精品解析：新疆维吾尔自治区喀什市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

喀什市2023-2024学年第二学期阶段性质量监测 试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共150分，考试用时120分钟. 2.本试卷为问答分离式试卷，其中问卷4页.所有答案一律写在答题卷上，在问卷和其他纸张上答题无效.. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，结合等差数列的基本量的运算，求得和，结合，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 可得，解得， 又由，可得，解得， 所以. 故选：C. 2. 已知数列的首项为，递推公式为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推公式逐项计算可得出的值. 【详解】由题意. 故选：D. 3. 将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，即可得答案. 【详解】每一个文件都有三种不同的发法，共有种不同方法. 故选：A. 4. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据导数的运算法则，即可求得答案. 【解答】因为，所以， 故选：D． 5. 的展开式中常数项为（ ） A. 28 B. 56 C. 70 D. 76 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可. 【详解】的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 故的展开式中常数项为． 故选：A. 6. 已知函数在处取得极值5，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值5， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：A 7. 将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】把4个人按分成3组，再分配到三个不同地区即可. 【详解】依题意，三个地区中必有一个地区有2人， 先在甲､乙､丙､丁4个人中选2个人有种组合，将这两个人捆绑在一起看作一个元素， 与其他2个人一起分配到三个地区，共有种. 故选：A 8. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值. 【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 所以，即，化简得 解得：或(舍) 故选：C 二 、多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列，则下列说法正确的是（ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解. 【详解】数列， 即， 则此数列的通项公式为，A正确，C错， 令，解得，故B正确，D错. 故选：AB 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 有极小值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先分析给定图像，由的图象可知时，，则单调递减，进一步分析其他选项，由的图象可知当时，有极值，所以有3个极值点，再找出最大值和极小值即可. 【详解】由的图象可知时，， 则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增， 所以当时，有极小值，故B正确； 由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确； 当时，，则单调递增，所以， 则在处不能取得最大值，故D错误． 故选：ABC． 11. 下列组合数公式中恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据组合数的公式可证正确，举特值可知不正确，利用两边展开式中的系数相等可证正确. 【详解】对于，因为，，所以，即正确； 对于，，故正确； 对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确； 对于，因为， 等式左边的系数为：， 等式右边的系数为：， 所以，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查了组合数公式，考查了二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线的方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由，得 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线的方程是， 即. 故答案为： 13. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 14. 如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【解析】 【分析】先不考虑收的顺序，有种方法，再考虑中间一列和右边一列在收取时的所有方法数，因挂在一列的只能先收下面的，故方法数为. 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 【答案】（1） （2）最小值为,此时. 【解析】 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）求出，求出最小值及的值. 【小问1详解】 由知为等差数列，设的公差为，则， 成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）得， 所以当时，取得最小值，最小值为 16. 已知函数，为的导函数． （1）求函数的单调性； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； （2）最大值为9，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先对函数化简后，再对函数求导，然后由导数的正负可得到函数的单调性； （2）通过列出函数与的变化求出函数的极值，再求出，然后与极值比较可求出函数的最值. 【小问1详解】 . ， 令，解得， 由得或，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，函数与的变化如下表：       单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值，， 又， 可知函数的最大值为9，最小值为. 17. 已知在的展开式中，第9项为常数项．求： （1）的值； （2）所有二项式系数的和； （3）所有项的系数的和． 【答案】（1） （2）1024； （3） 【解析】 【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由题意可知，当时，的次数为零，从而可求出的值； （2）直接由可求得结果； （3）令，可求出所有项的系数的和． 【小问1详解】 二项展开式的通项为 ． 因为第9项为常数项， 即当时，， 即，解得． 【小问2详解】 因为， 所以所有二项式系数的和为1024； 【小问3详解】 令，则， 所以所有项的系数的和为. 18. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选人排成一排； （2）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻. 【答案】（1）种；（2）种；（3）种；（4）种. 【解析】 【分析】（1）从人中选人排成一排，利用排列数公式可求得结果； （2）先考虑甲的位置，有种排法，然后将其他人全排，利用分步乘法计数原理可求得结果； （3）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案； （4）根据题意，先排名女生，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，由分步乘法计数原理计算可得答案． 【详解】（1）从人中选人排列，有（种）； （2）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有（种）； （3）（捆绑法）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）； （4）（插空法）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，共有（种）. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 19. 已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据题目条件得到方程，求出公比和首项，得到通项公式； （2）求出，利用裂项相消法求和得到答案. 【小问1详解】 等比数列各项均为正数，设数列的公比为， 由得, 因为，所以，解得， 由得，解得， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 喀什市2023-2024学年第二学期阶段性质量监测 试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共150分，考试用时120分钟. 2.本试卷为问答分离式试卷，其中问卷4页.所有答案一律写在答题卷上，在问卷和其他纸张上答题无效.. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的首项为，递推公式为，则（ ） A. B. C. D. 3. 将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中常数项为（ ） A. 28 B. 56 C. 70 D. 76 6. 已知函数在处取得极值5，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 7. 将甲､乙､丙､丁4个人全部分配到三个地区工作，每个地区至少有1人，则不同的分配方案为（ ） A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 16种 8. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二 、多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列，则下列说法正确的是（ ） A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第项 C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第项 10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递减 B. 有极小值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 11. 下列组合数公式中恒成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线的方程是__________. 13. 已知数列的前项和,则数列的通项公式为__________. 14. 如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列满足且成等比数列， （1）求的通项公式： （2）设数列的前n项和为，求的最小值及此时n的值． 16. 已知函数，为的导函数． （1）求函数的单调性； （2）求函数在上的最大值和最小值． 17. 已知在的展开式中，第9项为常数项．求： （1）的值； （2）所有二项式系数的和； （3）所有项的系数的和． 18. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选人排成一排； （2）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻. 19. 已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $