第03讲【一元一次方程】初中数学暑假同步专题提升复习讲义　

第03讲【一元一次方程】初中数学暑假同步专题提升复习讲义（人教版） 【核心考点】 一、等式的性质 1．基本性质：如果a=b，那么，，．．； 2．对称性：如果a=b，那么b=a； 3．传递性：如果a=b，b=c，那么a=c； 二、一元一次方程 1．方程：含有未知数的等式，叫做方程； 2．方程的解：使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 3．一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的整式方程叫一元一次方程； 4．一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1； 5．一般形式：；当a=o，b=0时，解为任意数；当a=o，b≠0时，无解；当a≠o，唯一解； 【重点难点】 【专项练习】 一、单选题 1．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．关于x的方程有无穷多个解，则________（    ） A． B．5 C． D．1 3．我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（　　） A．依题意，得 B．依题意，得 C．需使用生丝 斤 D．得到14斤干丝，需损耗生丝 斤 4．把公式变形为用U，S，R表示V．下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如果是方程的解，那么常数的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A． B． C． D． 8．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C． D． 9．若关于x的方程和的解相同，则m的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”．例如：，∵，且是方程的解，∴此方程为“合并式方程”．若关于的一元一次方程是“合并式方程”，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，t秒后，点A运动到点C，点B运动到点D，当时，则 秒． 12．如图，长方形中，，点E是边的中点，动点P从A点出发，以的速度沿运动，最终到达点 B．若点P运动的时间为，那么当 时，以为顶点的三角形的面积等于． 13．把黑色三角形按如图所示的规律拼成下列图案，其中第1个图中有4个黑色三角形，第2个图中有7个黑色三角形，第3个图中有10个黑色三角形，……，按此规律排列下去，则第6个图中有 个黑色三角形，第 个图中有100个黑色三角形． 14．数轴上，点从点出发沿数轴向右运动个单位长度后与点重合，若两点对应的数互为相反数，则点表示的数为 ． 15．为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度． 16．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为． （1）当 时，； （2）若点表示的数是，当的值最小时，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．如图为2024年1月的日历，其中有一个“”形框，希望我们在新的一年“”（开心学习，热爱生活）．“”形框内包含7个数． (1)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2024年1月的日历中的7个数，若设“”形框内的7个数中，从小到大排列第个数为，用含的式子表示形框内的个数字的和为________； (2)将“”形框上下左右平移，设“”形框内的个数字之和为．请求出此时“”形框中的7个数中最小的数； (3)若某两次在不同位置框住的数之和分别为，（），且，直接写出的最大值． 18．如图，点A，B，C，D在数轴上，点A表示的数是，点D表示的数是9，． (1)_________． (2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，，求t的值． 19．如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 20．【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论． 【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：   第3个等式： ； … 【规律应用】 (1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）： (2)根据以上的规律直接写出结果： _________²； (3)若 与的差为， 求n的值． 21．已知数轴上有，两点，分别代表−，，甲，乙两人分别从，两点同时出发，甲沿线段以个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点处时运动停止，乙沿方向以个单位长度/秒的速度向左运动． (1)，两点间的距离为 个单位长度；乙到达点时共运动了 秒． (2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？ (3)多少秒时，甲、乙相距个单位长度？ (4)若乙到达点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由． 22．某次篮球联赛部分球队积分表 队名 比赛场次 胜场 平场 负场 积分 (1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分； (2)直接写出______，______，______； (3)设一个队胜场，负场是平场的倍，则平______场（用含的式子表示）； (4)队平了场，该队队长声称他们队的积分是分，你认为可能吗？为什么？ 23．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 24．《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过元的部分不纳税，超过元的部分为全月纳税所得税，此项税款按小表分段累计计算：若某人月份应交纳此项税款为元，则他的当月工资、薪金为多少？ 全月应纳税所得额 税率 不超过元的部分 超过元至元的部分 10% 超过元至元的部分 15% 超过元至元的部分 20% … … 25．