精品解析：江西省南昌市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

南昌市2023—2024学年第二学期期末终结性测试 七年级（初一）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 初中生骑电动车上学存在安全隐患，为了解某校初中个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ） A. 调查方式是普查 B. 该校只有90个家长持反对态度 C. 该校约有的家长持反对态度 D. 样本是100个家长 2. 已知，则下列四个不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条 5. 图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 16 6. 小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 8. 在英文“Believe in yourself．”中，字母“e”出现的频数为_____ ． 9. 某校在清明节期间开展“缅怀先烈，放飞中国梦想”征文评比活动，共征集到论文160篇，对论文评比的分数（分数为整数）整理后，画出频数分布直方图（如图），已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的论文（分数大于或等于80分为优秀）有________篇． 10. 已知关于的不等式组有9个整数解，则的取值范围是________． 11. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加_______度． 12. 如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式：； （2）已知中，，，求的度数． 14. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 15. 已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 16. 请你只用无刻度的直尺按要求作图. （1）如图1，AF、BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，请你作出∠C的平分线. （2）如图2，AC与BD相交于O，且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平分线. 17. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； （2）当为的平分线时，若，，求的度数． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 5月31日是“世界戒烟日”，为了更好地宣传吸烟的危害．某中学七年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在万达广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．（如图所示） 吸烟有害——你打算怎样减少吸烟的危害？（单选） A．无所谓 B．少吸烟，以减轻对身体的危害 C．不在公众场所吸烟，减少他人被动吸烟的危害 D．决定戒烟，远离烟草的危害 E．希望相关部门进一步加大控烟力度 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是_______，并把条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，C选项的人数所占百分比是______，E选项所在扇形的圆心角的度数是______． （3）若某社区约有烟民38万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的人数，你对这部分人群有何建议？ 19. 为了让同学们走进中国神话传说，在体验中探索中国先进的科技力量，5月14日，我校八年级的全体师生走进鹰潭方特游乐园，开展以“绘东方神画，传华夏文明”为主题的实践活动，活动前，年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用5辆），A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，若2辆A型和1辆B型车坐满后共载客140人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客335人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？直接写出一种租金费用最少的租车方案？ 20. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” （1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】（1）如图1，在中，线经过点且．求证：； 【变式演练】（2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； 【方法应用】（3）如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 22. 由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水． （1）求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？ （2）该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m． （3）A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明． 六、（本大题共12分） 23. 如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形． （1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形． （2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数． （3）利用图1探究： ①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系． ②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市2023—2024学年第二学期期末终结性测试 七年级（初一）数学试卷 说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 初中生骑电动车上学存在安全隐患，为了解某校初中个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，随机调查个家长，结果有个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ） A. 调查方式是普查 B. 该校只有90个家长持反对态度 C. 该校约有的家长持反对态度 D. 样本是100个家长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了普查与抽样调查、样本的定义，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．普查的总体为整个群体；抽样调查的总体为其中的样本，是以样本推知整体． 【详解】解：A． 调查方式是抽样调查，故本选项不符合题意； B． 该校调查样本中有90个家长持反对态度，故本选项不符合题意； C． 该校约有的家长持反对态度，故本选项符合题意； D． 样本是100个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知，则下列四个不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，故此选项符合题意； B．不等式的两边同时除以一个正数（），不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意； C．不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项不符合题意； D．不等式的两边同时减去2，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 若下列各组数值代表三根木棒的长度，则不能用它们摆成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，逐个判断即可． 【详解】解：A、，能摆成三角形，不符合题意； B、，能摆成三角形，不符合题意； C、，能摆成三角形，不符合题意； D、，不能摆成三角形，符合题意． 故选：D． 4. 如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 5条 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数． 【详解】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条， 可以作为△ABC的高的有AC，CD，BC共3条， 可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条， 故可以作为三角形“高”的线段有5条 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键． 5. 图1是一种长为a宽为b的长方形，将这样四个形状和大小完全相同的长方形摆放在一个长为5宽为4的大长方形中，如图2所示，则图2中阴影部分面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，先根据图形列出关于的二元一次方程组，解方程组求出，再求阴影部分面积即可． 【详解】由题意得， 解得， ∴阴影部分面积是， 故选：B． 6. 小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜．喜欢数学的甲同学说：“至少20元．”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元．”讨厌数学的丙同学说：“至多12元．”小王说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个人都说错了列出不等式组，求解即可． 【详解】甲同学说：“至少20元．”，乙同学说：“至多15元．”，丙同学说：“至多12元．”而三个人都说错了， 则， ， 故选：C． 【点睛】本题足以考查一元一次不等式组的应用，列出不等式组是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 8. 在英文“Believe in yourself．”中，字母“e”出现的频数为_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求频数．根据频数是指每个对象出现的次数可得答案． 【详解】解：根据题意得：字母“e”出现4次， 即字母“e”出现的频数为4． 故答案为：4 9. 某校在清明节期间开展“缅怀先烈，放飞中国梦想”征文评比活动，共征集到论文160篇，对论文评比的分数（分数为整数）整理后，画出频数分布直方图（如图），已知从左到右5个小长方形的高的比为，那么在这次评比中被评为优秀的论文（分数大于或等于80分为优秀）有________篇． 【答案】27 【解析】 【分析】根据从左到右5个小长方形的高的比为和总篇数，只要求出第四、五个分数段的总篇数，就是分数大于或等于80分的优秀论文，即可得出答案． 【详解】由题意得：第四、五个分数段的总篇数为：（篇） 故在这次评比中被评为优秀的论文（分数大于或等于80分为优秀）有72篇 故答案为：72． 【点睛】本题考查频数分布直方图，关键是读懂统计图并利用统计图获取信息． 10. 已知关于的不等式组有9个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解： 解不等式组可得， ∴9个整数解为1，0，，，，，，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生对不等式组知识点的掌握，先求出不等式组范围，再根据具体解逆推出a的取值范围． 11. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加_______度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，根据三角形的内角和可求，进而可得，再根据外角定理即可求解． 【详解】解：延长交于 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故应增加 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和、外角等知识点．熟记相关结论即可． 12. 如图，在中，，，D为边BC延长线上一点，BF平分，E为射线BF上一点．若直线CE垂直于的一边，则的度数为_____． 【答案】9°、51°、129° 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当时，②当于F时，③当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：①如图1，当时， ，， ， 平分， ， ； ②如图2，当于F时， ， ； ③如图3，当时， 平分， ， ， ． 综上所述，的度数为9°、51°、129°． 故答案为：9°、51°、129°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式：； （2）已知中，，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的应用，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）根据题意设，则，，然后利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1） 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）∵中，，， ∴设，则， ∵ ∴ 解得 ∴． 14. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 15. 已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为17，是等腰三角形． 【解析】 【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程的解，即可得到或1，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵a为方程的解， ∴或1， 当时，， 不能组成三角形，故不合题意； ∴， ∴的周长， ∵， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，等腰三角形的定义，掌握非负数的性质是解题的关键． 16. 请你只用无刻度的直尺按要求作图. （1）如图1，AF、BE是△ABC的角平分线，且相交于点O，请你作出∠C的平分线. （2）如图2，AC与BD相交于O，且∠DAO=∠BAO=∠CBO=∠ABO,请你作出∠AOB的平分线. 【答案】 (1)如图，CD为所求； (2)、如图，OF为所求 【解析】 【详解】试题分析：(1)、连接CO并延长交AB与点D，则利用三角形的三条角平分线交于一点即可得出答案；(2)、AD和BC的延长线交于点E，连接EO并延长交AB与点F，根据AC和BD为△ABE的两条角平分线，根据角平分线的性质可以得出答案. 试题解析：略 17. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； （2）当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识． （1）利用三角形的面积公式求出即可解决问题； （2）根据三角形内角和求出的度数，得到的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：为边上的高，，的面积为， ， 为边上的中线， 点是的中点， ； 【小问2详解】 解：∵为边上的高，， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 四、（本大题3小题，每小题8分，共24分） 18. 5月31日是“世界戒烟日”，为了更好地宣传吸烟的危害．某中学七年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在万达广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图．（如图所示） 吸烟有害——你打算怎样减少吸烟的危害？（单选） A．无所谓 B．少吸烟，以减轻对身体的危害 C．不在公众场所吸烟，减少他人被动吸烟的危害 D．决定戒烟，远离烟草的危害 E．希望相关部门进一步加大控烟力度 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是_______，并把条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，C选项的人数所占百分比是______，E选项所在扇形的圆心角的度数是______． （3）若某社区约有烟民38万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的人数，你对这部分人群有何建议？ 【答案】（1）， 补全统计图如图： （2）， （3） 选项的百分比为： ，对吸烟有害持“无所谓”态度的人数为 (万人)， 建议：加强吸烟有害健康的宣传，号召广大市民戒烟.(建议合理即可) 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息． （1）调查的总人数用B选项的人数除以其所占的百分比即可，然后计算选项的人数补图即可； （2）用C小组的频数除以总人数即可求得其所占的百分比；用E选项的百分比即可； （3）用总人数乘以无所谓态度所占的百分比即可并提出合理的建议即可． 【小问1详解】 从两个统计图中可知,选项有人，占总数的,所以调查人数为(人), “选项”人数为(人), 故答案为：； 【小问2详解】 选项所占调查人数的百分比为， 选项所在扇形的圆心角的度数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 19. 