精品解析：四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高一下学期期末模拟考试强基班数学试题

射洪中学高2023级强基班高一下期期末模拟考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在正方体中，直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 改革后，其他收入减少 B. 改革后，外出打工收入是改革前的 C. 改革后，养殖收入增加了一倍 D. 改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 6. 重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为 （ ） A. 24米 B. 23.5米 C. 23.65米 D. 22.65米 7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（　　）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有个根 11. 如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D. 若，则点的轨迹长度为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 13. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________. 14. A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A—BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围． 16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 17. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. （1）若，求边上的角平分线长； （2）求边上的中线的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组． （1）求∠BAC； （2）若，，，求C的坐标； （3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2023级强基班高一下期期末模拟考试 数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算得到结果. 【详解】复数 对应的点坐标为在第四象限. 故答案为D. 【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了． 2. 在正方体中，直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线角的求法求得正确答案. 【详解】画出图象如下图所示， 根据正方体的性质可知， 所以是直线与所成角， 由于三角形是等边三角形，所以， 即直线与所成角的大小为. 故选：B 3. 如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则求出的边及这边上的高即可计算作答. 【详解】在中，，，则，， 由斜二测画法规则知，，，，边上的高， 所以的面积为. 故选：B 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，原等式化为：，整理得：， 因，则，解得：， 所以. 故选：B 5. 某地为了鼓励村民在家乡创业，进行了一系列改革，一年以后当地村民的经济收入增加了一倍，已知改革前后当地村民经济收入构成比例如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 改革后，其他收入减少 B. 改革后，外出打工收入是改革前的 C. 改革后，养殖收入增加了一倍 D. 改革后，种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大 【答案】D 【解析】 【分析】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，作出表格，结合表格依次判断选项即可. 【详解】假设改革前当地村民经济收入为，则改革后当地村民经济收入为，且 其他收入 养殖收入 外出打工收入 种植有机蔬菜收入 改革前 改革后 选项A：根据表格可知改革后其他收入增加，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C错误． 选项D：由题图可知，改革后种植有机蔬菜收入所占比例增幅最大，故D正确． 故选：D 6. 重庆市酉阳山正阳楼现已竣工，它的建筑风格独特，融合了传统与现代的元素，现已成为新的网红打卡地．黔江中学高一21班某同学周末参加户外实践活动，为了测量楼高，在处测得楼顶仰角为，向右前行25米到达点，此时测得楼顶的仰角为，梯步DF长为2.7米，坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为，则楼高为 （ ） A. 24米 B. 23.5米 C. 23.65米 D. 22.65米 【答案】D 【解析】 【分析】在中，米，由余弦定理可得米，在中可求的米，由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得米，即可求解. 【详解】由，，得， 故米，由得， 在中由余弦定理可得， 解得米， 故米， 由坡度（即坡面的垂直高度和水平宽度的比）为得， 故米， 故楼高米. 故选：. 7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【详解】∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC， 又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝， 故△ABC为直角三角形． 故选B. 8. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑当丸子与六面体各个面都相切时的情况，利用等体积的方法求解出此时丸子的半径，则最大体积可求解出. 【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积， 由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，所以四面体的高为， 所以四面体的体积为，所以六面体的体积为， 根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切， 连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为， 所以，所以， 所以丸子的体积为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析丸子与六面体的位置关系以及采用等体积法求解丸子的半径，本例中六面体是规则对称图形，其体积的计算方式有两种：（1）底面积高，求解体积；（2）利用丸子的半径作为高，六面体的每个面作为底面，求六个三棱锥的体积之和即为六面体体积. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于两个平面，和两条直线m，n，下列命题中假命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，若，，则或，故A是假命题； 对于B，若，，有可能出现，故B是假命题； 对于C，若，，，有可能出现，故C是假命题； 对于D，，，则或， 若，则由得， 若，则内有直线，而易知，从而，D是真命题. 故选：ABC. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. C. 在区间上单调递减 D. 方程在区间内有个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象最值点可求得最小正周期，知A正确；代入可求得B错误；利用代入检验法，结合正弦函数单调性可知C正确；根据正弦函数的函数值可确定方程根的个数，知D正确. 【详解】对于A，由图象知：的最小正周期，A正确； 对于B，由A知：，， ，解得：， 又，，B错误； 对于C，由AB可知：， 当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，当时，， 则当或或或，即或或或时，， 在区间内有个根，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为 C. 过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A.利用中位线平行得出与点共面； 选项B. 因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，利用锥体体积公式求解即可； 选项C.由选项A知截面为正六边形,进而得解； 选项D.由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆. 【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点， 根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误； 选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长， 正方形中 ， 则三棱锥的体积为, 选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为， 选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用平行线确定平面可以得出选项AC，选项B直接利用锥体体积公式计算即可，选项D关键是理解到.由 知点轨迹为为球心，为半径的球，球与正方体平面交线为圆弧，又正方体棱长为2与球半径相等，所以每个面上的圆弧为四分之一圆. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 【答案】1800 【解析】 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 13. 已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的高后，由体积公式计算． 【详解】如图，是扇环的圆心， 长为，长为， 由已知，所以，从而，即为圆台母线长， 所以圆台的高为， 体积为 故答案为：． 14. A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥A—BCD的四个顶点在表面积为64π的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可． 【详解】由题意可知，，所以球的半径为，分别取球的两条弦的中点， 则，即弦分别是以为球心， 半径为3和2的球的切线，且弦在以为球心，半径为2的球的外部， 的最大距离为，最小距离为． 当三点共线时，分别取最大值与最小值． 故的伴随球半径分别为， 半径为时，的伴随球的体积为 ， 当半径为时，的伴随球的体积． ∴的伴随球的表面积的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求解函数的单调递减区间； （2）根据伸缩变换和平移变换得到，根据，得到，结合正弦函数图象求解出值域. 【小问1详解】 ， 令，则， 所以函数的单调递减区间为：． 【小问2详解】 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数的图象，再将图象向左平移个单位， 得到的图象， 因为，所以， 所以的值域为． 16. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】（1），63 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差的性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为， 设第25百分位数为，则，则， 解得，故第25百分位数为63． 【小问2详解】 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 17. 在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. （1）若，求边上的角平分线长； （2）求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求，再依据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理有， 所以， 即， ， ， 即，又， 所以，因为，所以， 由及余弦定理得， 即， 又因为，所以， 所以， 所以，即， 所以 【小问2详解】 因为是的中点，所以， 则， 因为，，由余弦定理有：， 即，所以 由正弦定理得： ， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边上的中线的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2） ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，， ∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组． （1）求∠BAC； （2）若，，，求C的坐标； （3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据与同向，设，利用夹角公式，结合，得到，再由，得到求解； （2）由（1）知，，得到是正三角形，利用边长相等求解； （3）设BC的中点为D，由，得到G为的重心，且为的中心，不妨设与的夹角为，，分别表示数量积求解. 【小问1详解】 解：因为与同向，设， 则， ， 又∠GAB，． 因为，所以， 所以， 由，得， 又，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，． 所以， 因为，，， 所以，，， 则，解得 所以C的坐标为． 【小问3详解】 设BC的中点为D，则，又， 所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心， 所以，，， 由对称性，不妨设与的夹角为，， 如图所示， ， ， 由图可知，与，与的夹角分别为，， 所以，的值分别为，， 当时，， 所以，其取值范围是． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $