小升初典型奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动,随着时间的发展,必然面对面地相遇,这类问题叫做相遇问题.它的特点是两个运动物体共同走完整个路程. 小学数学教材中的行程问题,一般是指相遇问题. 相遇问题根据数量关系可分成三种类型:求路程,求相遇时间,求速度. 它们的基本关系式如下: 总路程=(甲速+乙速) 相遇时间 相遇时间=总路程 (甲速+乙速) 另一个速度=甲乙速度和﹣已知的一个速度. 第二部分 典型例题 例题1.甲、乙两车同时从厦门和福州两地相对开出,两车速度比为6∶5。途中相遇后,两车继续前行,到达后立即返回,在距厦门96千米处第二次相遇,福州到厦门全程多少千米? 【答案】264千米 【分析】 (红色表示乙车行驶的路程,黑色表示甲车行驶的路程)。 如图所示,两车二次相遇共走了3个全程,时间相同时,甲乙的路程比与速度比一样,也是6∶5。将全程分为11份,二次相遇共走了3个全程,则乙走的份数是(5 3)份,减去全程的11份,就是乙折返回来走的份数,对应的距离是96千米,用除法计算出一份的距离,再乘11,就是全程的长度。 【详解】1个全程的总份数:6+5=11(份) 二次相遇时两车共走了3个全程,乙走的份数是:5 3=15(份) 乙折返时走的份数:15-11=4(份) 每份长:96 4=24(千米) 全程:24 11=264(千米) 答:福州到厦门全程264千米。 【点睛】明确二次相遇,两车共行走了3个全程是解题的关键。 例题2.两地相距816千米,客车和货车同时从两地相对开出,6小时相遇,已知客车和货车的速度比是10∶7。客车每小时比货车多行多少千米? 【答案】24千米 【分析】两车的速度和=两地的距离 相遇的时间,客车和货车的速度比是10∶7,所以客车速度占10份,货车速度占7份,一共是10+7=17份,那么1份的量=两车的速度和 17;故客车的速度=1份的量 客车速度占的份数,货车的速度=1份的量 货车速度占的份数,客车每小时比货车多行的距离=客车的速度-货车的速度。或者客车每小时比货车多行的距离=1份的量 (客车速度占的份数-货车速度占的份数)据此代入数据作答即可。 【详解】816 6 (10+7) (10-7) =136 17 3 =8 3 =24(千米) 答:客车每小时比货车多行24千米。 【点睛】此题关键是求:1份速度的量=两地的距离 相遇的时间 17。 例题3.甲、乙两人同时从A、B两地相向而行,第一次相遇在离A地40千米的地方,两人仍以原速前进,各自到达终点后立即返回,又在离B地20千米处相遇,问A、B两地的距离是多少千米? 【答案】100千米 【分析】甲乙两人第一次相遇时甲行了40千米,此时两人共行了一个A、B两地的距离。则两人每行一个A、B两地的距离,甲需要行40千米。第二次相遇时,两人一共行驶了3个A、B两地的距离,此时甲共行了3 40千米。而甲行了一个A、B两地的距离还多20千米,用甲行的总路程减去20千米,即可求出A、B两地的距离。 【详解】3 40-20 =120-20 =100(千米) 答:AB两地相距100千米。 【点睛】解答本题关键是明确:第二次相遇时,两人一共行驶了3个两地间的距离,而甲行了3个40千米。 第三部分 高频真题 一、选择题 1.、两地相距,甲、乙两人都从地到地。甲步行,每小时,乙骑车,每小时行驶,甲出发2小时后乙再出发,先到达地的人立即返回去迎接另一个人,在其返回的路上两人相遇,则此时乙所用时间为( )。 A.3.5小时 B.3小时 C.1.5小时 D.1小时 2.淘气要给笑笑送作业,它们同时从家出发相向而行。淘气家离笑笑家840m,淘气的步行速度是70米/分,笑笑的步行速度是50米/分。他们出发后( )分钟相遇。 A.7 B.8 C.8.5 D.7.5 3.快车以60千米/小时的速度从甲站向乙站开出,1.5小时后,慢车以40千米/小时的速度从乙站向甲站开出,两车相遇时,相遇点离两站的中点70千米。则甲、乙两站相距多少千米?( )。 A.140千米 B.170千米 C.240千米 D.340千米 4.两地相距450m,甲每分走50m,乙每分走40m,甲、乙二人同时相向而行,( )分后相遇。 A.9 B.10 C.5 5.甲、乙两地相距216千米,客车与货车同时从两地相对开出,2小时后相遇。客车与货车的速度比是5∶4,客车每小时行( )千米。 A.60 B.64 C.72 D.84 6.甲、乙两车从A、B两地同时出发,相向而行。如果甲车提前一段时间出发,那么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米/时,乙车速度是40千米/时。那么,甲车提前了( )分出发。 A.30 B.40 C.50 D.60 7.甲乙两人同时从相距30千米的两地出发,相向而行。甲每小时走3.5千米,乙每小时走2.5千米。与甲同时同地同向出发的还有一只狗,每小时跑5千米,狗碰到乙后就回头向甲跑去,碰到甲后又回头向乙跑去,这只狗就这样往返于甲乙之间,直到两人相遇为止,则相遇时这只狗跑了( )千米。 A.20 B.18 C.24 D.25 8.王顺和李小军同时从两地沿一条公路面对面走来。