为了让同学们走进中国神话传说，在体验中探索中国先进的科技力量，5月14日，我校八年级的全体师生走进鹰潭方特游乐园，开展以“绘东方神画，传华夏文明”为主题的实践活动，活动前，年级组准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用5辆），A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，若2辆A型和1辆B型车坐满后共载客140人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客335人． （1）每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？ （2）若年级组计划租用A型和B型两种客车共24辆，要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，请问有几种租车方案？直接写出一种租金费用最少的租车方案？ 【答案】（1）每辆型车坐满后载客45人，型车坐满后载客50人 （2）共有种方案，租型车辆，则租型车辆，租金最少，最少租金是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用， （1）设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设租型车辆，则租B型车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组进而，即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客45人，型车坐满后载客50人； 【小问2详解】 解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不超过B型车数量的3倍，每种型号的客车至少租用5辆， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴， 共有种方案， ∵A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元，， ∴当型车数量越多，则租金越少， ∴当时，租金最少，最少租金为， 即租型车辆，则租型车辆，租金最少，最少租金是元． 20. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” （1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 【答案】（1）②③ （2）①；②7 【解析】 【分析】（1）分别解方程和不等式，根据结果判断即可； （2）①求出各方程和不等式的解和解集，根据伴随方程和非伴随方程列出不等式组，解之即可；②根据a的范围，利用绝对值的意义，可得结果． 【小问1详解】 解：解不等式得：， 解①得：，不在范围内，故不是的“伴随方程”； ②得：，在范围内，故是的“伴随方程”； ③得：，在范围内，故是的“伴随方程”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 ①解得：， 解得：； 解得：， 解得：， 由题意可得：， 解得：； ②表示数轴上与0和3的距离之和， ∵， ∴当时，最大，且为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式（组），绝对值的意义，解题的关键是理解伴随方程的意义，列出相应不等式． 五、（本大题2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】（1）如图1，在中，线经过点且．求证：； 【变式演练】（2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数； 【方法应用】（3）如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点重合）．当时，平分平分交直线于点，求的度数． 【答案】 （1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴． （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质． （1）利用平行线的性质，平角为180度，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质先求出，再根据平行线的性质可得 （3）分点E在点O的上方和下方两种情况，画出图形，利用三角形内角和定理、外角的性质、角平分线的定义，分别求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：如图2中， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当点E在点O的上方时，如图3-1： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， 即． ②当点E在点O的下方时，如图3-2： 由题意知，，，， ∴， ∴ ， 综上所述，或． 22. 由于连日大雨，某城市局部面临内涝，当地相关部门迅速组织防涝抗涝工作，抽调一批抽水泵紧急抽水排险．经在抽水现场测得A型和B型两款抽水泵抽水量情况如下：4台A型抽水泵和5台B型抽水泵同时工作，可抽水的水；2台A型抽水泵和10台B型抽水泵同时工作，可抽水的水． （1）求A、B两款抽水泵每分钟分别能抽水多少立方米？ （2）该地防洪相关部门，为了以后抗涝需要，计划进购一批A型和B型两款抽水泵，要求这批抽水泵全部同时工作1分钟，能抽水150立方米的水．设购买A型抽水泵m台，B型抽水泵台，请用含n的代数式表示m． （3）A型抽水泵每台标价2万元，若一次性购买不少于30台，可打九折，若少于30台则按标价销售；B型抽水泵每台标价3万元，若一次性购买不少于30台，可打八折，若少于30台则也按标价销售；在（2）的条件下，问如何购买使得总费用最小？请通过分析计算给予说明． 【答案】（1），； （2） （3） 解：，当n取最大值50时，，则A型抽水泵至少要买40台， 这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折， 当时，购买总费用：， 即时，购买总费用最小，费用为（万元）， 当时，购买总费用：， 即时，购买总费用最小，费用为（万元）， 答：选购B型抽水泵30台，A型抽水泵64台时，购买总费用最少，此时需要万元． 【解析】 【分析】（1）设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和，根据题意列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意可知，变形即可得到答案； （3）根据n的取值范围可知，这项购买计划中A型抽水泵价格始终是标价的九折，分情况讨论：当时，购买总费用；当时，购买总费用：，分别求出最小值进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：设1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和， 由题意可知：， 解得：， 答：1台A型抽水泵和1台B型抽水泵每分钟各抽水和； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，利用分类讨论的思想，根据题意准确找出数量关系是解题关键． 六、（本大题共12分） 23. 如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形． （1）如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形． （2）如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数． （3）利用图1探究： ①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系． ②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 等边三角形，如图2，理由如下： 根据题意，得： 同理， ∴ ∴是等边三角形； （2），，； （3）①，，； ②在直角三角形中，不存在反射三角形 当时，，得到 ∴在直角三角形中，不存在反射三角形 在钝角三角形中，不存在反射三角形 当时，，得到 ∴在钝角三角形中，不存在反射三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可得反射三角形各内角的度数，即可求解； （2）设，根据三角形内角和定理，可得，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，根据平角的定义即可求解； （3）①根据三角形内角和定理，可用x表示和，然后根据三角形内角和定理可得与的关系即可求证； ②根据反射三角形对角的关系，结合①结论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图3 在中，由三角形内角和定理，得 设 在和中，由三角形内角和定理，得： ， 在中，由三角形内角和定理，得：， 即 解得 ∴， ∴，同理， ∴，，； 【小问3详解】 如图1 ①在和中，由三角形内角和定理，得： ， ∵ ∴ 解得 ∴，，； ②略 【点睛】本题考查了三角形的边角关系，等边三角形的性质，利用了三角形内角和定理，平角的定义，利用三角形内角和得出，，的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $