人教版数学八年级上暑假自学课专题训练专题八 角平分线性质

人教版数学八年级上暑假自学课专题训练 专题八 角平分线性质 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 尺规作图 1． 尺规作图的定义: 在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 2．五种基本作图 1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线． 3．根据基本作图作三角形 1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； 3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； 5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形 4.作图题的一般步骤 （1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论． 其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 3、尺规作图的方法 尺规作图的关键 1） 先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2） 读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题． 典例剖析1 例1-1．如图，已知，请用尺规作图法在内求作一点，使点到边和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 例1-2．如图，点D在边上．【友情提示：尺规作图要用圆规，并保留痕迹；画完图要写完整结论】 (1)画图：过点D画，交于点E； (2)尺规作图：在上取一点F，使； (3)在（1）（2）的条件下，连接，若，请说明． 知识点2 角平分线的性质 1.角平分线的作法 a.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M； b.分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P； c.画射线OP,OP即为所求角平分线。 2. 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 3. 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 典例剖析2 例2-1．如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 例2-2．在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为（    ） A． B． C．1 D．2 例2-3．如图，在和中，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3角平分线性质的综合应用 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 数学语言： ∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 数学语言： ∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB  ∴∠MOP=∠NOP 三角形的内心 三角形三条角平分线的交点。 典例剖析3 例3-1．如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 例3-2．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    例3-3．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 3、 变式训练 变式训练1 尺规作图 1．已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 2．已知：如图，线段、、．求作：，使得，，．(保留作图痕迹，不写作法) 3．如图，已知线段a、b，请按以下要求作出等腰．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）    (1)腰长，底边； (2)腰长，上的高为a． 变式训练2 角平分线的性质 1．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线，若，则 ． 2．如图，和的平分线交于点E，过点E作于点于点G． (1)试说明：． (2)猜想之间的数量关系，并说明理由． 3．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 4．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 6．如图，于于F，若，    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 变式训练3角平分线性质的综合应用 1．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 2．如图所示，铁路和铁路交于处，河道与铁路分别交于处和处，试在河岸上建一座水厂，要求到铁路，的距离相等，则该水厂应建在图中什么位置？请在图中标出点的位置． 3．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 4．已知：如图，中，．      (1)【实践操作】 尺规作图：①作的平分线，交于点D； ②过点D作的垂线，交于点E； ③在线段上求作一点F，使． （要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)【灵活运用】 在（1）条件下，若，，则的长为_________． 4、 能力提升 提升1 尺规作图 1 .（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 2．已知：，求作一个，使，且． 提升2 角平分线的性质 1 .在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作，分别交于点D，交y轴于点E，连接 (1)如图1，若点C的坐标为，求点E的坐标； (2)如图2，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变．求证：； (3)若点C在x轴正半轴上运动，当时，依题意在图3中补全图形，并求出的度数． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、，是线段上一点，且． (1)求点的坐标； (2)延长交于： 如图，判断和的位置关系并说明理由； 连接，如图，求证：平分． 3．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． ． 提升3角平分线性质的综合应用 1.（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：． （2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：． （3）类比应用：如图3，平分，，，求证：． 2．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 3．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P； （1）在图①中，分别画出点P到△ABC的三边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，写出三条垂线段的数量关系，并说明理由； （2）在图②中，∠ABC是直角，∠C=60º，其余条件不变，判断PE，PD之间的数量关系，并说明理由； 学科网（北京）股份有限公司 $$