预习04 用空间向量研究距离、夹角问题（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习04用空间向量研究距离、夹角问题 一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 考点01 求点到直线的距离 【例1】将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 【变式1-1】在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 【变式1-3】如图，已知矩形所在平面外一点，平面，，，、分别是、的中点，    (1)求证：，，共面； (2)求点到直线的距离． 考点02 求点到平面、直线到平面的距离 【例3】将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【例4】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【变式2-1】在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知棱长为2的正四面体中，的一条高为，求与间的距离． 【变式2-3】如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求证：； (2)求点到侧面的距离. 考点03 求异面直线的夹角 【例5】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，在正方形中，将沿折起至. (1)求证：； (2)记二面角的大小为. 当时，求异面直线和所成角的余弦值的范围. 考点04 已知异面直线的夹角求其他量 【例7】直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【例8】如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面. (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【变式4-1】（多选）已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【变式4-3】如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 考点05 求直线与平面的夹角 【例9】已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【例10】如图，正三棱柱所有的棱长均为2，点在棱上，且满足，点是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-1】如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【变式5-2】已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．    (1)证明：平面； (2)点在直线上，求与平面所成角的最大值． 【变式5-3】在三棱台中，为等边三角形，，平面，分别为，的中点， (1)证明：平面平面； (2)若，设为线段上的动点，求与平面所成的角的正弦值的最大值. 考点06 已知直线与平面的夹角求其他量 【例11】在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【例12】如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【变式6-1】已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【变式6-3】在空间四边形ABCD中，. (1)求证:平面平面ABC; (2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由. 考点07 求平面与平面的夹角 【例13】在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为 ． 【例14】如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【变式7-1】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．    【变式7-2】如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点. (1)求证: 平面PCD⊥平面ABQ; (2)求二面角A-BQ-E的正弦值. 【变式7-3】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 考点08 已知平面与平面的夹角求其他量 【例13】在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为 ． 【例14】如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【变式7-1】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．    【变式7-2】如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点. (1)求证: 平面PCD⊥平面ABQ; (2)求二面角A-BQ-E的正弦值. 【变式7-3】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 一、单选题 1．直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 4．圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值及与底面所成角的正弦值分别为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方体中， 是棱的中点， 是侧面上的动点，且 平面，则 与平面所成角的正切值 构成的集合是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．点与平面的距离为 C．平面与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 7．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．点到平面的距离为 三、填空题 8．如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 9．在空间四边形中，，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 ． 10．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 四、解答题 11．如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 12．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 13．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 14．如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值; (2)求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值; (3)如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点到平面BMN距离的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习04用空间向量研究距离、夹角问题 一、空间距离及向量求法 1.点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2.点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 二、空间角及向量求法 1.用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 考点01 求点到直线的距离 【例1】将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 【例2】如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）建立直角坐标系，其中为坐标原点，以边所在直线为轴，以边所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示    依题意得， 因为， 所以． （2） 【变式1-1】在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，则，   ，， 故在的投影为， 点到线的距离为. 