王顺的速度是73米分,李小军的速度是88米分,经过4分钟两人相遇。相遇时李小军比王顺多走了( )米。 A.60 B.279 C.644 9.有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙相背而行。甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走35米。在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问:这个花圃的周长是多少米?( )。 A.1000米 B.1147米 C.5850米 D.10000米 10.已知A、B两地相距300米.甲、乙两人同时分别从A、B两地出发,相向而行,在距A地140米处相遇;如果乙每秒多行1米,则两人相遇处距B地180米.那么乙原来的速度是每秒( )米. A.2 B.2 C.3 D.3 11.甲乙两地间的公路长336千米,两辆汽车从两地同时相对开出,经过3.5小时在途中相遇。已知甲地开出的汽车每小时行52千米,乙地开出的汽车每小时行( )。 A.48千米 B.44千米 C.42千米 12.甲、乙两人由相距60km的两地同时出发相向而行,甲步行每小时走5km,乙骑自行车,3h后两人相遇,则乙的速度为每小时( )。 A.5km B.10km C.15km 13.甲,乙两船同时从相距250千米的码头相向而行,6时后相遇。甲船每时行驶21千米,乙船每时行驶m千米。下面所列方程正确的是( )。 A. B. C. 14.甲、乙两人分别从A、B两地相向而行(如下图),甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,经过5分钟两人相遇。相遇地点靠( )近。 A.A地 B.B地 C.无法确定 15.甲乙两人同时骑车从相距60千米的A地到B地,甲每小时比乙慢4千米,乙先到B地后立即返回,在距B地12千米处与甲相遇,则甲的速度为每小时( )。 A.10千米 B.8千米 C.12千米 D.16千米 16.两地间的路程是455千米,甲、乙两辆汽车同时从两地开出,相向而行,经过3.5小时相遇。甲车每小时行68千米,乙车每小时行多少千米?正确的列式是( )。 A.(455-68) 3.5 B.(455-68) (68 3.5) C.455 3.5-68 二、填空题 17.已知甲车速度为每小时90千米,乙车速度为每小时60千米,甲乙两车分别从AB两地同时出发,相向而行。在途径C点时,乙车比甲车早到20分钟;第二天甲乙分别从B、A两地出发同时,返回原来出发地。在途径C点时,甲车比乙车早到60分钟。AB两地相距( )千米。 18.从A地到B地,甲车需要行驶10小时,乙车需要行驶8小时。现在两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,相遇时甲车离两地中点还有30千米。A、B两地相距( )千米。 19.甲、乙两条船,在同一条河上相距210千米,若两船相向而行,则2小时相遇;若同向而行,则14小时甲赶上乙,则甲船的速度为( )千米/小时。 20.两地相距600千米,甲、乙两车同时从两地相对出发,甲车每小时行驶70千米,乙车每小时行驶50千米,( )小时后两车在途中相遇。 21.王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球,已知姐姐每分钟比王蕾多走20米,25分钟后姐姐到体育馆,这时姐姐发现没有带球拍,于是立即按原路返回取球拍,在离体育馆300米的地方遇到了王蕾.则王蕾家到体育馆的路程是 米. 22.李阳和明明同时从公园的南、北门出发,相向而行,李阳每分钟行走100米,明明速度与李阳的速度比是4∶5,两人出发20分钟后相遇,公园南、北门相距 ( )米。 23.甲乙两辆汽车从A、B两城同时相对开出,两车速度分别是80千米/时和70千米/时,t小时后两车相遇.A、B两城相距( )千米.如果t=4,那么A、B两城相距( )千米. 24.甲乙两列火车同时从两地相对开出,相向而行,5小时后两车在途中相遇;已知甲车行完全程要9小时,乙车的速度是48千米/小时.甲车的速度是 。 25.甲、乙两车分别从、两地同时相向开出,甲车速度是千米/小时,乙车速度是千米/小时,当甲车驶过、距离的多千米时与乙车相遇,、两地相距( )千米. 26.两地相距270km,甲、乙两车分别从两地同时出发相向而行,甲车每小时行驶80km,乙车每小时行驶100km,( )小时相遇。 27.一只老鼠从A点沿着长方形边线逃跑,一只花猫同时从A点朝另一个方向沿着长方形边线去捕捉. 结果在距B点6米的C点处提住了老鼠. 已知老鼠和花猫的所行路程的比是11:14,长方形的周长是 米. 28.虎虎和兔兔从山脚沿同一路线进行登山运动,到达山顶后原路返回山脚,全程7千米。虎虎走了1.4千米时,兔兔走了1.2千米。虎虎到达山顶后返回的速度是上山时的2倍,那么虎虎与兔兔相遇的地点距山顶 米。 29.一辆货车和一辆轿车同时从A地出发去B地。货车平均每小时行驶60千米,轿车平均每小时行驶80千米。