专题 1-4 集合间的基本关系【7类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题 1-4 集合间的基本关系 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】子集、真子集的确定 【题型2】判断两集合是否相等 【题型3】韦恩图及其应用 【题型4】空集的概念及性质应用 【题型5】集合间的基本关系 【题型6】 子集与真子集的个数 【题型7】由集合间的关系求参数的范围（重难点） 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】子集、真子集的确定 1、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． （3）空集是任何集合的真子集 【注意】 （1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出． （2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 2、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． （3）空集是任何集合的真子集． 1． 已知集合，则集合的子集有 . 【答案】，，， 【解析】∵， 所以集合的子集有：，，，. 【巩固练习1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确.故选：C. 【巩固练习2】设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【解析】我们根据集合的子集中含有的元素的个数分为以下五种情形： 情形一：不含任何元素的子集有； 情形二：含有一个元素的子集有； 情形三：含有两个元素的子集有； 情形四：含有三个元素的子集有； 情形五：含有四个元素的子集有； 因此集合A的所有子集共有个. 【题型2】判断两集合是否相等 判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 2． 下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 【巩固练习1】下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误 【巩固练习2】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 【巩固练习3】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【解析】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 【题型3】韦恩图及其应用 韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 3． （23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又，所以，选项B符合，故选：B. 【巩固练习1】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}，∴NM，故答案为②． 【巩固练习2】）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以集合的元素集合也有，即.故选：B 【巩固练习3】（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由图知：，，根据选项可知或．故选：BD. 【题型4】空集的概念及性质应用 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 ∅{∅}或∅∈{∅} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 4． 已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 5． （多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 【巩固练习1】在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是 ． 【答案】②③⑤ 【解析】①，空集是任何非空集合的真子集，①正确. ②，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，②错误. ③，空集没有任何元素，③错误. ④，根据集合元素的无序性可知④正确. ⑤，集合与集合间是包含关系，不是“属于”，元素与集合之间是属于关系，⑤错误. 故答案为：②③⑤ 【巩固练习2】下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 【巩固练习3】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 【题型5】集合间的基本关系 符号 理解 图示 应用 包含于 真包含于 ⫋ 小于不等于 相等 = 两集合的元素完全相同 类型一 6． （2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 类型二 7． （2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 类型三 8． 已知集合，，若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 【巩固练习1】设，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答. 【详解】依题意，， ， ， 而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有， 集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 【巩固练习2】（多选）若集合，，则之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合间的关系分析理解. 【详解】∵，， 且为奇数，为整数， ∴，即，A、D错误，C正确； 又∵，且均为整数， ∴，B正确； 【巩固练习3】已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 【答案】B 【解析】集合，，， 集合，，， 集合，，， 时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数； 所以 【巩固练习4】已知，，且，则_______. 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 因此，. 故答案为：. 【题型6】 子集与真子集的个数 （1）基本结论 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 只 看 元 素 个 数 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） （2）满足的集合M的个数为 第一步求元素个数差为m；第二步求2m；第三步用2m-不等号个数. 类型一 求子集，真子集个数 9． 集合的非空真子集有（    ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】B 【解析】集合的非空真子集有，，，，，，， ，，，，，，，共14个.故选：B 10． 集合的真子集的个数是_______. 【答案】7 【分析】首先确定集合中的元素，再由子集概念可得． 【详解】由得，，又，所以， 时，，时，，时，， 所以原集合为，有3个元素，真子集个数为． 故答案为：7． 类型二 求中间集合的子集，真子集个数 11． 若{a，b}⊆A{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】若{a，b}⊆A⫋{a，b，c，d}， 则中必有两个元素，又是的真子集， 所以集合为，共3个 类型三 与一元二次方程结合 12． 已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据真子集的个数可得或者为单元素集，进而根据方程的根可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多一个，故或者为单元素集， 当时，则且，解得， 当为单元素集，则中只有一个元素，当时，符合题意，当时，则，解得 ， 综上，或 【巩固练习1】（23-24高一·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有 个． 【答案】15 【解析】集合，所以集合A的真子集个数是. 【巩固练习2】若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【答案】BD 【解析】具有“幸福关系”的元素组有：三组， 含一组的有，，共3个， 含二组的有，，共3个， 含三组的有共1个. 所以M的非空子集中幸福集合的个数为7个，故A错B对； 其中不含1的幸福集合个数为3个，故C错误； 其中元素个数为3的幸福集合有2个，故D正确.故选：BD 【巩固练习3】已知集合满足，这样的集合有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由得且不全部是的元素， 令，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个，故选：B. 【巩固练习4】集合至多有1个真子集，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得元素个数，分类讨论求解 【详解】当时，，满足题意， 当时，由题意得，得， 综上，的取值范围是 【题型7】由集合间的关系求参数的范围（重难点） 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集． 类型一 方程型 13． 已知集合，且，则 ． 【答案】2 【解析】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，∴a=2． 14． （多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【解析】，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 【巩固练习1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故中至多一个元素. 又，且，则或或， 当时，， 当时，， 当时，，∴．故选：D. 【巩固练习2】已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【解析】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为. 类型二 不等式型 15． 设集合，集合，若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系列不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以 16． 已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【巩固练习1】设集合，，若，则a的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解． 【详解】集合，，， ， 故的取值集合是． 【巩固练习2】已知集合，，若，求满足条件的a的取值范围． 【答案】 【分析】对B分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解. 【详解】当时，满足，此时，有，解得：； 当时，要使，只需，解得：. 综上，实数的取值范围为. 【巩固练习3】若，，且，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先求出集合中不等式的解集，再由列不等式组求解即可. 【详解】解：由已知， ， 当时，，解得 当时，，解得， 综合得. 故答案为： 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，显然，且互不包含. 2． 若某集合有32个子集，则该集合有_____个元素.若某集合有14个非空真子集，则该集合有_____个元素. 【答案】5，4 3． 满足条件⊆的集合的个数是（　　） A．7个 B．15个 C．16个 D．14个 【答案】选B。根据方法可得24-1=15 若集合，且集合A有且只有两个子集，则a的值为________ 【答案】或 【分析】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素，从而对的首项系数进行讨论求出参数的值. 【详解】由集合有且只有两个子集，所以有集合只有一个元素， 当时，为满足题意. 当时，只有一个根，则： ， 所以，综上所述：或. 4． 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，又，则， 所以实数a的取值范围是.故选：B 5． 已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 6． 设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误.故选：B. 7． 设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合,，，,，．故选：B． 8． 已知集合，若，则_______. 【答案】1 【分析】根据集合相等求得，从而求得正确答案. 【详解】依题意可知，由于， 所以，此时， 所以，解得或（舍去）， 所以. 9． 已知集合，若，则实数a等于_______. 【答案】3 【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解. 【详解】因为，所以，即， 解得或， 经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾； 时，，满足题意. 10． 已知，，若，求m的值． 【解析】，若则，满足， 若则，则或， 解得或， 所以或或. 11． 集合，，若，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先化简集合，再根据集合间的基本关系，与集合进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集中的空集的情况. 【详解】，若，则是的子集， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，实数的取值范围是． 12． （2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 13． （2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【解析】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是A的真子集成立； 若，则，因为是A的真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 14． 已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 【解析】（1）由集合，且 所以可得，此时方程组无解； 或，解得； 所以实数的值为. （2）当集合且可知： 若，则，解得 当时，若，则，，此时，不满足 若，则，此时，满足符合题意； 综上可知，实数的取值范围为或. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题 1-4 集合间的基本关系 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】子集、真子集的确定 【题型2】判断两集合是否相等 【题型3】韦恩图及其应用 【题型4】空集的概念及性质应用 【题型5】集合间的基本关系 【题型6】 子集与真子集的个数 【题型7】由集合间的关系求参数的范围（重难点） 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】子集、真子集的确定 1、子集 定义 一般地，对于两个集合、，如果集合A中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集． 记法与读法 记作⊆(或⊇)，读作“包含于”(或“包含”) 图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，即集合的子集也包括它本身，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． （3）空集是任何集合的真子集 【注意】（1）“是的子集”的含义：集合中的任何一个元素都是集合的元素，即由任意，能推出；（2）如果集合中存在着不是集合的元素，那么不包含于，或不包含． 2、真子集 定义 如果集合A是集合的子集，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合的真子集． 