故选：D. 【变式1-2】直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 【答案】 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 【变式1-3】如图，已知矩形所在平面外一点，平面，，，、分别是、的中点，    (1)求证：，，共面； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则，，， ∵为的中点，为的中点，∴，， ，，， ∴， ∴，，共面． （2），，，， 直线的单位方向向量，， 点到直线的距离. 考点02 求点到平面、直线到平面的距离 【例3】将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 【例4】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 【变式2-1】在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】已知棱长为2的正四面体中，的一条高为，求与间的距离． 【答案】 【详解】 如图，连接，作为垂足，∴是的中心，显然面 作∥，故以为原点建立空间直角坐标系， 在中，由勾股定理得， 则，，，，， 而，，， 设和的公垂法向量为，故得，， 化为，，令，解得，， 故，设与间的距离为， 由异面直线距离公式得. 【变式2-3】如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求证：； (2)求点到侧面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由点在底面上的投影为的中点，知平面， 又平面，， 是以为斜边的等腰直角三角形，， 平面，平面， 平面，. （2），是中点，侧面是菱形，， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ，， 由（1）知直线，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得 点到平面的距离为：. 考点03 求异面直线的夹角 【例5】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 【例6】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，在平面过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 【变式3-1】如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接，，因为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形， ，为等边三角形， 则，，，， 所以，， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 【变式3-2】直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点，在平面中过作的垂线交于， 以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，， 设， 所以，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 【变式3-3】如图所示，在正方形中，将沿折起至. (1)求证：； (2)记二面角的大小为. 当时，求异面直线和所成角的余弦值的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接正方形的对角线交于点，连接. 因为四边形是正方形，所以. 由翻折不变性可知. 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）由（1）可知为二面角的平面角，即. 法1（坐标法）：如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直于平面且向上为轴正方向，建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，， 则，. 所以， 因为，所以. 法2（基底法）：不妨设，则， 以为基底，，，. 因为，， 所以， 因为，所以. 考点04 已知异面直线的夹角求其他量 【例7】直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 【例8】如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面. (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,， ,2,，,0,，,2,， 设平面的法向量,,， 则，取，得,0,， ，平面，平面． （2）设，且，则,0,，,,，,2,， 则，整理得 解得或，所以线段AH的长为或2． 【变式4-1】（多选）已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】在正三棱柱中，设的中点为，连接, 则平面，, 以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 对于A，当时，， 则， 则， 由于异面直线与所成角为，范围为大于小于等于， 故，A正确； 对于B，， 则，由于， 则， 解得或，B错误； 对于C，当时，， 则， 则，故，则，C正确； 对于D，若，则， 则， 则， 则， 解得或（舍），D正确； 故选：ACD 【变式4-2】四面体中，两两垂直，，的中点为与所成角的正切值为，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】． 【详解】 根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，设，    则，故， 设与所成的角为，则，∴， 于是，解得，故； 设与所成的角为，∵， ∴，∴与所成角的余弦值为． 【变式4-3】如图，在四棱锥中，平面，. (1)求二面角的正弦值； (2)在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， 则. 设平面的法向量， 则，取得， 设平面的法向量， 则，取得， 设二面角的大小为，则 ， 所以. （2）设，则 . 因为异面直线与所成角的大小为， 所以，解得或（舍去）. 此时， 所以点到平面的距离. 考点05 求直线与平面的夹角 【例9】已知平行四边形中，是线段的中点.沿直线将翻折成，使得平面平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在中，， 翻折后，，则， 于是，而平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，显然直线两两垂直， 如图，以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由E是线段的中点，得，， 在平面中，，， 设平面法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成角为，则， 以直线与平面所成角的正弦值为. 【例10】如图，正三棱柱所有的棱长均为2，点在棱上，且满足，点是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图： 取的中点，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 由， 取. 因为， 又直线平面，所以平面. （2）因为， 设直线与平面所成的角为， 则. 【变式5-1】如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． (1)证明：是等边三角形； (2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 【变式5-2】已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．    (1)证明：平面； (2)点在直线上，求与平面所成角的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）连结，交于点，连， 由， 知， 又平面 又底面为菱形，所以 以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，边长为4，则， 在直角三角形中，所以 所以点 ，则 所以， 所以， ， 所以， 所以， 又，平面， 所以平面， （2）设， 所以， 故， 所以 平面的一个法向量是， 设与平面所成角为，则 当时，平面，； 当时， ， 当且仅当时取等号， 又所以， 故与平面所成角的最大值为    【变式5-3】在三棱台中，为等边三角形，，平面，分别为，的中点， (1)证明：平面平面； (2)若，设为线段上的动点，求与平面所成的角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱台中，，为的中点， 所以，且，则四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为分别为，的中点，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面平面， 所以平面平面； （2）连接， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 又平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，则，故四边形为正方形，， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则，，， 不妨设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 得，令，可得， 则， 当且仅当时取“=”， 所以与平面所成角的正弦值的最大值为. 考点06 已知直线与平面的夹角求其他量 【例11】在长方体中，分别是为和的中点，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【详解】由题设，构建如下空间直角坐标系，令， 则，所以， 又面的法向量为， 由与平面所成的角为，则， 所以，可得，则， 所以该长方体的体积为. 故选：C 【例12】如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 【变式6-1】已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 【变式6-2】如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，1. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，   ，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，令，得 ， 设平面的法向量为，则，令，得 ， 显然，点平面，所以平面平面. （2）假设线段上存在点满足条件，，， 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，而，解得， 所以存在点符合题意，此时. 【变式6-3】在空间四边形ABCD中，. (1)求证:平面平面ABC; (2)对角线BD上是否存在一点，使得直线AD与平面ACE所成角为.若存在求出的值，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【详解】（1）取的中点，连, 因为，所以，且. 又，则，且. 又，则，则. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）易知两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,, 则. 设，则. 则. 设平面的法向量为， 则， 令，则，即. 又,所以， 即，即，解得或（舍去）， 因为，所以,所以， 所以. 故. 考点07 求平面与平面的夹角 【例13】在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】 设点是线段的中点，连接,由得， 由得，所以， 又正方形中,,平面,平面, 故平面，又平面,所以, 在平面内，过作，交于，则， 故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量，则即， 取，则，故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 故答案为：. 【例14】如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， 又为等边三角形，D为AC的中点， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以 在直角梯形中， 所以，又，BD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面 （2）解：由（1）知两两垂直，如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角， 则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为 【变式7-1】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．    【答案】 【详解】不妨设，，所以， ． ，， 又，平面, 可得平面； 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， 可得，取，所以； 且，取，所以， 所以，从而． 所以二面角的正弦值为． 故答案为： 【变式7-2】如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点. (1)求证: 平面PCD⊥平面ABQ; (2)求二面角A-BQ-E的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，且平面，平面， ∴平面，又，∴， ∵，为的中点，所以， 又，且平面，平面， ∴平面，又∵， ∴平面⊥平面 （2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面ABQ的法向量为， 则 ，取，则， 设平面BQE的一个法向量为， 则，取则， 则 所以二面角的正弦值为， 故所求二面角的正弦值为． 【变式7-3】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由E，F分别是PA，PD的中点，得， 在正方形中，，则， 而平面，平面，于是平面， 又平面，平面平面，平面， 因此，所以. （2）四棱锥的底面为正方形，平面，则两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 由平面平面，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 考点08 已知平面与平面的夹角求其他量 【例13】在四棱锥中，底面是正方形，若，则二面角的平面角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】 设点是线段的中点，连接,由得， 由得，所以， 又正方形中,,平面,平面, 故平面，又平面,所以, 在平面内，过作，交于，则， 故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量，则即， 取，则，故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 故答案为：. 【例14】如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面ABC，，且D为AC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以， 又为等边三角形，D为AC的中点， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以 在直角梯形中， 所以，又，BD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面 （2）解：由（1）知两两垂直，如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角， 则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为 【变式7-1】如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．若点F满足，则二面角的正弦值为 ．    【答案】 【详解】不妨设，，所以， ． ，， 又，平面, 可得平面； 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， 可得，取，所以； 且，取，所以， 所以，从而． 所以二面角的正弦值为． 故答案为： 【变式7-2】如图，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形， AD∥BC， AD⊥AB， AB=BC=1，PA=AD=2， AD=3AE， Q为PD的中点. (1)求证: 平面PCD⊥平面ABQ; (2)求二面角A-BQ-E的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵平面，平面，∴ 又，，且平面，平面， ∴平面，又，∴， ∵，为的中点，所以， 又，且平面，平面， ∴平面，又∵， ∴平面⊥平面 （2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面ABQ的法向量为， 则 ，取，则， 设平面BQE的一个法向量为， 则，取则， 则 所以二面角的正弦值为， 故所求二面角的正弦值为． 