轿车到达B地,停留了1小时又按原路返回,在距B地20千米处与货车相遇。A、B两地相距( )千米。 30.甲、乙两人同时从A、B两地开车相向而行,经过2小时在距中点21千米处相遇。甲的平均速度为x千米/小时,乙比甲的少6千米,乙的平均速度为( )千米小时;已知,那么A、B两地相距( )千米。 31.甲、乙两人同时从A地出发前往相距270千米的B地,甲每小时比乙多走12千米。甲到达B地后立即返回A地,在距B地30千米处与乙相遇。相遇后两人的速度保持不变,乙到达B地之后再过 小时,甲返回A地。 32.货车的速度是客车速度的,两辆车同时分别从甲乙两站相对开出,在距离中点6.5千米的地方相遇,两站相距 千米。 33.甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,相向而行,甲到达A,B中点C时,乙距C点还有240米,乙到达C点时,甲已经超过C点360米,则两人在D点相遇时,CD的距离是 米. 34.乐乐和爷爷围着400米一圈的操场跑步,乐乐跑一圈要80秒,爷爷跑一圈要120秒。如果两人在同一地点同时出发,相向而行,最少经过( )秒可以相遇。 35.货车每小时40km,客车每小时60km,A,B两地相距360km,同时同向从甲地开往乙地,客车到乙地休息了半小时后原速返回,问从甲地出发后 小时两车相遇。 三、解答题 36.甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行,4小时相遇后又相距9千米,已知甲车行完全程要7小时,乙车每小时行27千米,AB两地间的路程是多少千米? 37.甲,乙两城相距480千米,一辆货车和一辆客车分别从甲、乙两城相对开出,4小时后相遇,货车和客车的速度比是3∶5。货车和客车的速度分别是多少?(5分) 38.一辆客车和一辆货车从相距260千米的A、B两地同时出发,相向而行,客车每时行驶48千米,货车每时行驶56千米。两车出发后几时相遇?(根据题目中的信息写出等量关系,再依据等量关系列方程解答。) 39.甲、乙两地相距936千米,两辆汽车同时从两地出发,从甲地开往乙地的汽车每小时行66千米,从乙地开往甲地的汽车每小时行78千米,几小时后两辆汽车相遇?(列方程解答) 40.在比例尺是1∶4000000的地图上,A、B两地的距离是5厘米,两辆汽车同时从A、B两地相对开出,一辆汽车每小时行35千米,另一辆汽车每小时行45千米,几小时可以相遇? 41.客、货两车同时从甲、乙两车站迎面开来,客车每小时行驶 56km,货车每小时行驶48km,两车在距离中点40km的地点相遇, 甲、乙两车站相距多少千米? 42.某河有相距45千米的上下两港,每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行,这天甲船从上港出发掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,4分钟后与甲船相距1千米,预计乙船出发后几小时可与此物相遇? 43.一辆长为12米的大客车以每秒8米的速度由A地开往B地,在距B地4000米处遇见一个行人,l秒后大客车经过这个行人.大客车到达B地休息了10分钟后返回A地,途中追上这个行人.大客车从遇到行人到追上行人共用了多少分钟? 44.(北京市年迎春杯试题)小张和小王早晨点整同时从甲地出发去乙地,小张开车,速度是每小时千米.小王步行,速度为每小时千米.如果小张到达乙地后停留小时立即沿原路返回,恰好在点整遇到正在前往乙地的小王.那么甲、乙两地之间的距离是多少千米? 45.小军和小琴两人同时从相距2千米的两地相向而行。小军每分钟行120米,小琴每分钟行80米。如果一只狗与小军同时出发,同向而行。当它遇到小琴后,立即回头向小军跑去。这样来回不断,直到小军和小琴相遇为止,这时狗一共跑了4千米。这只狗每分钟行多少米? 46.小张从甲地到乙地。步行速度是5千米/时,小黄从乙地到甲地,步行速度是4千米/时。现在两人同时出发,在离甲、乙两地的中点1千米处相遇。甲地和乙地相距多少千米。 47.甲、乙两地相距494千米,一辆小轿车和一辆货车从两地出发相向而行。小轿车比货车晚出发半小时,结果货车出发3小时后与小轿车在途中相遇。已知货车平均每小时行78千米,小轿车平均每小时行多少千米? 48.一列快车全长米,每秒行米;一列慢车全长米,每秒行米。 (1)两列火车相向而行,从车头相遇到车尾离开,要几秒钟? (2)两列火车同向而行,从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头,需要几秒钟? 49.两地相距480千米,甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出,4小时后相遇,已知甲、乙两车速度的比是5∶3,甲车每小时行驶多少千米? 50.甲、乙两列火车从相距千米的两个城市对面开来,甲列火车每小时行千米,乙列火车每小时行千米,甲列火车先开出小时后,乙列火车才开出,问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇? 51.