记法与读法 记作AB或(BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）真子集也可以叙述为：若集合，存在元素且，则称集合是集合的真子集． （2）如果集合是集合的真子集，那么集合一定是集合的子集，反之不成立． （3）空集是任何集合的真子集． 1． 已知集合，则集合的子集有 . 【巩固练习1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设集合，求集合A的所有子集以及子集的的个数. 【题型2】判断两集合是否相等 判断两个集合是否相等的方法 重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 2． 下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习1】下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选题）（2024·高一·四川成都·期中）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【题型3】韦恩图及其应用 韦恩图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． （1）表示集合的Venn图边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线． （2）用Venn图表示集合的方法叫图示法，其有点是能直观地表示出集合间的关系，缺点是集合元素的共同特征不明显． 3． （23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【巩固练习2】）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【题型4】空集的概念及性质应用 空集 1、空集的定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集． 2、0，{0}，，的关系 与0 与{0} 与 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 {}或∈{} 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 4． 已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 5． （多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】在下面的写法中：①；②；③；④；⑤，错误的写法的序号是 ． 【巩固练习2】下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5】集合间的基本关系 符号 理解 图示 应用 包含于 真包含于 ⫋ 小于不等于 相等 = 两集合的元素完全相同 类型一 6． （2024·高一·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 类型二 7． （2024·高一·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 8． 已知集合，，若，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【巩固练习1】设，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）若集合，，则之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知集合，，，则A，B，C之间的关系是（    ） A．A=BC B．AB=C C．ABC D．BC=A 【巩固练习4】已知，，且，则_______. 【题型6】 子集与真子集的个数 （1）基本结论 概念 个数 方法 子集 若，则A叫做B的子集 （是集合中元素的个数） 只 看 元 素 个 数 真子集 若A⫋B，则A叫做B的真子集 （是集合中元素的个数） 非空子集 子集中除开空集 （是集合中元素的个数） 非空真子集 子集中除开母集本身与空集 （是集合中元素的个数） （2）满足的集合M的个数为 第一步求元素个数差为m；第二步求2m；第三步用2m-不等号个数. 类型一 求子集，真子集个数 9． 集合的非空真子集有（    ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 10． 集合的真子集的个数是_______. 类型二 求中间集合的子集，真子集个数 11． 若{a，b}⊆A{a，b，c，d}，则符合条件的集合A的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 类型三 与一元二次方程结合 12． 已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【巩固练习1】（23-24高一·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有 个． 【巩固练习2】若，则称集合为幸福集合.对集合的所有非空子集，下列叙述正确的是（    ） A．幸福集合个数为8 B．幸福集合个数为7 C．不含1的幸福集合个数为4 D．元素个数为3的幸福集合有2个 【巩固练习3】已知集合满足，这样的集合有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【巩固练习4】集合至多有1个真子集，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 【题型7】由集合间的关系求参数的范围（重难点） 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若AB，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数形结合的思想，借助数轴解答． 【注意】 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集． 类型一 方程型 13． 已知集合，且，则 ． 14． （多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【巩固练习1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知集合，，若，则所有a的取值构成的集合为（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 类型二 不等式型 15． 设集合，集合，若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 16． 已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【巩固练习1】设集合，，若，则a的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，，若，求满足条件的a的取值范围． 【巩固练习3】若，，且，则实数a的取值范围是_______. 模块三 【课后作业】 1． 下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 2． 若某集合有32个子集，则该集合有_____个元素.若某集合有14个非空真子集，则该集合有_____个元素. 3． 满足条件⊆的集合的个数是（　　） A．7个 B．15个 C．16个 D．14个 若集合，且集合A有且只有两个子集，则a的值为________ 4． 已知集合，，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5． 已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 6． 设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 7． 设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8． 已知集合，若，则_______. 9． 已知集合，若，则实数a等于_______. 10． 已知，，若，求m的值． 11． 集合，，若，则实数a的取值范围是_______. 12． （2024·高一·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值；(2)若，求的值. 13． （2024·高一·广东佛山·期末）设集合 (1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求的值组成的集合． 14． 已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$