【变式7-3】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且.E，F分别是PA，PD的中点，平面与PB，PC分别交于M，N两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由E，F分别是PA，PD的中点，得， 在正方形中，，则， 而平面，平面，于是平面， 又平面，平面平面，平面， 因此，所以. （2）四棱锥的底面为正方形，平面，则两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 由平面平面，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 一、单选题 1．直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是. 故选：B 2．在棱长均相等的正三棱柱中,E为棱AB的中点,则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过E作,F为垂足,连接,则为直线与平面所成角, 设三棱柱的棱长为2,则,, ∴. 故选：A 3．如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】以为原点建立空间直角坐标系如图：设棱长为1， 则，设， 所以，平面的法向量为 ， 所以则与平面所成角的正弦值取值范围为. 对比各选项，C项不可能. 故选：C    4．圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值及与底面所成角的正弦值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设底面圆心为，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，． 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为． 因为底面，所以底面的一个法向量为， 设与底面所成的角为，则， 所以与底面所成角的正弦值为． 故选：D． 5．如图，正方体中， 是棱的中点， 是侧面上的动点，且 平面，则 与平面所成角的正切值 构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在正方体中，建立空间直角坐标系，如图，令， ，设， 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 由平面，得，即，也即， 而，平面的法向量为， 则与平面所成角的正弦值， 正切值， 令，则，， 所以正切值构成的集合是. 故选：D 二、多选题 6．已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．点与平面的距离为 C．平面与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 【答案】BD 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， A选项，则， 故， 故， 故直线与所成的角为，A错误； B选项，设平面的法向量为， ， 令得，，故， 故点到平面的距离为，B正确； C选项，设平面的法向量为， ， 令，则，故， 平面的法向量为， 故， 故平面与平面所成的角不为，C错误； D选项，因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为四边形为正方形，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 显然， 故直线与平面所成的角为，D正确. 故选：BD 7．已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．与平面所成角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【详解】对于AB，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：    正方体的边长为1，，，，，，， ，所以，， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 又，平面，所以平面，故A正确； 设平面的一个法向量为，， 则，即，不妨令，得，故， 又因为， 设直线与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，如图：    连接交于，连接， 因为，O为BD的中点， 所以，，平面，平面， 所以是二面角的平面角， 又， 故， 所以二面角的正弦值为，故C错误； 对于D，如图：    设点到平面的距离为，因为， 所以，， 因为，所以， 所以，即点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 9．在空间四边形中，，，记二面角的大小为，当时，直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形， 取中点，连接，则，，所以即为二面角的平面角. 如图： 以为原点，建立空间直角坐标系. 则，，， 则，. 设直线与所成角为， 则. 又，所以，. 所以 故答案为： 10．如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 . 【答案】2 【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形， 以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，设直线与平面所成的角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为，即， 所以， 即，解得或（舍去），所以， 故的长为2. 故答案为：2 四、解答题 11．如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)6 (2) 【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 12．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，点是线段的中点，点满足． (1)求证：平面﹔ (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，连接交于，连接， 由是的中点可得，又为正方形， 所以，所以，所以，即， 又，即，所以/， 又平面，平面，所以平面； （2） 因平面平面，且平面平面，为等边三角形，点是线段的中点， 可得，又平面，故得平面. 如图，取的中点为，连接，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，， 所以，，则， 设平面的法向量为，由， 则，故可取； 又平面的一个法向量为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 13．如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 14．如图，在四面体中，平面，点在线段上.    (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：    由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 15．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值; (2)求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值; (3)如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点到平面BMN距离的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 因为平面，且平面，所以，， 又因为，所以， 因为与底面所成的角为，所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，可得， 取，则，可得， 设PB与平面PCD所成的角为, 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. （2）根据题意，平面的一个法向量， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）因为N为AD中点，所以， 设，则， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， ∵， ∴点到平面距离为， 当时，则， ∴，当时取等号， 则， 综上，点到平面距离的取值范围的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$