有甲、乙两列火车,甲车长96米,每秒钟行驶26米,乙车长104米,每秒钟行驶24米,两车相向而行,从甲列车与乙列车车头相遇到车尾分开,需要多少秒钟? 参考答案: 1.C 【分析】题意较为复杂,要试图在复杂的条件中找到等量关系,先列式计算出谁先到达B地,结果为乙。则乙走的路程要多于甲走的,因此甲走的路程+乙走的路程=AB两地距离的2倍,再进一步简化这个等式为:乙走的路程=16+甲所剩的路程,设乙走的时间为x小时,可列方程。 【详解】(16-4 2) 4=2(小时) 16 12=(小时) <2,所以乙先到达B地。 解:设乙走的时间为x小时。 16+16-4(x-2)=12 16+16-4x-8=12x 16x=32-8 16x=24 x=1.5 故答案为:C 【点睛】本题如果用算术法,则需要较复杂的计算过程。但是当我们确定下来题中的等量关系,再列方程解答,就容易的多了。 2.A 【分析】根据路程 速度和=相遇时间,据此求出他们出发后相遇的时间。 【详解】840 (70+50) =840 120 =7(分钟) 故答案为:A 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系:要熟练掌握。 3.D 【分析】“两车在距离中点70千米处相遇”说明“快车比慢车多行了140千米”,由于快车先行1.5小时,同时行驶的过程中,快车多行了140-60 1.5=50千米,由此可以求得两车同行的时间,从而解决问题。 【详解】同时行驶时快车比慢车多行驶的路程为: 70 2-60 1.5 =140-90 =50 (千米) 两车同行时间为: 50 ( 60-40 ) =50 20 =2.5 (小时); 所以两地的总距离为:60 1.5+ ( 60+40 ) 2.5 =90+ 100 2.5 =90+250 =340 (千米) 故答案为:D。 【点睛】抓住两车同时行驶时,“快车比慢车多行驶的路程”,多行驶的路程 速度之差=它们共同行驶的时间。 4.C 【详解】本题要求多少分后相遇,就要设x分后相遇。根据等量关系式:速度和 时间=路程,列出方程(50+40)x=450,然后求解即可。 5.A 【分析】根据:路程 时间=速度,求出辆车的速度和;客车的速度看作5份,货车的速度是4份,两车的速度和是9份,客车的速度占速度和的,再根据分数乘法的意义求出客车的速度。 【详解】216 2 =108 =60(千米) 答∶客车每小时行60千米。 故选:A。 【点睛】此题先求出两车的速度和,再根据按比例分配来解答。 6.C 【分析】因为甲提前出发了一段时间,使得两车提前30分钟相遇,那么甲提前出发所走的路程=甲乙的速度和 (两车相遇提前的分钟数 60),甲提前出发的时间=甲提前出发所走的路程 (甲车的速度 60)。 【详解】(60+40) (30 60) =100 =50(千米) 50 (60 60) =50 1 =50(分钟) 所以甲车提前了50分出发。 故答案为:C 【点睛】本题主要考查相遇问题。 7.D 【分析】此题主要考查了相遇应用题,根据题意可知,先求出甲与乙的相遇时间,总路程 甲、乙的速度和=相遇时间,因为狗与甲同时同地同向出发,而狗在一直跑,狗跑的速度 相遇时间=狗跑的路程,据此列式解答。 【详解】相遇时间: 30 (3.5+2.5) =30 6 =5(小时) 5 5=25(千米) 故答案为:D 【点睛】此题关键是理清狗跑的时间就是甲乙两人的相遇时间。 8.A 【分析】根据“速度差 相遇时间=路程差”代入数据解答即可。 【详解】 (米 故答案为:A 【点睛】解答本题也可以根据“速度 时间=路程”分别求出王顺和李小军行走的路程,然后再作差即可。 9.C 【分析】根据甲和乙相遇3分钟和丙相遇,则丙到甲乙相遇点的距离可求出,即(40+35) 3=225米。因为乙每分钟比丙多行(38﹣35)=3米,因此,甲乙的相遇时间可以求出,即225 3=75分。最后用甲乙的速度和 相遇时间,问题得解。 【详解】[(35+40) 3] (38﹣35) =(75 3) 3 =225 3 =75(分) (40+38) 75 =78 75 =5850(米) 故答案选:C 【点睛】本题考查相遇问题,关键是求甲乙的相遇时间。 10.D 【详解】略 11.B 【分析】根据题意可知,设乙地开出的汽车每小时行x千米,用(甲地开出的汽车速度+乙地开出的汽车速度) 相遇时间=甲、乙两地之间的公路长度,据此列方程解答。 【详解】解:设乙地开出的汽车每小时行x千米, (52+x) 3.5=336 (52+x)=336 3.5 52+x=96 x=96-52 x=44 故答案为:B 【点睛】本题考查相遇问题,根据题意,找出相关的量,列方程,解方程。 12.C 【分析】根据题意,设乙的速度为每小时xkm,根据相遇时甲走的路程+乙行走的路程=总路程列出方程求解即可。 【详解】解:设乙速度为每小时xkm。 5 3+3x=60 15+3x=60 3x=60-15 3x=45 x=45 3 x=15 即乙的速度为每小时15km。 故答案为:C 【点睛】利用速度、时间和距离三者关系,设出未知数,找出相关的量,列方程,解方程。 13.B 【分析】解决相遇问题的依据是:甲的速度 相遇时间+乙的速度 相遇时间=路程,据此解答即可。 