第十七章 第4课时　勾股定理的逆定理　课件 2023-—2024学年人教版数学八年级下册

第十七章　勾股定理 第4课时　勾股定理的逆定理 探索勾股定理的逆定理；结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立． 课标要求 课前预习 返回目录 1.（1）知识回顾：如图1，在△ABC中，若∠C＝90°，则a，b，c的数量关系为____________． （2）提出猜想：如图1，若△ABC的三边长满足a2＋b2＝c2，则∠C＝________°. 图1 a2＋b2＝c2 90 证明：如图2，作Rt△A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°. 根据勾股定理，得A′B′＝ ＝_______． 由“SSS”可证△ABC________△A′B′C′. 因此∠C＝∠C′＝90°. （4）得出结论：勾股定理的逆定理：如果 三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么 这个三角形是________三角形． 图2 c ≌ 直角 （3）推理验证：如图1，在△ABC中，a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：∠C＝90°. 4 课堂讲练 返回目录 知识点1　用勾股定理逆定理判定直角三角形 例1　如图3，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，求证：△ABC是直角三角形． 图3 证明：根据题意，得AC2＝64，BC2＝36， AB2＝100. ∴AC2＋BC2＝AB2. 根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形． 训练　1.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形？如果是，请指出哪一个角是直角． （1）a＝12，b＝5，c＝13； 解：∵a2＋b2＝122＋52＝169，c2＝132＝169， ∴a2＋b2＝c2. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且线段c所对的角是直角． （2）a＝7，b＝14，c＝15. 解：∵a2＋b2＝72＋142＝245，c2＝152＝225， ∴a2＋b2≠c2. 根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形． 注：在使用勾股定理的逆定理时，需要先比较三角形三边长的大小，再判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 知识点2　勾股数 满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数． 例2　在下列各组数中，是勾股数的为（　　） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 D 训练　2.下列各组数中，为勾股数的是________．（填序号） ① 1，2，3； ② 9，12，15； ③ 0.3，0.4，0.5; ④ 8，15，17. ②④ 知识点3　互逆命题与互逆定理 1.互逆命题：我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 例3　写出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）如果x＝y，那么x2＝y2； （2）全等三角形的对应边相等． 注：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 解：（1）逆命题：如果x2＝y2，那么x＝y ．不成立． （2）逆命题：对应边相等的两个三角形全等．成立． 训练　3.写出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两直线平行，内错角相等； （2）若两个图形成轴对称，则这两个图形全等． 解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行．成立． （2）逆命题：若两个图形全等，则这两个图形成轴对称．不成立． 1．以下列各组数据为三边长，不能组成直角三角形的是（　　） C 2．如图4，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点B到AC的距离是（　　） 图4 A．6 B．7 C．8 D．10 A 3．命题“等角的余角相等”的逆命题是____________________ __________________________，这个逆命题是______（填“真”或“假”）命题． 4．若8，a，17是一组勾股数，则a的值为________． 5．若一个三角形三边长的比为3∶4∶5，它的周长是24 cm，则这个三角形的面积为________cm2. 如果两个角的余角 相等，那么这两个角相等 真 15 24 6．如图5，在△ABC中，点D在边AB上，连接CD.已知AD＝4，CD＝2，BD＝1，BC＝ . （1）求证：CD⊥AB； 图5 （2）求AC的长． 图5 随 堂 测 返回目录 1．下列各组数中，是勾股数的是(　　) A．0.9，1.2，1.5 B．3，4， C．8，15，17 D．5，7，12 C 2．如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c.请结合图形，回答下列问题： (1)勾股定理的条件是_______________， 结论是________________； (2)勾股定理的逆定理的条件是_______ _______________，结论是_______________． 图1 ∠C＝90° ∠C＝90° a2＋b2＝c2 a2＋b2＝c2 3．如图2，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点均在格点上．请回答下列问题： (1)AB＝________，BC＝________，AC＝________； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)AC边上的高为________． 图2 解：△ABC为直角三角形． 理由：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65， ∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC为直角三角形． eq \r(2) A．1，1， eq \r(2) B．5，12，13 C． eq \f(1,3) ， eq \f(1,4) ， eq \f(1,5) D．7，24，25 eq \r(5) 证明：∵CD＝2，BD＝1，BC＝ eq \r(5) ， ∴BD2＋CD2＝12＋22＝5，BC2＝（ eq \r(5) ）2＝5. ∴BD2＋CD2＝BC2. 根据勾股定理的逆定理，△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°. ∴CD⊥AB. 解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°. 在Rt△ADC中，AD＝4，CD＝2， 根据勾股定理，得 AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) . ∴AC的长为2 eq \r(5) . 2 $$