如图，在数轴上，点表示的数是，点在原点右侧，且    (1)求在数轴上点表示的数． (2)若动点、两点分别从、两点同时出发，点从点向右运动每秒个单位长度；点从点向左运动每秒个单位长度，且是线段的中点，是线段的中点，求经过多长时间、两点间距离是． (3)在（2）的条件下，点始终保持原速向右运动，当点、相遇时，点立即改变方向，向右运动，速度不变，点到点时停止运动，点也随之停止，在整个运动过程中，当时，求在数轴上点表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【参考答案】 1．B 【解答】根据题意，得， 故选：B． 2．C 【解答】 ， 方程有无数多个解， ∴，，解得，， ∴， 故选：C． 3．B 【解答】依题意， 得， 解得， ∴（斤）， ∴若得到14斤干丝，则需使用生丝16斤，损耗生丝2斤． 故选:B． 4．D 【解答】， ∴， ∴， ∴， 故选D． 5．A 【解答】， ， 故选：A． 6．D 【解答】把代入方程，得， 解得：， 故选：D 7．B 【解答】方程， ， 所以：． 故选：B． 8．B 【解答】∵一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， 故选：． 9．D 【解答】解方程，得， 解方程，得， ∴， 解得：， 故选：D． 10．D 【解答】∵一元一次方程是“合并式方程”， ∴是方程的解， ∴， 解得， ∴的值为， 故选：． 11．5或 【解答】由题知，，， 原点为O， 当点在点右侧， 有，， ， ， 解得， 当点在点左侧， 有，， ， ， 解得， 故答案为：5或． 12．6或 【解答】当点P在上运动时，的面积小于； 当点P在上运动时，如图1， ∵的面积等于， ∴， ∴ 解得， 当点P在上运动时，如图2， ∴， ∴ 解得， 综上可知，当或时，以B、P、E为顶点的三角形的面积等于． 故答案为：6或 13． 19 33 【解答】根据图形可以发现第一个图有4个黑色三角形， 第二个图有个黑色三角形， 第三个图有个黑色三角形， ， 第n个图有个黑色三角形， 当时，， 当时，解得：， 所以，第6个图中有19个黑色三角形，第33个图中有100个黑色三角形， 故答案为：19，33 ． 14． 【解答】设点对应的数为，则点对应的数为， ∵两点对应的数互为相反数， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 15． 99 360 【解答】∵， ∴该居民12月份需要交电费（元）； 设该居民家12月份用电x度， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 即该居民家12月份用电360度． 故答案为：99，360． 16． 2或 【解答】（1）∵点表示的数为8，是数轴上一点，且， ∴，即对应的数为， 而运动中对应的数为：， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：2或； （2）当时， ∴ ， 当时，此时代数式有最小值； 当时， ∴ ， 当时， ∴ ， 当时，此时最小值为； 综上：的最小值为，此时， 当时，解得， 当时，解得， ∴． 故答案为：． 17．(1) (2)8 (3)70 【解答】（1）解：由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为． 故答案为：； （2）设“H”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， ∴， ∴最小的数是8； （3）设7数之和为m时，从小到大排第4个数为，设7数之和为n时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， 由日历表可知， 当取23，取7时，由日历表可知不符合题意； 当取20，取10，由日历表可知符合题意， ∴的最大值为． 18．(1)9 (2)或 【解答】（1）解：∵点A表示的数是，点D表示的数是9，线段，． ∴点B所对应的数为，点C所对应的数为， ． 故答案为：； （2）解：当运动时间为秒时，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为， ∵， ∴， 解得或． 19．(1)， (2) 【解答】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 20．(1)； (2) (3) 【解答】（1）解：第4个等式：； ； （2）根据（1）中结果得：， ， 故答案为：； （3）根据（1）中结果得：与的差为， ∴， 解得：（负值舍去）． 21．(1)80，； (2)甲，乙在数轴上的点相遇； (3)秒或秒时，甲、乙相距个单位长度； (4)甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 【解答】（1）解：、两点的距离为，乙到达点时共运动了秒； 故答案为：，； （2）设甲，乙经过秒会相遇，根据题意得： ， 解得， ． 答：甲，乙在数轴上的点相遇； （3）解：两种情况，相遇前， 设秒时，甲、乙相距个单位长度， 根据题意得，， 解得； 相遇后， 设秒时，甲、乙相距个单位长度，根据题意得， ， 解得：， 答：秒或秒时，甲、乙相距个单位长度； （4）解：乙到达点需要秒，甲位于， 乙追上甲需要秒， 此时相遇点的数是， 故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是． 22．(1)，，； (2)，，； (3)； (4)不可能，理由见解析． 【解答】（1）解：由队得到，平一场积分， 由队可得，胜了场，即， ∴负一场积分， ∴由队可得，胜一场积分， 故答案为：，，； （2）解：由（）可知，， 由队可得，， ∴， 故答案为：，，； （3）解：∵胜场， ∴平场和负场共场， ∵负场是平场的倍， ∴平了场， 故答案为：； （4）解：不可能，理由如下： 若平了场，积分是分，则胜场和负场积分为分， 设胜了场，则负了场， 由题意可得，， 解得，不合题意， ∴队平了场，积分是分是不可能的． 23．个 【解答】设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 24．元 【解答】他首先缴纳了元的即元税款，假设此人工资超元至元的那部分全部纳税，则应为元，纳税总额元大于实际的纳税额元，因此能确定此人个税缴纳就在这一档． 设当月工资薪金为元，根据题意得： ， 答：当月工资薪金为元． 25．(1) (2)或 (3)点表示的数为：或 【解答】（1）解：∵点表示的数是，点在原点右侧，且 ∴， ∴数轴上点表示的数为． （2）解：依题意， ∴点表示的数为， ∵， ∴点表示的数为， ①当点在点的右侧时， 解得： ②当点在点的左侧时， 解得： 综上所述，或 （3）∵ ，即秒时，相遇， ①当时，， ∴ 解得：（舍去）或 ∴点表示的数为： ②当时，相遇点为 相遇后，点表示的数为，点表示的数为 点表示的数是，数轴上点表示的数为． ∴表示的数为，点表示的数为 ∴ 解得：（舍去）或（舍去） ∴点表示的数为： 综上所述，点表示的数为：或 $$