【详解】由分析可列方程: 故答案为:B 【点睛】本题主要考查了学生对相遇问题数量关系的掌握以及列方程解方程的能力。 14.A 【分析】用甲每分钟走的路程乘5就算出甲走的总路程,用乙每分钟走的路程乘5计算出乙走的总路程,比较甲和乙走的总路程,谁走的少,相遇地点就靠谁近。 【详解】50 5=250(米) 60 5=300(米) 250米<300米,所以相遇地点靠甲近。 故答案为:A。 【点睛】本题考查的是相遇问题,关键是根据路程=速度 时间,分别计算出甲和乙走的路程。 15.B 【分析】根据题意可知,甲乙两人相遇时,甲比乙多行了12 2=24(千米),甲乙两人的速度差是4千米,路程差 速度差即为相遇时间,甲行的路程为60-12(千米),再除以相遇时间即为甲的速度。 【详解】(60-12) (12 2 4) =48 6 =8(千米) 故答案为:B 【点睛】考查了行程问题,解题的关键是分析出甲乙两人相遇时两人行的路程差。 16.C 【分析】根据题意列数量关系式:(甲车的速度+乙车的速度) 相遇时间=路程和,乙车的速度=路程和 相遇时间-甲车的速度,据此用455 3.5-68即可求出乙车的速度。 【详解】455 3.5-68 =130-68 =62(千米) 乙车每小时行62千米。 故答案为:C 【点睛】本题考查了小数除法的应用以及相遇问题,关键是熟练掌握时间、速度、路程三者之间的关系。 17.120 【分析】,乙车速度 甲车速度=乙车速度是甲车速度的几分之几,甲车速度 乙车速度=甲车速度是乙车速度的几分之几,因为速度比=路程比,可以将速度之间的关系看作路程之间的关系。设BC之间的距离是x千米,第一次,当乙车到达C点时,表示出此时甲走过的路程,以及甲距离C点的距离,进而表示出AC的距离;第二次,当甲车到达C点时,甲走过的距离仍然是x千米,表示出乙车此时走过的距离,以及乙车距离C点的距离,进而表示出AC的距离,根据AC的距离相等列出方程,求出BC之间的距离,进而求出AC之间的距离。 【详解】20分钟=小时 60分钟=1小时 60 90= 90 60= 解:设BC之间的距离是x千米。 x+90 =x+60 1 x+30=x+60 x-x=60-30 x=30 x =30 x=36 36+36 +90 =36+54+30 =120(千米) 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系,用方程解决问题的关键是找到等量关系。 18.540 【分析】从A地到B地,甲车需要行驶10小时,乙车需要行驶8小时,那么甲车和乙车的速度比是∶,相遇时,所走的时间相同,甲车、乙车的路程比等于两车的速度比,相遇时。甲车比乙车多行驶了30 2=60(千米),根据路程差除以它所占总路程的分率,即可求出A、B两地相距的距离。 【详解】∶=4∶5 30 2 =60 =540(千米) 故答案为:540 【点睛】考查了相遇问题,解答此题的关键是求出路程差和它所占总路程的分率。 19.60 【分析】根据题意,两船相向而行,则2小时相遇,根据“路程 相遇时间=速度和”可以求出两船的速度和;若同向而行,则14小时甲赶上乙,根据“追及路程 追及时间=速度差”可以求出两船的速度差,再根据和差问题解答即可。 【详解】两船的速度和是:210 2=105(千米/小时) 两船的速度差是:210 14=15(千米/小时) 由和差公式可得甲船速度是: (105+15) 2 =120 2 =60(千米/小时) 即甲船的速度为60千米/小时。 【点睛】解答本题需熟练掌握行程问题中的两个关系式:路程 相遇时间=速度和,追及路程 追及时间=速度差。 20.5 【分析】已知路程和各自的速度,要求相遇时间,用路程 速度和=相遇时间 【详解】600 (70+50) =600 120 =5(小时) 【点睛】在相遇问题中,两个物体从同时出发到相遇,所走的时间是一样的,各自的速度和路程不一定相同。 21.1500 【详解】根据“姐姐每分钟比王蕾多走20米,25分钟后姐姐到体育馆”可得,姐姐到达体育馆时,王蕾离体育馆还有20 25=500米的路程;根据“姐姐按原路返回时,在离体育馆300米的地方遇到了王蕾”可知,从姐姐开始返回直到姐妹二人相遇这段时间内,姐姐走了300米,王蕾走了500-300=200米,由此可得出,姐妹二人步行的速度比是3:2;已知姐姐的速度比王蕾快20米/分,所以姐姐的速度是米/分,则王蕾家到体育馆的路程是60 25=1500米. 解:姐妹二人的速度比是:300:(20 25-300)=300:200=3:2, 姐姐的速度是:(米/分), 王蕾家到体育馆的路程是:60 25=1500(米). 答:王蕾家到体育馆的路程是1500米. 22.3600 【分析】已知李阳的速度是100米/分,明明速度与李阳的速度比是4∶5,也就是明明速度是李阳的,用100乘求出明明的速度。然后根据速度和乘时间等于路程,即可求解。 【详解】100 =80(米/分) (100+80) 20 =180 20 =3600(米) 【点睛】解答本题的关键是掌握速度和 时间=路程这个数量关系式。 23. 150t 600 【详解】略 24.60千米/小时 【分析】首先根据速度 时间=路程,用乙车的速度乘相遇用的时间,求出乙车5小时行驶的路程是多少;甲车行完全程要9小时,1小时行驶,5小时行驶,乙车5小时行驶1-,然后用乙车行驶的路程除以它占全程的分率,求出两地之间的距离是多少;最后根据路程 时间=速度,用两地之间的距离除以甲行完全程需要的时间,求出甲车每小时行多少千米即可。 【详解】48 5 (1-) =240 =540(千米) 540 9=60(千米) 答:甲车每小时行60千米。 【点睛】关键理清题目中的数量关系,运用路程、速度、时间之间的关系解决问题。 25.225 【详解】在相同的时间内,两车行驶的路程比等于两车的速度之比,由于两车的速度之比等于,那么、距离的多千米即是、距离的,所以千米的距离相当于全程的,全程的距离为(千米). 26.1.5 【分析】由题意可知,甲、乙两车每小时共行驶80+100=180(千米),全长270千米有几个180千米,就是甲乙两个共行了几小时,即是它们相遇的时间,用除法计算即可。 【详解】270 (80+100) =270 180 =1.5(小时) 【点睛】此题考查的是相遇问题,数量关系式是:路程 速度和=相遇时间。 27.100 【详解】 =56(米) 56-6 2+56 =44+56 =100(米) 故答案为100. 【点睛】此题主要考查相遇问题,注意B点其实是中点位置,在距离B点6米的C处花猫抓住了老鼠,说明相遇时花猫比老鼠多走了6 2=12米;同时本题也考查了应用分数除法解决实际问题. 28.350 【分析】达山顶后原路返回山脚,全程7千米,山脚到山顶的路程是全程的一半,就是3.5千米。虎虎走了1.4千米时,兔兔走了1.2千米,则相同的时间里面,路程比就是速度比,即虎虎的速度:兔兔的速度=1.4∶1.2=7∶6,则当虎虎到达山顶时,兔兔走的路程是虎虎的,则兔兔这时距离山顶是虎虎的,也就是虎虎到达山顶时与兔兔之间相距0.5千米。虎虎到达山顶后返回的速度是上山时的2倍,则虎虎下山的速度和兔兔的速度比是14∶6=7∶3,则相遇的地点距山顶是虎虎行驶了两人之间距离的,求一个数的几分之几用乘法,注意换算单位,1千米=1000米,高级单位转化为低级单位用乘法。 【详解】7 2=3.5(千米) 1.4∶1.2=7∶6 3.5 (1-) =3.5 =0.5(千米) 0.5 =0.5 =0.35(千米) 0.35千米=350米 则虎虎与兔兔相遇的地点距山顶350米。 【点睛】在时间相等的情况下,路程比等于速度比,反之速度比等于路程比,也就是路程比是3∶4,速度比也是3∶4。 在路程相等的情况下,时间比反过来等于速度比,也就是时间比是3∶4,则速度比是4∶3。 29.380 【分析】根据题意可知,两辆所用的时间相同。可设A、B两地相距x千米,则轿车行驶了(x+20)千米,货车行驶了(x-20)千米,再根据“货车行驶的路程 速度=小轿车行驶的路程 速度+1”列方程解答即可。 【详解】解:设A、B两地相距x千米。 =+1 -=++1 -=1 =1 x=380 【点睛】解答本题的关键是明确时间相等,进而确定等量关系式,再列方程。 30. x-6 198 【分析】根据题意,甲的平均速度为x千米/小时,乙比甲的少6千米,所以乙的平均速度为(x-6)千米/小时;根据总路程=速度和 相遇时间,已知,把数据代入行程公式解答即可。 【详解】由分析可知: 甲的平均速度为x千米/小时,乙比甲的少6千米,所以乙的平均速度为(x-6)千米/小时; 当x=60时,A、B两地相距: (60+ 60-6) 2 =(60+45-6) 2 =99 2 =198(千米) 【点睛】本题考查了用字母表示数和行程问题,根据题意解答即可。 31.3.375 【分析】根据题意,相遇时甲走的路程是全程多30千米,而乙的速度慢走的路程是全程少30千米,则相同的时间里面甲走的路程比乙多了60千米,且甲每小时比乙多走12千米,则5个小时就多走30千米,即甲和乙经过5个小时后相遇。5个小时甲行驶了300千米,速度=路程 时间,甲每小时行驶60千米,同理乙每小时行驶48千米。 此时乙还需要行驶30千米才能到达B地,需要0.625小时,这段时间甲行驶了37.5千米。这时离A地还有202.5千米,速度是60千米每小时,根据时间=路程 速度得出时间。 【详解】30+30=60(千米) 60 12=5(小时) 甲的速度:(270+30) 5 =300 5 =60(千米) 乙的速度:(270-30) 5 =240 5 =48(千米) 30 48=0.625(小时) 0.625 60=37.5(千米) 270-30-37.5=202.5(千米) 202.5 60=3.375(小时) 【点睛】相遇问题要弄清题意,是否同时出发,是否相遇,或者相遇并错过。分析各个数量之间的关系,是解决相遇问题的关键步骤。 32.91 【分析】根据路程=相遇时间 速度和,因为所用时间相同,所以速度比就是路程比,因为货车与客车的速度比是,所以货车和客车所行路程比是,客车行的路程是全程的,因为离中点6.5千米的地方相遇,即全程处离全程的处是6.5千米,用除法可算出全程。 【详解】全程路程份数:, 客车行的路占全程的, 甲乙两地相距(千米) 【点睛】灵活运用相遇问题中的数量关系式:路程=相遇时间 速度和,所用时间相同,速度比就是路程比。 33.144 【详解】略 34.48 【分析】根据路程 时间=速度,据此分别求出乐乐和爷爷的速度,再根据相遇问题中,相遇路程 速度和=相遇时间,据此计算即可。 【详解】400 80=5(米/秒) 400 120=(米/秒) 400 (5+) =400 =400 =48(秒) 则如果两人在同一地点同时出发,相向而行,最少经过48秒可以相遇。 【点睛】本题考查分数除法,明确路程、时间和速度之间的关系是解题的关键。 35.7.5 【分析】用总路程除以客车速度求出客车到乙地的时间,由于客车休息了半小时,所以货车多行了0.5小时,用货车的速度乘货车行驶的总时间求出乙车返回时货车行驶的路程,此时两车相向而行,用两车间隔的距离除以速度和求出相遇时间,再加上此前货车行驶的总时间就是两车从甲地出发后相遇的时间。 【详解】360 60=6(小时), 客车返回时货车行驶的路程: 40 (6+0.5) =40 6.5 =260(千米) 相遇时间: (360-260) (40+60)+6+0.5 =100 100+6.5 =1+6.5 =7.5(小时) 故答案为:7.5。 36.231千米 【分析】这题我们可以用方程,根据关系式来列方程解决。两车合行4小时的路程=两地的路程+9千米=甲车7小时行的路程+9千米,据此数量关系来列方程。 【详解】解:设甲车每小时行x千米。 (x+27) 4= 7x+9 4x+27 4=7x+9 7x-4x=108-9 3x=99 x=33 7 33=231千米 答:AB两地间的路程是231千米。 【点睛】解答此题的关键明确4小时相遇后又相距9千米表示甲、乙两车同时行4小时行了一个全路程多9千米。 37.货车的速度是45千米/时,客车的速度是75千米/时 【分析】考查相遇问题的基本数量关系以及按比例分配的知识。 【详解】根据相遇问题中,总路程 时间=速度和,可得480 4=120千米。再结合题意“货车和客车的速度比是3∶5”,可得货车的速度120 =45千米/时,客车的速度120 =75千米/时。 解题方法不唯一。 【点睛】可以先求出速度和,再按比例分配求各自的速度;也可以先按比例分配求出各自行驶的路程,再求出各自的速度。 38.等量关系见详解;2.5时 【分析】此题属于相遇问题,(客车的速度+货车的速度) 相遇时间=两地之间的距离,设两车出发后x时相遇,列出方程解答即可。 【详解】解:设两车出发后x时相遇。 (客车的速度+货车的速度) 相遇时间=两地之间的距离 (48+56) x=260 104x=260 104x 104=260 104 x=2.5 答:两车出发后2.5时相遇。 【点睛】此题考查列方程解应用题,关键是根据题意找出等量关系,设未知数为x,由此列方程解决问题。 39.6.5小时 【分析】根据题意可知,(甲的速度+乙的速度) 相遇时间=总路程和,据此设x小时后两车相遇,列方程为(66+78)x=936。然后解出方程即可。 【详解】解:设x小时后两车相遇。 (66+78)x=936 144x=936 144x 144=936 144 x=6.5 答:6.5小时后两车相遇。 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题,找到相应的关系式是解答本题的关键。 40.2.5小时 【分析】先根据实际距离=图上距离 比例尺,求出两地的实际距离,把求出的实际距离的厘米单位除以100000得出以千米为单位的实际距离,再根据相遇时间=路程 速度和,代入数据计算即可。 【详解】由分析可得: 5 =5 4000000=20000000(厘米) 20000000厘米=200千米 200 (35+45) =200 80 =2.5(小时) 答:2.5小时可以相遇。 【点睛】本题解题考查了通过比例尺和图上距离求实际距离,以及路程、时间、速度三者之间的关系,解题的过程一定要把单位统一。 41.1040千米 【详解】相遇时,客车比货车多行了:40 2=80千米 相遇时间是:80 (56-48)=10小时 甲、乙两车站相距:(56+48) 10=1040千米 42.3小时 【分析】物体漂流的速度与水流速度相同,所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速(水速作用抵消),甲的船速为1 =15(千米/小时);乙船与物体是个相遇问题,速度和正好为乙本身的船速,所以相遇时间为:45 15,解决问题。 【详解】4分钟=小时 甲的船速: 1 =15(千米/小时) 相遇时间为: 45 15=3(小时) 答:预计乙船出发后3小时可与此物相遇。 【点睛】物体掉进河里顺流而下,它的速度就是水速。需要注意的是甲船是顺水航行,应该比此物速度要快。 43.53分钟20秒 【分析】大客车在距B地4000米处遇见一个行人,l秒钟后大客车经过这个行人,是一个相遇问题.由速度和=全程 相遇时间,可知客车与行人速度和:12 1=12(米/秒),则行人速度可知:12-8=4(米/秒),当客车到达B地10分钟后返回时,再追上行人是一个追及问题.追及时间可求.大客车从第一次遇到行人到第二次追上行人的时间可分为3段:一段是从距B地4000米处到B地,一段是休息10分钟,一段是追及时间. 【详解】行人的速度:12 1-8=4(米/秒) 大客车行驶4000米需时间:4000 8=500(秒) 10分钟相当于60 10=600(秒) 大客车从B地出发,大客车与行人的路程差:4000+4 (500+600)=8400(米) 大客车追上行人所需时间:8400 (8-4)=2100(秒) 故大客车从遇到行人到追上行人共需:500+600+2100=3200(秒)=53分钟20秒. 答:大客车从遇到行人到追上行人共用了53分钟20秒. 【点睛】此题中的整个过程综合了相遇问题和追及问题,要注意不同的问题选用不同的公式.此题目还要注意时间单位的换算. 44.34千米 【详解】因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离,而这个过程中小张开车个小时,小王步行个小时,他们一共所走的路程是:(千米),所以甲、乙两地之间的距离是:(千米). 45.400米 【分析】由于无论狗在两人之间跑了多少个来回,狗所走的时间与小军、小琴两人相遇所用的时间是一样的,问题转化为求小军、小琴两人相遇所用的时间,也就是狗行走的时间;再根据路程 时间=速度,这只狗每分钟行多少米,即可解答题目。 【详解】2千米=2000米 2000 (120+80) =2000 200 =10(分钟) 4千米=4000米 4000 10=400(米) 答:这只狗每分钟行400米。 【点睛】本题属于相遇问题,要求小狗跑的速度,已知小狗跑的路程,关键是得到小狗跑的时间,然后用关系式:路程 时间=速度进行解答。 46.18千米 【分析】小张比小黄走的快,所以根据相遇地点在离甲、乙两地的中点1千米处,可以知道到相遇时,小张走的路程比全长的一半多1千米,小黄走的路程比全长的一半少1千米,那么从出发到相遇这段时间里,小张和小黄的路程差就是1+1=2(千米),根据路程差 速度差=共同行驶的时间,可以得到,从出发到相遇他们走的时间为:2 (5-4)=2(小时),这个时间也就是相遇时间,再根据路程和=速度和 相遇时间,可以得到,全长为:(5+4) 2=18(千米)。 【详解】(1+1) (5-4) =2 1 =2(小时) (5+4) 2 =9 2 =18(千米) 答:甲地和乙地相距18千米。 【点睛】这道题的关键是根据分析或画图理解从出发到相遇时,小张和小黄的路程差是1+1=2(千米),然后灵活运用行程问题的公式即可求出全长。 47.104千米 【分析】根据路程=速度 时间,先求出货车半个小时行驶的路程,总路程-货车半小时行驶的路程=两车共同行驶的路程,设小轿车平均每小时行x千米,用小轿车行驶的路程+货车行驶的路程=共同行驶的路程,据此列方程解答。 【详解】解:设小轿车平均每小时行x千米。 78 (3-0.5)+(3-0.5)x=494-78 195+2.5x=455 2.5x=260 x=104 答:小轿车平均每小时行104千米。 【点睛】此题考查了相遇问题,注意两车同时行驶的时间是3-0.5=2.5时,找准等量关系,认真解答即可。 48.(1)19秒;(2)171秒 【分析】(1)这是一个相遇错车的过程,两列车共走的路程是两车车长之和。据此根据相遇时间=路程和 速度和求解即可; (2)这个一个超车过程,即追及问题。路程差为两车的车长和,根据追及时间=路程差 速度差求解即可。 【详解】(1)(250+263) (15+12) =513 27 =19(秒) 答:两列火车相向而行,从车头相遇到车尾离开,要19秒。 (2)(250+263) (15-12) =513 3 =171(秒) 答:从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头,需要171秒。 【点睛】利用相遇、追及公式巧解火车行程问题。理解掌握公式相遇时间=路程和 速度和,追及时间=路程差 速度差。 49.75千米 【分析】求甲车每小时行驶多少千米,我们可以先根据路程 时间=两车的速度和,然后按比例分配,就可以求出甲车的速度。 【详解】480 4 (5+3) 5 =480 4 8 5 =15 5 =75(千米) 答:甲车每小时行驶75千米。 【点睛】此题先求出速度和,再根据按比例分配来解决。 50.4小时 【详解】(小时). 51.4秒 【分析】假设乙列车停止不动,那么易知甲行走的路程为两个列车的车身长:96+104=200(米).而实际上乙列车没有停,它的速度是24米/秒,也就相当于乙列车把它的速度“给”了甲列车,使自己的速度为0.相当于甲车速度为:26+24=50(米/秒),那么从相遇到离开的时间=列车长度和 速度和. 【详解】两列车车身长度和:96+104=200(米) 两列车的速度和:26+24=50(米/秒) 时间:200 50=4(秒) 答:两车从相遇到离开所用时间为4秒. 【点睛】两车从相遇到离开,此过程的特点一直是动对动,考虑起来很复杂,但我们可以假设其中一列车不动,将问题转化成动对静时,就容易解了. 学科网(北京)股份有限公司 $$