂的运算法则： （1）同底数的幂相乘：； （2）同底数的幂相除：； （3）幂的乘方：； （4）积的乘方：； 2.整式的加减法则 （1）去括号法则：，； （2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同； 合并同类项法则：； 3.整式的乘除法则 （1）单项式乘单项式：系数相乘，同底数的幂相乘； （2）单项式乘多项式：； （3）多项式乘多项式：； （4）单项式除单项式：系数相除，同底数的幂相除； （5）多项式除以单项式：； 4.乘法公式 （1）平方差公式：； （2）完全平方公式：； 【重点难点】 乘法公式的运用、多项式的运算 【专项练习】 一、单选题 1．某学校劳动实践基地要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆总长度恰好为36米．如图，设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，根据图形的变化过程写出一个正确的等式是（　　） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的多项式：，，，，，…第个多项式是（   ） A． B． C． D． 4．的计算结果的个位数字是 （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．用正六边形按如图所示的规律拼成“蜂窝图”，其中第1个图案中有4个正六边形，第2个图案中有7个正六边形，第3个图案中有10个正六边形，第4个图案中有13个正六边形，则第2024个图案中的：“  ”的个数是（    ）    A．6075 B．6073 C．6071 D．6069 6．已知，现将a，b，c，d全部放入运算的中，然后进行去绝对值与去括号运算，称此为“绝对括号操作”．例如：，，……，下列说法： ①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等； ②当运算结果为时，有8种不同的“绝对括号操作”； ③所有的“绝对括号操作”共有6种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限循环重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，毕达哥拉斯树的形成如图所示，若第n次操作后，图中正方形的个数为511 个，则n的值为 （    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有个小三角形，这里的（    ） A．87 B．74 C．62 D．53 9．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 10．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（    ） A．676 B．674 C．1348 D．1350 二、填空题 11．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：，，，，，现有等式 表示正奇数 是第 组第 个数（从左往右数），如 ，，则 ． 12．如果，，则 ． 13．是的绝对值，是的相反数，则 ． 14．乙炔是最重要的一种炔烃，在工业中可用以照明、焊接及切断金属（氧炔焰），炔烃属于有机化合物，简单的炔烃化合物有乙炔、丙炔、丁炔、戊炔，…，按照此规律，设一个炔烃分子的碳原子个数为（），请用表示炔烃分子的氢原子个数是 ． 15．已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ． 16．若实数，满足，，则 ． 三、解答题 17．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，则______． 18．老师在黑板上给出一个代数式的值为，其中，互为倒数，让同学们解答下列问题： (1)当时，求的值； (2)珍珍说只要，满足互为倒数，结果就为某一定值，请你验证珍珍说法的正确性． 19．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 20．观察下面的式子，解答下列问题． 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：． (1)你能得到的结果吗？请写出结果． (2)求的值． 21．【教材呈现】如图是苏科版七年级上册数学教材82页的部分内容． 议一议 求代数式的值，其中、． 把，代入后求值． 把看成一个字母，这个代数式可以简化为． “整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为_____． 22．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知． (1)请说明原点在第几部分； (2)若，，，求； (3)若且，求的值． 23．如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，，依此规律，请解答下列问题． (1)图中共有______个黑点；（用含的式子表示） (2)若图中共有个黑点，求的值． 24．观察以下一系列等式： ①；②；③；④ ；…… (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式； ； (2)若字母代n表第n个等式，请用字母n表示上面所发现的规律： ； (3)请利用上述规律计算： ． 25．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 1．B 【解答】根据题意可得：， 化简得， 故选B． 2．D 【解答】图形左边剩下的面积为大正方形面积减去小正方形的面积： 图形右边为剩下的面积拼接成的矩形面积：， ∴， 故选：D． 3．C 【解答】观察多项式可得：含的项的次数是从开始的连续的自然数，含的项的系数是从开始的连续偶数，且两项之间用号连接起来， ∴第个多项式是， 故选：C． 4．D 【解答】的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 的个位数字只需看的个位数字的次方的结果即可， ∵，，，， ∴个位数字是每个一循环， ∵， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， ∴的个位数字为， 故选：D． 5．B 【解答】第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形，…， ∴第n个图案中有个正方形， ∴第2024个图案中正方形的个数为：， 故选：B． 6．C 【解答】①一定存在两种“绝对括号操作”，使其运算结果相等；说法正确； ∵， ∴ ∴，， ∴， 故①正确； 运算结果为时，有，，，，， ，， ， 共8种， 故②正确； 下面是7种不同的运算结果： 故③错误， 故选：C 7．B 【解答】第1次操作后，图中正方形的个数为个， 第2次操作后，图中正方形的个数为个， … 若第n次操作后，图中正方形的个数为个， ，即， ∴． 故选：B． 8．B 【解答】设图形中三角形的个数是为正整数）， ， ， ， ， ． ． 故选：B． 9．A 【解答】，，，， 这列数是，，，，，，且这列数是每三个一循环的， ，， ， 故选：A． 10．D 【解答】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2024个数共有674组，且余2个数， ∴奇数有个． 故选：D 11． 【解答】由题意可知：第一组有1个奇数，第二组有3个奇数，第三组有5个奇数，…，则第n组有个奇数， ∴前n组共有个奇数． ∵2025是第个奇数， ∴可令， ∴， ∴2025在第32组，即； ∵前31组共有个奇数， ∴2025是第32组第个数，即． ∴故． 故答案为： 12．8或/或8 【解答】∵，， ∴或， ∴或， 故答案为：8或 13．0 【解答】由题意可得：，， 则． 故答案为：0． 14． 【解答】中碳原子的个数为2时，氢原子个数是； 中碳原子的个数为3时，氢原子个数是； 中碳原子的个数为4时，氢原子个数是； ⋯ ∴碳原子个数为（）时，氢原子个数是； 故答案为： 15． 【解答】∵互为相反数，为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 16．或 【解答】， ， 当时，，此时不存在； 当时，， 所以或， 即或， 当，时，； 当，时，， 故答案为：或． 17．(1)2025； (2)11； (3)16． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2025； （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：11； （3）解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：16 18．(1) (2)正确，见解析 【解答】（1）解：将代入， ； （2）解：，满足互为倒数，故， 原式 ． 故珍珍说法的正确． 19．（1）3；243；（2）；（3） 【解答】（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 20．(1) (2) 【解答】（1）解：根据式子中的规律，可得； （2）． 21．(1)， (2)2 【解答】（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）， ， 故答案为：． 22．(1)第③部分 (2) (3) 【解答】（1）， ，异号． 原点在第③部分； （2）若，， 则． ， ； （3），， 即， 23．(1) (2) 【解答】（1）解：图1中共有个黑点， 图中共有个黑点， 图中共有个黑点， 图中共有个黑点， ， 图中共有个黑点， 故答案为：； （2）当时，． 24．(1) (2) (3) 【解答】（1）解：∵①； ②； ③； ∴第④个等式为：， 故答案为：； （2）解：由（1）知，第n个等式为：， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）得：． ∴ ． 25．(1) (2)，证明见解析 【解答】（1）解：根据题意可得第6个等式：； （2）解：根据题意可得第个等式为：， 证明：等式左边， 等式右边， 等式左边等式左边， 等式成立． $$