1.3勾股定理的应用 　教学设计　 2023—2024学年北师大版数学八年级上册

1.3　勾股定理的应用 教学目标 1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,进一步发展应用意识. 2.能熟练运用勾股定理求最短距离. 3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法. 教学重点 利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题. 教学难点 把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并解决问题. 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.勾股定理的内容是什么? 2.勾股定理逆定理的内容是什么? 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 看图片，引出问题：有一块长方形绿地，绿地周边是小路，在绿地旁边的B处有健身器材．居住在A处的居民为了走近路而不惜践踏草地直接从A到B.各位同学，你知道他们为什么不走绿地周边的路吗？ 用学生熟悉的生活实例引入并提出问题，使学生的参与兴趣浓厚、探究热情高涨，既复习了本节课需要用到的基本事实“两点之间，线段最短”和勾股定理的计算，又为下一环节奠定了良好的课堂氛围基础. 活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他只随身带了卷尺． (1)你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得边AD的长是30 cm，边AB的长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm，则边AD垂直于AB吗？ (3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？ 方法总结：判断线段的垂直关系时，一般是把线段放到三角形中，利用勾股定理的逆定理证得直角三角形，进而得到线段的垂直关系. 2.吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程． 如图1，长方体的长为9 cm，宽为7 cm，高为12 cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处，怎样爬行，路线最短？ 按照图2方式进行展开，在Rt△AC1C中运用勾股定理计算AC1的长度； 按照图3方式进行展开，在Rt△AC1B中运用勾股定理计算AC1的长度．你能求出最短路程吗？ 方法总结：在立体图形中运用勾股定理解决实际问题，一定要注意转化思想的运用，通常采取的方式是将立体图形进行展开，从而转化为平面图形，接着通过构造直角三角形，运用勾股定理进行问题求解. 1.运用直角三角形的判别条件来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许使用的工具灵活处理问题. 2.在立体图形中运用勾股定理计算线段最值时，要通过引导学生将几何体展开，并要求学生会运用转化的数学思想，从而使其在以后解决问题时能够不再拘泥于单纯的计算，而是要进行思考动手操作，进而培养学生的思考能力、动手能力以及探究能力. 活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】 例1　(教材第13页例)如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高CE＝3 m，CD＝1 m，试求滑道AC的长． 解：设滑道AC的长为x m，则AB的长为x m，AE的长为(x－1)m. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即(x－1)2＋32＝x2，解得x＝5. 故滑道AC的长度为5 m. 例2.（最短路径问题）有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，则它爬行的最短路程为________cm. ◆变式训练◆ 有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近桶边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒的长在什么范围内？ 解：设伸入油桶中的长度为x m. 则伸入长度最长时，x2＝1.52＋22.解得x＝2.5. 所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)． 伸入长度最短时，x＝1.5. 所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)． 答：这根铁棒的长应在2～3 m之间． 师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 利用勾股定理解决实际问题，同时训练学生的读题能力和规范书写解题过程的能力，使学生进一步理解勾股定理，体会数学与现实世界的联系. 活动四：课堂检测 【课堂检测】 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？ 解：如图，已知A是甲、乙的出发点，10：00甲到达B点，乙到达C点．则 AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km)． 在Rt△ABC中，BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132. 所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km. 2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离． 解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝[(3＋2)×3]＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25. 通过设置当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 课堂小结 1.课堂小结： (1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ (2)学习本节课后，还存在哪些困惑？ 2．布置作业： 教材第14页习题1.4第1、2、3题. 以提问的形式让学生复述本节课所学知识,加强学生对知识的理解和掌握,培养分析问题,解决问题的能力. 板书设计 3　勾股定理的应用 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2. 2.勾股定理的应用 (1)最短路径问题:把立体图形转化为平面图形,构造出直角三角形,利用勾股定理来解决最短路径问题. (2)利用勾股定理逆定理来判断实际问题中是否垂直. 教学反思 . 学科网（北京）股份有限公司 $$